材料力学Ⅰ 2014 中間試験 解答例 (5

-1-

2013年6月2日(月)，5時限，大講義室

材料力学Ⅰ 2014 中間試験 解答例

(5題中4題選択，5題ともに答えた場合は，各4点)

１．配点 各

5

点，計

25

点

(1)

剛体板に関するフリーボディダイアグラムを 解 図

1.1

に示す。円筒に働く仮想力

P₂

は一周に渡って 分散するが，集中して

1

つの仮想力として表す。

P₁ P₂

解図

1.1 剛体板のフリーボディダイアグラム

力のつり合いから，

1 2 0 2 1

PP   P  P (1.1)

また，荷重条件は対称的であるから，

1 2

 

 (1.2)

(2)

変形量

₁

，

₂

を仮想荷重と熱膨張による変形の 和として表すと，

1 2

1 1 2 2

1 1 2 2

Pl , P l

Tl Tl

A E A E



  

 

  



(1.3)

式(1.3)を式(1.2)に代入すると，

1 2

1 2

1 1 2 2

Pl P l

Tl Tl

A E   



A E  

 したがって，

1 2

1 2

1 1 2 2

( )

P P

A E  A E  

 

 T (1.4)

式(1.1)を式(1.4)に代入して，

1 1

1 2

1 1 2 2

( )

P P

A E  A E  

 

 T

したがって，

1 1 2 2

1 1 2

1 1 2 2

( )

A E A E

P T

A E A E

 

   

 ^(1.5)

1 1 2 2

2 1 2

1 1 2 2

( )

A E A E

P T

A E A E

 

  

 ^(1.6)

(3) 式(1.5)，(1.6)を式(1.3)に代入して，

2 2

1 1 2 1

1 1 2 2

1 1 1 2 2 2

1 1 2 2

( )

A E Tl Tl

A E A E A E A E

A E A E Tl

   

 

     



  



(1.7)

1 1

2 1 2 2

1 1 2 2

1 1 1 2 2 2

1

1 1 2 2

( )

A E Tl Tl

A E A E

A E A E

A E A E Tl

   

  

    



   



(1.8)

(4) 応力は断面積で割って，

1 2 1 2

1 1 2

1 1 1 2 2

( )

P A E E

A A E A E T



  

 

 

 ^(1.9)

2 1 1 2

2 1 2

2 1 1 2 2

( )

P A E E A A E A E T



 

 

 

 ^(1.10)

数値を代入して，

6 9 9

1 6 9 6 9

6

3

6

100 10 69 10 206 10 200 10 69 10 100 10 206 10 (23.6 11.2) 10 100

100 69 206 (23.6 11.2) 10 100 200 69 100 206

51.23 10 Pa 51.2 MPa



_ ^ _



    

        

   

     

    

    

(1.11)

6 9 9

2 6 9 6 9

6

3

6

200 10 69 10 206 10 200 10 69 10 100 10 206 10 (23.6 11.2) 10 100

200 69 206 (23.6 11.2) 10 100 200 69 100 206

102.4 10 Pa 102 MPa



_ ^ _



    

       

   

     

   

  

(1.12)

-2- (5) 式(1.9)，(1.10)で応力

は温度変化

T

に比例 するから，

T 1 K

あたりの応力



を求めると，

1 2 1 2

1 1 2

1 1 2 2

4

( )

51.23 10 Pa A E E T A E A E







 

 



 

  

(1.13)

2 1 1 2

2 1 2

1 1 2 2

4

( )

102.4 10 Pa A E E T A E A E









 



 

 

(1.14)

したがって，

B1 B1

1 1 1

1

a a

T T

S S

 



^{    }



^(1.15)

B2 B2

2 2 2

2

a a

T T

S S

 



^{    }



^(1.16)

温度を求めると，

6

1 4

167 10 3 51.23 10 108.6 K 108 K

Ta 

 

 

 

(1.17)

6

2 4

330 10 3 102.4 10 107.4 K 107 K

Ta 

 

 

 

(1.18)

両温度を比較して低い温度側を採用し，

107 K Ta

  (1.19)

２．配点 各

5

点，計

25

点

(1) フリーボディダイアグラムは，解図2.1

となる。問題 に

R_A

，

R_C

は引張と指定してあるので，解図

3.1

の向 きとなる。

A B C

R_A R_C

P

解図

2.1 フリーボディダイアグラム

力のつり合いから，

A C 0

R P R

    (2.1)

(2)

温度変化による変位は，

T 3 Tl







 (2.2)

AB

間，BC 間の仮想断面を含むフリーボディダイアグ ラムを描くと，解図

2.2，2.3

となる。

Q_AB

A C

B

R_A Q_AB R_C

P

解図

2.2 AB

間の仮想断面に働く内力

A B C

R_A Q_BC Q_BC R_C

P

解図

2.3 BC

間の仮想断面に働く内力 力のつり合いから，

A AB 0 AB A

R Q Q R

     (2.3)

BC C 0 BC C

Q R Q R

     (2.4)

したがって，AB 間，BC 間の変形量

_RAB

，

_RBC

は，

AB AB A

AB AB 2 2 2

R 2

l Q l R l

l E AE AE







 



  (2.5)

BC BC C

BC BC

R

Q l R l

l l

E AE AE











  (2.6)

よって，反力による変位は，

A C

AB BC

( )

R R R

R R l











 AE^ (2.7)

式(2.2)の結果と重ね合わせて，全体の変位



は，

A C

( )

R T 3

R R l AE Tl

 

 



 ^ 



 (2.8)

(3) 両端が剛体壁に挟まれているから，



0

すなわち，

A C 3

R R   



TAE (2.9)

-3-

式(2.1)より，

C A

R  P R (2.10)

式(2.9)に代入して，

2RA   P 3



TAE

A

1 3

2 2

R   P



TAE (2.11)

式(2.10)に代入して，

C

1 3

2 2

R  P



TAE (2.12) (4) 応力は内力を断面積で割って，

AB A

AB

3

2 2 4 4

Q R P

A A A TE



    



 (2.13)

BC C

BC

3

2 2

Q R P

A A A TE



   



 (2.14)

数値を代入して，

3

AB 6

6 9

6

10 10 4 100 10

3 11.2 10 30 206 10 4

76.91 10 Pa 76.9 MPa



_



  

 

     

    

(2.15)

3

BC 6

6 9

6

10 10 2 100 10

3 11.2 10 30 206 10 2

53.82 10 Pa 53.8 MPa



_



 

 

     

    

(2.16)

(5) 許容応力_a

を求めると，

B 330

110 MPa 3

a S







  (2.17)

今度は温度を下げるので，

2 ( 2 0)

T T T

     (2.18)

とする。題意より，

2 A

3

4 4

P T E

A

 

    (2.19)

3

2 2 ^a

P TE

A



 



(2.20)

したがって，式(2.19)から，

2 A

6 9

6 3

6

4 ( )

3 4

4

3 11.2 10 206 10 10 10

(110 10 )

4 100 10 78.01 K 78.0K T P

E



A







  

    

   

 

 

(2.21)

式(2.20)から

2 A

6 9

3 6

6

2 ( )

3 2

2

3 11.2 10 206 10 10 10

(110 10 )

2 100 10 17.33 K 17.3K T P

E



A







  

    

   

 

 

(2.22)

式(2.21)，式(2.22)を比較して，

2 17.3 K

 T (2.23)

ここでは四捨五入では無く切り捨てである。

３．配点 各5

点，計

25

点

(1) 解図3.1に示すように，中心からx

の位置の微小幅

dx

の要素に働く遠心力は，質量×回転軸からの距離

×角速度の二乗である。



O x

dx

m₂x



²

1, E1

 ₂, E₂

解図

3.1 微小要素に生じる力

AB

間の微小要素に対する遠心力を

df_AB

とすると，

2 2 2

AB 2 2 2 2

df m x V x  A xdx (3.1)

したがって

q x₂( )

は，

-4-

2 2( ) 2

q x  A x (3.2)

2( ) Q x

は，

2

2 2 2

2

2 2

2 2

( ) ( )

( ) ( ) 2

x

Q x Q a A a d

Q a A x a

   

 

 

  



(3.3)

4

x a

の端部では外力が働いていないから，境界条 件は，

4 2(4 ) 0

x a

で

Q a  (3.4)

式(3.3)に適用して，

2

2 2

2

2( ) (16 ) 0

2

Q a _ A a _a _

2 2

2 2

( ) 15

Q a 2  A a

  (3.5)

(2) OA

間の微小要素に対する遠心力を

df_OA

とする と，

2 2 2

OA 1 1 1 1

df m x V x  A xdx (3.6)

したがって

q x₁( )

は，

2 1( ) 1

q x  A x (3.7)

1( ) Q x

は，

2

1 1 1 0

2 2 1 1

( ) (0) (0) 2

Q x Q A x d

A x Q

   

 

 

 



(3.8)

xa

の仮想断面を含むフリーボディダイアグラムは解 図

3.2

となる。



O

2( )

1( ) Q a Q a

解図

3.2 xa

に働く力 力のつり合いから，

1( ) 2( ) 0 1( ) 2( ) Q a Q a   Q a Q a

すなわち，

xa

での連続の条件と考えると，

1( ) 2( )

xa

で

Q a Q a (3.9)

式(3.9)を式(3.8)に適用して，

2 2 2 2

1 2

1

(0) 15

2 2

A a A a

Q _  _  

したがって，

2 1 2 2 1

(0) 15

Q  2^ A a (3.10) (3)

小設問(1)，(2)の結果から内力をまとめると，

2 2

2 1 2 2 1

1

2 2 2

2 2

2 1

( ) 15

2 2

15 ( )

2 2

A x

Q x A a

A a A

a x

    

   

  

  

(3.11)

2

2 2 2 2 2

2 2

2

2 2

2

( ) 15 ( )

2 2

(16 ) 2

Q x A a A x a

A a x

   

 

  

 

(3.12)

中心から

x

の位置の応力は，内力を断面積で割って，

1 1

2 2 2

2 2

2 1

( ) ( )

15 ( )

2 2 x Q x

A

a a x



   



  

(3.13)

2 2

2

2 2

2

( ) ( )

(16 ) 2

x Q x A

a x



 



 

(3.14)

x

の位置の微小長さ

dx

に対する微小伸び

d

は，

1

1 1

1

2 2 2

2 2

2 1

1 1

( )

15 ( )

2 2

d dx x dx

E

a dx a x dx

E E

  

   

 

  

(3.15)

2

2 2

2 2

2 2

2 2

( )

(16 ) 2

d dx x dx

E

a x dx E

  

 

 

 

(3.16)

-5-

中心から端部まで積分し

2

倍すると，

4

1 2

0

2 2 2

2 2

2 1

0 1 0

1 1

2 4 2 2

2 2

2 3 2 3

2 1 2

0

1 1

2 3

2 4

2 2

2 3 2 3

2 1 3

1 1

2 3 3

3 3

2 2

2( )

2{15 ( )

2 2

(16 ) } 2

{15 [ ]

2 3

[16 ] }

2 3

[15 ( )

2 3

{(64 64 ) (16 )}]

2 3 3

a a

a

a a

a a

a

a a

d d

a dx a x dx

E E

a x dx E

a x

E E a x a x x E

a a

E E a

a a

a a

E

  

   

 

   

 

   

 

 

  

 

  

 

  

   



 

 



2 1 2 2 3

1 1 2

2 1 2 2 3

1 1 2

{15 (48 21)}

3 2 15 27

( )

3 2

E E E a

E E E a

   

  



  

   (3.17)

(4)

回転数から角速度を求めると，

2 2 1000

104.7 rad/s 60 60

N 

  ^  (3.18)

与えられた数値を式(3.17)に代入して，

2 1 2 2 3

1 1 2

3 3

9 9

3

2 3

9 6

15 27

( )

3 2

15 2.79 10 8.03 10 ( 197 10 3 197 10

27 2.79 10

) 104.7 0.2 2 69 10

67.69 10 m 67.7 μm

E E E a

  

 



  

  

 

  

 

  

 

 



(3.19)

(5)

式(3.13)，式(3.14)から，それぞれの区間での最大 の応力は左端で生じる。

1max 1

2 2

2 1

(0) 1(15 )

2 a

 

  



  (3.20)

2 2 2 2 max 2

( ) 15

a 2 a

    (3.21)

最大応力が許容応力以下であればいいから，

2 2 B1

2 1 1

1(15 )

2 a

S

   

B1 1

2 1

2 1

(15 )

a S

 

 

 

 (4.22)

2 2 2 B2 B2

2 2

2

15 1 2

2 a 15

S a S

    

    (4.23)

数値を代入して，

B1 1

2 1

6

3 3

2 1

(15 )

1 578 10

0.2 (15 2.79 10 8.03 10 ) 12 155.3 rad/s

a S

 

 

 

 

    



(3.24)

B2 2

2

6 3

2 1

15

1 427 10 0.2 15 2.79 10 12 145.7 rad/s

a S

 

 

 

  



(3.25)

小さい方の角速度で律速してしまう。したがって，

₂

を 採用し，1 分間当たりの回転数に直すと，

60 2 60 145.7

2 2

1391 rpm 1390 rpm

N 

 

  

 

(3.26)

４．

(1) x

の面での内力を

Q

，下の部分の重量をW とし てフリーボディダイアグラムを描くと解図

4.1

となる。

P

( ) W x ( ) Q x

解図

4.1 フリーボディダイアグラム (2) x

の面での直径を

d_x

とすると，

-6- (2 )

(1 )

x

d d d d x l d x

l

  

 

(4.1)

断面積

A_x

は，

2

2 2 2

(1 ) 0(1 )

4 4

x x

d x x

A d A

l l

 

     (4.2)

x

の位置の微小高さ

dx

の体積

dV_x

は，低面積

A_x

， 高さ

dx

の円柱と考えて，

2 0(1 )

x x

dV A dx A x dx

   l (4.3) [0, ]x

の区間で積分して，

2

0 0 0

2

3 3

0 0

(1 ) [ (1 ) ] {(1 ) 1}

3 12

x x

x x x

x

V dV A dx A d

l

l d l x

A l l

 

 

   

    

 

(4.4)

(3) 解図4.1

において，力のつり合いから，

( ) ( ) 0 P W x Q x 

したがって，

2

3

( ) ( )

{(1 ) 1}

12

x x

Q x P W x P m

P V

d l x

P l



 

   



  

g

= g

= g

(4.5)

(4) 応力は内力を断面積で割って，

2 2

0

2 0

( )

(1 ) {(1 ) (1 ) }

3

( )(1 ) (1 )

3 3

x x

Q x A

P x l x x

A l l l

P l x l x

A l l





 

 





     

    

g

g g

(4.6)

増減表を作るために

x

で微分すると，

3 0

3 0

2 1

( )( )(1 )

3 3

2( )(1 )

3 3

0

d x P l x l

dx A l l l

P x

A l l

  

 





    

    



g g

g g

整理して，

3

0

(1 ) 6 ( )

3

x P

l A l



 



 g

g

したがって，

3

0

{ 6 ( ) 1}

3 ^p

x P l x

A l







 g  

g ^(4.8)

増減表を作成して，

x 0 xp l

d x

dx



0

g 2P

 A l  0 

0

5 12 4

P A l

g _

x

0

P

A  p _

0

7 12

P l

A

 g

ただし，表中

2 1

3 3

0

3 ( ) ( )

6 3

p

l P

A l

 

  g  g

(4.9)

最大値は

xl

で，

max 2

0

7 4 7 12 12

P l P l

A d

 

 ^{  } ^

g g

(4.10)

(5) x

の位置の

dx

幅の微小伸び

d

は，

2 0

( )(1 ) (1 )

3 3

x

d xdx dx E

P l x l x

dx dx

A E E l E l

  

 _ 

 

  g   g 

(4.11)

全体の伸び



は， 区間[0,

l]

で積分して，

-7-

0

2 0 0

0

1 0 0

2 0

2 2

0

2 2

0

2 2

( ) (1 ) 3

(1 ) 3

( )[( )(1 ) ] 3

[ (1 ) ] 3 2

( )(1 1) (4 1) 3 2 6

3

2 6 6

2

3

l

l

l

l

l

d

P l x

A E E l dx

l x

E l dx

P l x

A E E l l

l l x

E l

Pl l l

A E E E

Pl l l

A E E E

Pl l

d E E

 









 

 











  

 

   

 

     

  

 







g g

g g

g g

g g

g

(4.12)

５．配点 各

5

点，計

25

点

(1) フリーボディダイアグラムは解図5.1

となる。

F₁ F₂ F₂

A F₁

F₁

F₂

F₂ F₂

F₂

A A A

B

C D

解図

5.1 フリーボディダイアグラム (2) y

方向の力のつり合いから，

1 2 cos2 0

F  F



 (5.1)

(3) 棒AC，AD

の長さを

L

とすると，

cos cos

l L



L l

  



(5.2)

張力と熱による変形を重ね合わせて，

1 1

1 1

1 1 1 1

( )

F l F

Tl T l

A E A E



   



 



(5.3)

2 2

2 2

2 2 2 2

( )

cos

F L F l

TL T

A E A E

  

     



(5.4) (4) 変形後の状態を解図5.2

に示す。

 

A

B

C D

A’

 ^

^*



解図

5.2 変形後の状態

したがって，変形量



と



の間には次の関係が成り立 つ。

cos * cos

 







 

(5.5)

式(5.5)に式(5.3)，(5.4)を代入して，

2 1

2 1

2 2 1 1

( ) ( ) cos

cos

F l F

T T l

A E



A E

 

 



  

したがって，

1 2 2

2 1 2

1 1 2 2

1 ( )

cos cos

F F

A E A E T

 

 

     (5.6)

式(5.1)より，

1 2

1 2 cos F F

 



(5.1’)

式(5.6)に代入して，

-8-

1 1 2

3 1 2

1 1 2 2

1 ( )

2 cos cos

F F

A E A E T

 

 

    

したがって，

3

2 1 2 1 2

1 1 2 3

1 1 2 2

2( ) cos

cos 2 cos

A A E E

F T

A E A E

 

  

   

 ^(5.7)

式(5.1’)に代入して，

2

2 1 2 1 2

2 1 2 3

1 1 2 2

( ) cos

cos 2 cos

A A E E

F T

A E A E

 

  

  

 ^(5.8)

(5) 棒に関しては，棒の長手方向への単純な引張であるため，内力はF₁

，

F₂

と等しい。応力は内力を断面積 で割って，

3

1 2 2 1 2

1 1 2 3

1 1 1 2 2

6

2 o

6 9 9 3 o

6 9 6 9 3 o

3

2( ) cos

cos 2 cos

2 (11.2 23.6 ) 10 80 cos 30

200 10 206 10 69 10 cos 30 100 10 206 10 2 200 10 69 10 cos 30

2 (11.2 4 23.6) 80 3

200 206 69 10 3 3 / 8 100 20

F A E E

A T A E A E

 

 

 





 

    



     

     

        

     

   

 

6

6 2 200 69 3 3 / 8 155.4 10 Pa 155 MPa

   

  

(5.9)

2

2 2 1 1 2

2 1 2 3

2 1 1 2 2

6

2 o

6 9 9 2 o

6 9 6 9 3 o

3

( ) cos

cos 2 cos

(11.2 23.6 ) 10 80 cos 30

100 10 206 10 69 10 cos 30 100 10 206 10 2 200 10 69 10 cos 30 (11.2 4 23.6) 80

3

100 206 69 10 3 / 4 100 206 2 200 6

F A E E

A T A E A E

 

 

 





 

   



   

     

        

   

   

    

6

9 3 3 / 8 41.85 10 Pa 41.9 MPa



    

(5.10)