-1-
2014年7月31日(木)，2時限，21講義室
材料力学Ⅰ 2014 定期試験 解答例
１．配点 各
5点，計
25点
(1) フリーボディダイアグラムを解図1.1
に示す。
q0 P
RC RB
解図
1.1 フリーボディダイアグラム (2)力のつり合いから，
0 B C 0
q lR R P
B C 0 2 3
R R q l P P P P
(1.1) B
点回りのモーメントのつり合いから，
2 0
C 2 0
2
q l R l Pl
0
C 2 2
2
R P q l P P P
(1.2)
式(1.2)を式(1.1)に代入すると，
B 3 C 3 2
R PR P P P (1.3) (3) AB
間，BC 間，CD 間の仮想断面を含む部材の
FBD
を解図
1.2~1.4に示し，それぞれの仮想断面にお いてせん断力とモーメントを求める。
(i) AB
間
(0 x l) q0x F M
解図
1.2 AB間の左側部材 力のつり合いから，
0 0
0 2P
q x F F q x x
l (1.4)
仮想断面回りのモーメントのつり合いから，
2 2
0 0 2
2 0 2
q x q x P
M M x
l (1.5) (ii) BC
間
(l x 2 )lq0
RB x
F M
l x – l
解図
1.3 BC間の左側部材 力のつり合いから，
B 0
0 B 0
2 2 0 F R q l q l R F
P P
(1.6)
仮想断面回りのモーメントのつり合いから，
0 ( ) B( ) 0
2
M q l xl R x l
0( ) B( )
2
2 ( ) 2 ( ) 2
M q l x l R x l P x l P x l Pl
(1.7)
(iii) CD
間
(2l x 3 )lF M
3l - x P
解図
1.4 CD間の右側部材 力のつり合いから，
0
P F FP (1.8)
-2-
仮想断面回りのモーメントのつり合いから，
(3 ) 0 (3 )
M P l x M P l x
(1.9) (4) (3)の結果より，SFD
と
BMDは解図
1.5，解図1.6となる。
A P
C B
SFD
2P
D
解図
1.5 SFDBMD
A B C D
Pl
解図
1.6 BMD(5) BMD
から，絶対値が最大のモーメントは，BC の 区間，すなわち，
l x 2lで生じ，その大きさは，
M Pl (1.10)
一方，モーメント
Mが作用する仮想断面に生じる曲げ 応力
は，
M y
I (1.11)
ここで，断面二次モーメント
Izは，断面形状が一辺
aの正方形であるから，
4
12
I a (1.12)
式(1.10)と式(1.12)を式(1.11)に代入して，
4
12Ply
a (1.13)
引張応力は正の垂直応力である。したがって，最大応 力は，
y a/ 2で生じ，その大きさは，
3
6Pl
a (1.14)
２．配点 各
5点，計
40点
(1) フリーボディダイアグラムは，解図2.1
となる。
q0 MA
RA P
解図
2.1 フリーボディダイアグラム (2)力のつり合いから，
A 0 0 A 0
R q l P R q l P
(2.1) A
点回りのモーメントのつり合いから，
2 0
A 2 0
2
M q l Pl
2 0
A 2
2
M q l Pl
(2.2)
(3) AB
間，
BC間それぞれ第
1区間，第
2区間とし，
仮想断面に生じるせん断力とモーメントに添え字
1，2
を付ける。それぞれの仮想断面を含むフリーボデ ィダイアグラムを描くと，解図
2.2，2.3となる。
(i) AB
間
(0 x l)MA
RA
F1 M1 x
q0
解図
2.2 AB間の仮想断面に働く内力 力のつり合いから，
A 0 1 0
R q x F
1 A 0 0 0
0( )
F R q x q l P q x q l x P
(2.3)
-3-
仮想断面回りのモーメントのつり合いから，
0 2
A A 1 0
2
M R x q x M
2 0
1 A A
2
0 0 2
0
2 2
0
0 2
2
2 ( )
2 2
( 2 ) (2 )
2
( ) (2 )
2
M M R x q x
q l q
Pl q l P x x
q x lx l P l x
q x l P l x
(2.4) (ii) BC
間
(l x 2 )lM2 F2
2l - x P
解図
2.3 BC間の仮想断面に働く内力 力のつり合いから，
2 0 2
F P F P
(2.5)
仮想断面回りのモーメントのつり合いから，
2 (2 ) 0 2 (2 )
M P l x M P l x
(2.6) (4) (3)の結果から，SFD
と
BMDは解図
2.4，解図2.5になる。
SFD
P A
C
0 B q lP
解図
2.4 SFDBMD
0 2 2
2
q l Pl
Pl
A B C
解図
2.5 BMD(5)
たわみに関する境界条件は，A 端が剛体壁であ るから，
1 1
0 0
0 0
x
x y
で
で
(2.7)(6) B
点で左右のたわみ角とたわみが連続しているか ら，
1 2
1 2
x l
x l y y
で
で
(2.8)(7)
区間に分けて，たわみの基礎式にモーメントを代 入し順次積分する。
(i) AB
間（
0 x l）
2
1 1
2
0 2
1 { ( ) ( 2 )}
2
d y M
dx EI
q x l P x l
EI
(2.9)
順次積分して，
1 1
3 2
0
1
1 { ( ) ( 2 ) }
6 2
dy dx
q P
x l x l C
EI
(2.10)
4 3
0
1 1 2
1 { ( ) ( 2 ) }
24 6
q P
y x l x l C x C
EI
(2.11) (ii) BC
間（
l x 2l）
2
2 2
2
1 ( 2 )
1 ( )
d y M
P x l
dx EI EI
P x l l EI
(2.12)
順次積分して，
2 2
2
3
1 { ( ) ( ) }
2 dy
dx
P x l Pl x l C EI
(2.13)
-4-
3 2
2
3 4
1 { ( ) ( )
6 2
( ) }
P P
y x l l x l
EI
C x l C
(2.14)
境界条件，式(2.7)を式(2.10)，(2.11)に適用して，
3 2
0
1
4 0
6 2
q l Pl
C
3 0 2
1 2
6
C q l Pl
(2.15)
4 3
0
2
8 0
24 6
q l Pl
C
4 3
0 2
4
24 3
q l Pl
C (2.16)
連続の条件，式(2.8)を式(2.10)と式(2.13)，及び，式
(2.11)と式(2.14)に代入して，
2 2 3
0 2
3 1
3 2
0
2 2 6 2
3
6 2
q l
Pl Pl
C C Pl
q l Pl
(2.17)
3
4 1 2
4 4
3 3
0 3 0
4 3
0
6
2 4
6 6 24 3
1 5
8 6
C Pl C l C
q l q l
Pl Pl
Pl q l Pl
(2.18)
したがって，
4 3
0 1
3 4 3
0 2 0
4 3 4
0
3 2 3
2 2 2
0
2
2
2 2
0
1 { ( ) ( 2 )
24 6
( 2 ) 4 }
6 24 3
1 [ {( ) 4 }
24
{( 2 ) 12 8 }]
6
1 { ( 4 6 )
24 ( 6 )}
6
{ ( 4 6 )
24
4 ( 6 )}
q P
y x l x l
EI
q l q l Pl
Pl x
q x l l x l
EI
P x l l x l
q x x lx l EI
Px x l
x q x lx l
EI P x l
(2.19)
3 2
2
3 2
4 3
0
0
3 2
2 3
3 0
3 2 3
3 0
1 { ( ) ( )
6 2
3 1 5
( )( ) }
6 2 8 6
1 [ {( ) 3 ( ) 6
9 ( ) 5 } {4( ) 3 }]
24
1 { ( 6 3 )
6 (4 )}
24
P P
y x l l x l
EI
q l Pl
x l q l Pl
P x l l x l EI
l x l l
q l x l l
P x lx l
EI
q l x l
(2.20)
(8) x2l
で
y20となれば良い。したがって，
3
3 0
(8 24 3) (8 1) 0
6 24
P q l
l l
したがって，
0 0
19 7 7
6 P24q l P76q l (2.21)
-5- ３．配点 各5
点，計
35点
(1)
フリーボディダイアグラムは解図
3.1となる。
TD
0 2T
TA
解図
3.1 フリーボディダイアグラム (2)トルクのつり合いは，
A 2 0 D 0
T T l T
A D 2 0
T T T l
(3.1) (3) AB
間，BC 間，CD 間の仮想断面に生じるトルクと 外力としてのトルクの関係を図示すると，解図
3.2～解図
3.4となる。
(i) AB
間
(0 x l/ 3)TAB TA
解図
3.2 AB間の仮想断面に生じるトルク トルクのつり合いから，
AB A 0 AB A
T T T T (3.2) (ii) BC
間
( / 3l x 2 / 3)lTBC 2T
TA
解図
3.3 BC間の仮想断面に生じるトルク トルクのつり合いから，
BC 2 A 0 BC A 2
T TT T T T (3.3)
(iii) CD
間
(2 / 3l x l)TD TCD 0
l -x
解図
3.4 CD間の仮想断面に生じるトルク トルクのつり合いから，
CD 0( ) D 0
T l x T
CD D 0( )
T T l x
(3.4)
(4) 各区間のねじれ角を求めると，
(i) AB
間
AB A
AB
/ 3
p 3 p
T l T l
GI GI
(3.5)
(ii) BC
間
BC A
BC
/ 3 ( 2 )
p 3 p
T l T T l
GI GI
(3.6)
(iii) CD
間
CD D 0
CD
{ ( )}
p p
T dx T l x dx
d GI GI
したがって，
2 2
CD CD D 0
3 3
2
D 0 2
3 2
D 0
1 { ( )}
1 1
[ ( ) ] 2
1 1 1
( )
3 18
l l
l l
p
l p l
p
d T l x dx
GI
T x l x
GI
T l l
GI
(3.7)
(5) 軸の右端D
点が固定端なので変形しない。すなわ ち，
D 0
(3.8)
(6) D
点のねじれ角は，式(3.5)～(3.7)を足し合わせ
て，
-6-
A A
D
2
D 0
A D 2
0
( 2 )
3 3
1 1 1
( )
3 18 (2 2 ) 1
3 18
p p
p
p p
T l T T l
GI GI
T l l
GI
T T T l
GI GI l
(3.9)
式(3.8)を適用して，
A D 2
0
(2 2 ) 1 3 p 18 p 0
T T T l
GI GI l
A D 0
2 2 1
T T T 6 l
(3.10)
式(3.1)+式(3.10)
A 0
3 4 5
T T6 l
したがって，
A 0
4 5 3 18
T T l (3.11)
式(3.1)に代入して，
D A 0
0
2 2 13 3 18
T T T l
T l
(3.12)
(7)
式(3.6)に式(3.11)を代入して
0とすると，
BC 0
0
4 5
( 2 ) 3 3 18
2 5
( ) 0 3 3 18
p
p
l T l T
GI
l T l
GI
したがって，
0
5
T 12 l (3.13)
