材料力学Ⅰ 2017 中間試験解答例１．配点各

(1)

p. 1

2017年6月6日(火)，1時限，大講義室

材料力学Ⅰ

2017 中間試験解答例

１．配点各

2

点×

10

，計

20

点

(1) 引張，圧縮，せん断，ねじり，曲げ

(2) ヤング率が大きく傾斜が急であり，破断までのひずみ量

が小さい。

(3) 降伏現象

(4) 0.2%耐力，除荷した時に 0.2%の永久ひずみを生じる除

荷を開始する応力－ひずみ線上の点の応力。

(5)

除荷すると永久ひずみが残らない限度

(6) ある応力値で繰り返し荷重を破壊するまで続け，破断し

たときの回数

N

と応力

S

との関係。右下がりの線となり，ある応力以下では破壊しない疲労限度がある。

(7) 静荷重でも高温下で材料が使われる状況下では，ひず

みが少しずつ這うように(クリープ)増加していき，最後には急激に変形が進み破談に至る現象。

(8) 横ひずみ(荷重方向に垂直な方向のひずみ)の縦ひず

み(荷重方向のひずみ)に対する比にマイナス符号をつけた値。軟鋼でおおよそ

0.3

の値となる。

(9)

質量に比例して作用する力。例は，自重，遠心力，慣性力などが挙げられる。

(10) 許容応力を求める際の標準強さとして用いる引張強さ

がピーク値となり，強度設計において安全側になる。

２．配点各

5

点×5，計

25

点

《解答》

(1)

棒と円筒にかかる荷重を引張と仮定すると，フリーボディダイアグラムは解図

2.1

となる。

解図

2.1 フリーボディダイアグラム

剛体板に関する力のつり合い式から，

1 2 0 1 2

PP   P  P (2.1)

(2)

棒と円筒の面積を求める。

2 1

2 2 2

2 1

4

{(3 ) (2 ) } 5

4 4 5

A d

d d d

A A



 



   

(2.2)

棒と円筒の伸びは，

1 1

1 1 2 1

1 1 1

2 2

2 2 2 2

2 2 2

4

4 5

Pl Pl

Tl Tl

A E d E

P l P l

Tl Tl

A E d E

    



    



   

(2.3)

(3)

剛体板に接合されているので，棒と円筒のそれぞれの伸び，

1

，

2

には次の関係がある。

P₁

P₁ P₂P₁

P₂

(2)

p. 2

1 2

  (2.4)

式(2.4)に式(2.3)を代入して，

1 2

2 2

1 2

4 4

5

Pl P l

Tl Tl

d E   d E  

 ^ ^  ^ ^(2.5)

式(2.1)を代入して，

2 2

1 2

2 2

1 2

4 4

5

P l P l

Tl Tl

d E   d E  

 

    (2.6)

式(2.6)を変形して，

2

1 2

2

1 2

4 1 1

( ) ( )

5

P T

d E E   

 ^ ^ ^

したがって，

2 1 2

1 2

2 1 2

1 1 2

1 2

5 ( )

4( 5 )

5 ( )

4( 5 ) d E E

P T

E E

d E E

P T

E E

   

 



  



(2.7)

応力は，

1 1 1 2

1 2 1 2

1 1 2

2 2 1 2

2 1 2

4 5

( )

5

4 ( )

5 5

P P E E

A d E E T

P P E E

A d E E T

   



   



    



   



(2.8)

(4)

式(2.3)に式(2.7)を代入して，

2 1 2

1 2 1 2 1

1 1 2

2 1 2 1

1 2

1 1 2 2

1 2

5

4 ( )

4( 5 )

5 ( )

5 5 5

d E E

l T Tl

d E E E

E Tl Tl

E E

E E Tl

      



    

  

   



   



 



(2.9)

2 1 2

2 2 1 2 2

2 1 2

1

1 2 2

1 2

1 1 2 2

1

1 2

4 5

( )

5 4( 5 )

( )

5 5 5

d E E

l T Tl

d E E E

E Tl Tl

E E

E E Tl

      



    

   

  



  



  



(2.9)

(5)

棒と円筒の許容応力

a1

，

a2

は，

1 1

2 2

B a

S S

 



(2.10)

また，

2 > 1

であるから，円筒側の応力は圧縮応力になる。

したがって，式(2.8)の応力と許容応力の大小関係は，

2

1 2 1

1 1 1 2 1

1 2

2

1 2 2

2 2 1 2 2

1 2

5 ( )

5

( )

5

B a

d E E

E E T S

d E E

E E T S

 

    

 

    

    



    



したがって，

1 2 1

1 2

1 2 2 1

9

2 18 6

6

5

5 ( )

(206 5 69) 10

5 0.5 206 69 10 (23.6 11.2) 10 330 10

3 87.56 K

E E B

T d E E S

 

  

 ^

 



  

       

 



1 2 2

2 2

1 2 2 1

9

2 18 6

6

5

( )

(206 5 69) 10

0.5 206 69 10 (23.6 11.2) 10 167 10

3 221.5 K

E E B

T d E E S

 

  

 ^

 



  

       

 



棒も円筒も安全に使用できる温度として低い温度を採択し，

87.5 K

T (2.11)

３．配点各

5

点×6，計

30

点

《解答》

(1)

左右の壁の反力を

R_A

と

R_D

の引張力と仮定して，解図

2.1

に，FBD を示す。

(3)

p. 3

解図

2.1 フリーボディダイアグラム

力のつり合いから，右向きを正として，

A 2 D 0 A D

R P P R R R P

        (3.1)

となる。

(2) AB

間，BC 間，CD 間の仮想断面に働くそれぞれの内

力

QAB

，

QBC

，

QCD

と外力の関係を解図

2.2，2.3，2.4

に示す。

解図

2.2 AB

間の仮想断面の内力

QAB

と外力

解図

2.3 BC

間の仮想断面の内力

QBC

と外力

解図

2.4 CD

間の仮想断面の内力

QCD

と外力問題に「R

_D

は用いずに答えよ」と指示があるので，力のつり合いは解図

2.2～2.4

において，仮想断面左側で考える。したがって，

A AB 0 AB A

R Q Q R

     (3.2)

A 2 BC 0 BC A 2

R P Q Q R P

       (3.3)

A 2 CD 0 CD A

R P P Q Q R P

        (3.4)

(3) AB

間，BC 間，CD 間の仮想断面に働くそれぞれの応

力

AB

，

BC

，

CD

は，内力を断面積で除して，

AB A

AB

Q R

A A

   (3.5)

BC A

BC

2

2 2

Q R P

A A

   ^ (3.6)

CD A

CD

2( )

/ 2

Q R P

A A

   ^ (3.7)

全体の変形量



は，それぞれの区間の変形量を重ね合わせて，

BC CD

AB

A A A

A

2 2( )

{ }

2

{2 2 4( )}

2 (7 6 )

2

l l

l

E E E

R R P R P l

A A A E

R R P R P l

AE R P l

AE

 

  

 

  

    

 

(3.8)

(4)

両端が剛体壁に挟まれているために，

0 (3.9)

式(3.8)に適用して，

A

(7 6 ) 6

2 0 7

R P l

R P

AE

    (3.10)

式(3.1)に代入して，

D A

1

R R   P 7P (3.11) (5)

式(3.10)の反力

R

を式(3.5)～(3.7)に代入して，

A AB

6 7

R P

A A

   (3.12)

A BC

2 1 6( 2 ) 4

2 2 7 7

R P P

P P

A A A

  ^     (3.13)

A CD

2( ) 2 6 2

( )

7 7

R P P

P P

A A A

  ^     (3.14)

式(3.12)～(3.14)の比較から，最大の応力の絶対値は区間

AB

において生じている。したがって，

max

6 7

P

  A (3.15)

2P P

R_A R_D

2P P R_D

R_A

Q_AB

R_A 2P Q_BC P R_D

2P P

R_A Q_CD R_D

(4)

p. 4 (6)

最大応力

max

が許容応力

a

以下でないといけないから，

max

6 7

Y a

P A S

    (3.16)

したがって，

6

3

7 6

7 195 10

200 10

6 3

15.16 10 N 15.16 kN

P Y A

S







   

  

したがって，大小関係から有効数字

4

桁目を切り捨てて，

max 15.1 kN

P  (3.17)

４．配点各

5

点×5，計

25

点

《解答》

(1) 解図4.1

に示すように，中心から

x

の位置の微小幅

dx

の

要素に働く遠心力は，質量×回転軸からの距離×角速度の二乗である。

解図

4.1 微小要素に生じる力

AB

間の微小要素に対する遠心力を

df₂

とすると，

2 2 2

df m x V x  A xdx (4.1)

したがって

q x₂( )

は，

2 2( )

q x  A x (4.2)

2( ) Q x

は，

2

2 2

2

2 2

2

( ) ( )

2

x

Q x Q a A a d

Q a A x a

   

 

 

  



(4.3)

xl

の端部では外力が働いていないから，境界条件は，

2( ) 0

xl

で

Q l  (4.4)

式(4.3)に適用して，

2

2 2

2( ) 2( ) ( ) 0

2

Q l _Q a _ A l _a _

2

2 2

2( ) ( )

2

Q a  A l a

   (4.5)

(2) OA

間の微小要素に対する遠心力を

df₁

とすると，式(4.1)

同様に，

2 2 2

1 1 1 2

df m x  V x   A xdx (4.6)

したがって

q x₁( )

は，

2 1( ) 2

q x   A x (4.7)

1( ) Q x

は，

2

1 1 0

2 2 1

( ) (0) 2

(0)

x

Q x Q A d

Q A x

   

 

 



_(4.8)

xa

の仮想断面に働く力は解図

4.2

となる。

解図

4.2 xa

の仮想断面に働く力式表示すると，

1( ) 2( )

xa

で

Q a Q a (4.9)

式(4.9)の境界条件を式(4.8)に適用して，

2

2 2 2 2

1(0) ( )

2

Q  A a  A l a

したがって，

2

2 2

1(0) ( )

2

Q _ A l _a

(4.10)

(3) 小設問(1)，(2)の結果から内力をまとめると，



O x

dx df₂= m₂x²

2A A



O

2( )

1( ) Q a Q a

(5)

p. 5

2

2 2 2 2

1

2

2 2 2

( ) ( )

2

( 2 )

2

Q x A l a A x

A l a x

   

 

  

(4.11)

2 2

2 2 2 2

2

2 2

( ) ( ) ( )

2 2

( )

2

A A

Q x l a x a

A l x

   

 

   

 

(4.12)

中心から

x

の位置の応力は，内力を断面積で割って，

2

2 2 2

1 1

( ) ( ) ( 2 )

2 4

x Q x l a x

A

     (4.13)

2

2 2

( ) ( ) ( )

2

x Q x l x

A

    (4.14)

x

の位置の微小長さ

dx

に対する微小伸び

d

は，

2

2 2 2

1 1

( ) ( 2 )

4

d x dx l a x

E E

 

     (4.15)

2

2 2

( ) ( )

2

d x dx l x

E E

 

    (4.16)

中心から端部まで積分し

2

倍すると，

1 2

0

2 2

2 2 2 2 2

0

2 3 3

2 2 2

0

2 3 3 3

2 3 3 2

2 3

2( )

2{ ( 2 ) ( ) }

4 2

{[( ) 2 ] 2[ ] }

2 3 3

[{( ) 2 } 2{( ) ( )}]

2 3 3 3

(4 )

2 3

a l

a

a l

a

a l

a

d d

l a x dx l x dx

E E

x x

l a x l x

E

a l a

l a a l l a

E

l l a a E

  

 



 

    

      

  

 

(4.17)

(4) 式(4.13)と式(4.14)より，最大の応力はその区間で x

が最

小値で生じる。

2

2 2

1max 1

2

2 2

2 max 2

(0) ( )

4

( ) ( )

2 l a

a l a

  

  

  

(4.18)

これらの最大応力が許容応力

a

以下になる長さをそれぞれ

l1

，l

2

とすると，

2

2 2 2

1 1 2

2

2 2 2

( ) 4

4

( ) 2

2

a a

l a l a

  



  



    

    

(4.19)

ここで，

2 2 3600

376.9 rad/s

60 60

N 

  ^  (4.20)

1100 91.66 MPa 12

Y

a S

    (4.21)

与えられた数値を式

(4.19)

に代入して，

6

2

1 3 2

6

2

2 3 2

4 366.6 10

0.05 0.7616 m 4.43 10 376.9

2 366.6 10

0.05 0.5420 m 4.43 10 376.9

l l

 

  

 

  

 

(4.22)

両方を満足する値として，

max 0.542 m 54.2 cm

l   (4.22)

(5) 熱膨張による伸びlT

は，

T 2 Tl

   (4.23)

式

(4.17)

の遠心力による伸びとの比は，

2 3 2 3

2

(4 / 3 )

T E Tl

l l a a

  

 ^   (4.24)

数値を代入して，

6 9

3 2

3 2 3

2 8.4 10 109 10 600 0.5420 4.43 10 376.9

1

(4 0.5420 / 3 0.5420 0.05 0.05 ) 4.785

T



      

  

    



4.79

材料力学Ⅰ 2017 中間試験 解答例 １．配点 各