材料力学Ⅰ 2011 定期試験 解答例 １．

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2011年8月4日(木)，2時限，大講義室

材料力学Ⅰ 2011 定期試験 解答例

１．

(1) 低炭素鋼 (2) 引張強さ (3) A

(4) (0.2%)耐力 (5) E



_A/



_A

(6) E206 GPa,  0.3 (7) フックの法則

(8) _F ^F _F ^A _F

A

p E

 

   

   



(9) 206GPA

(10) くびれが生じ，実際の断面積は小さくなるが，

公称応力では元の断面積で割っているため，見かけ の応力は小さくなる。(くびれの語があれば概ね正解)

C A B

D F

G

H

応力

ひずみ

A

F^H



G

A _F _G _H

0

解図1.1 真応力-真ひずみ線図

２．

(1) 剛体板に関するフリーボディダイアグラムは，

解図2.1に示すようになる。

B C

A

P_A P_B P_C

解図2.1 剛体板のフリーボディダイアグラム (2) 力のつり合いから，

A B C 0

P P P  (2.1) A点回りのモーメントのつり合いから，

B 2 C 0

P a P a

   (2.2)

式(2.2)より，

B 2 C

P   P (2.3)

式(2.3)を式(2.1)に代入して，

A 2 C C 0

P  P P  したがって，

A C

P P (2.4)

(3) 解図 2.2 に示すように，剛体板は破線の元の状 態から加熱後，直線性を保ったまま移動すると考えら れる。

A A’

B’

B

C’

C O



_A



_B



_C

解図2-2 剛体板の移動

その結果，A’C’O間に直角三角形が形成される。三 角形の相似則を用いると，

A C B C

(







) : (







)2 :a a (2.5)

A C 2( B C)















-2/6- したがって，

A C 2 B











(2.6)

(4) それぞれの伸びを荷重による伸びと温度変化に よる伸びの和と考えると，

A

A (P )2

T l



 AE 



(2.7)

B

B ( P )

AE T l



  



(2.8)

C

C ( P )

AE T l



  



(2.9)

式(2.7)，(2.8)，(2.9)を式(2.6)に代入して，

A C B

2P P 3 2(P )

T T

AE^   



AE 



(2.10) 式(2.3)，(2.4)を式(2.10)に代入して，

C C C

2 4

3 2

P P P

T T

AE^ 



  AE 



 したがって，

C

1

P  7



TAE (2.11) 式(2.3)，(2.4)に代入して，

A

1

P  7



TAE (2.12)

B

2

P 7



TAE (2.13) (5) 式(2.11)，(2.12)，(2.13)を式(2.7)，(2.8)，(2.9)

に代入して，

A

1 12

( )2

7 T T l 7 Tl



 



  







 (2.14)

B

2 9

( )

7 T T l 7 Tl







  







 (2.15)

C

1 6

( )

7 T T l 7 Tl



 



  







 (2.16) ３．

(1) フリーボディダイアグラムは，解図3.1となる。

B A

P_B

M_B M_A

R_A

P

C

B P_B

M_B

解図3.2 フリーボディダイアグラム (2) 剛体棒の垂直方向の力のつり合いから

B 0 B

PP   P P (3.1) 剛体棒の B 点回りのモーメントのつり合いから，

B B

0 1

3 3

M Pl M Pl

      (3.2)

はりの垂直方向の力のつり合いから

B A 0 A B

P R   R    P P (3.3) はりの A 点回りのモーメントのつり合いから，

A B B 0

M M P l

   

A B B

2 M M P l 3Pl

    (3.4)

(3) AB間の仮想断面を含むフリーボディダイアグ ラムは解図3.3となる。

F

R_A

M M_A

x A

解図3.3 仮想断面を含むFBD

-3/6- 仮想断面回りのモーメントのつり合いから，

A A 0

MM R x

A A

(2 ) M M R x P 3l x

     (3.5)

(4) たわみの基礎式に代入して，

2 2

(2 ) 3

d y M P

l x

dx  EI  EI  (3.6) 順次積分して，

2

1

( 2 )

2 3

dy P x

lx C

dx  



EI    (3.7)

3 2

1 2

( 1 )

6 3

P x

y lx C x C

 EI     (3.8) 境界条件を適用して，

0 0 1 0

x で



  C  (3.9.1)

0 0 2 0

x で y  C  (3.9.2) したがって，

4

(3 2 ) 2 (3 2 ) 6

Px Px

x l x l

EI Ea



    (3.10)

2 2

4

( 2 ) 2 ( 2 ) 6

Px Px

y x l x l

EI Ea

    (3.11)

(5) 式(3.11)にxlを代入して，

3 4

y 2Pl

  Ea (3.12)

４．

(1) フリーボディダイアグラムは，解図4.1となる。

A

q

D

B C

R_B

R_C

解図4.1 フリーボディダイアグラム

(2) 力のつり合いから，

B C 6

R R  qa (4.1) B点回りのモーメントのつり合いから，

C 3 6 2 0 C 4

R  a qa a  R  qa (4.2) 式(4.2)を式(4.1)に代入して，

B 6 C 2

R  qaR  qa (4.3) (3) (4) 3つの区間に分けて考える。

(i) AB間（0 x a） q

A x

F M

解図4.2 AB間の仮想断面を含むFBD 力のつり合いから

0

Fqx  F qx (4.4) モーメントのつり合いから

2 2

2 0 2

qx qx

M   M   (4.5) (ii) BC間（a x 4a）

A

q

B R_B x

a x-a

F M

解図4.3 BC間の仮想断面を含むFBD 力のつり合いから

B 0

FqxR 

B (2 )

F R qx q a x

     (4.6) モーメントのつり合いから

-4/6-

2

B( ) 0

2

Mqx R xa 

2 B

2

( )

2 ( 2 ) 2

M R x a qx

q x a

  



  

(4.7)

(iii) CD間（4a x 6a）

D q

6a-x F

M

解図4.4 CD間の仮想断面を含むFBD 力のつり合いから

(6 ) 0 (6 )

Fq ax   F qx ax (4.8) 仮想断面回りのモーメントのつり合いから

2 2

(6 ) (6 )

2 0 2

q a x q a x

M  M 

     

(4.9) したがって，SFD と BMD は，

a 3a 2a

2

2

qa

2qa2



2qa 2qa qa

qa

BMD SFD

解図4.5 SFDとBMD (5) BMDより，

2

4 max 2

x a で M   qa (4.10)

曲げモーメントと曲げ応力の関係は，

z

M y



 I (4.11) 三角形の場合，中立軸を原点として上面のy座標 は，

3

y h (4.12)

したがって，

2 2

3 2

36 24

2 ( )

3

h qa

qa bh bh



      (4.13)

プラスの応力なので，引張応力である。

５．

(1) ねじりのフリーボディダイアグラムは，解図5.1 となる。



₀

A B C D

T_A

解図5.1 フリーボディダイアグラム (2) 全体のトルクのつり合いから，

0 A A 0

2



a T 0  T 2



a (5.1) (3), (4) 仮想断面でのトルクは，AB間とBD間の2

つの区間で式表示が変わる。解図５.2と5.3にそれ ぞれの仮想断面を含むFBDを示す。

A

T_A T_AB

x

解図5.2 AB間の仮想断面を含むFBD

-5/6-



₀

C

D T_BD

3a-x

解図5.3 BD間の仮想断面を含むFBD トルクのつり合いから

AB A 0 AB A 2 0

T T   T T 



a (5.2)

BD 0(3 ) 0

T



a x

   

BD 0(3 )

T



a x

   (5.3)

一方，

4 4

AB BC (2 )

32 2

p p

I I



d



d

   (5.4)

4

CD 32

Ip



d

 (5.5)

D点のねじれ角は，AB間のねじれ角_AB，BC間のね じれ角_BC，CD 間のねじれ角_CDの和である。まず，

AB間のねじれ角_ABは，

2 0 AB

AB 4

AB

4

p

a T a

GI Gd

 

 



(5.6)

BC間のねじれ角_BCは，dx幅に対する微小ねじれ角 dBCを考え，

BC 0

BC 4

BC

2 (3 )

p

T dx a x

d dx

GI Gd

 



   (5.7)

積分すると，

2 2

0

BC BC 4

2 0 2

4

2

2 2

0 0

4 4

2 (3 )

2 [3 ]

2

2 3 3

(3 )

2

a a

a a

a a

d a x dx

Gd ax x Gd

a a a

Gd Gd

  







 

 

  

 

  

 

(5.8)

CD間のねじれ角_CDは，_BC同様に，dx幅に対す る微小ねじれ角d_CDを考え，

CD 0

CD 4

CD

32 (3 )

p

T dx a x

d dx

GI Gd

 



   (5.9)

積分すると，

3 2

0

CD 2 BC 4

0 2 3 4 2

2

0 2 0

4 4

32 (3 )

32 1

[ (3 ) ] 2

32 1 16

2

a a

a a

a a

d a x dx

Gd a x Gd

a a

Gd Gd

  







 

 

  

  

 

 

(5.10)

したがって，

2 0

D AB BC CD 4

23 a Gd

    

   



(5.11) (4) AC間，CD間の断面係数は，

AC 3

AC 2

p p

Z I d

d

 



(5.12.1)

BC 3

CD / 2 16

p p

Z I d

d

 



(5.12.2)

AC 間，CD 間の最大トルクは，

max AB A 2 0

T T 



a (5.13.1)

max CD CD(2 ) 0(3 2 ) 0

T T a 



 a 



a (5.13.2) したがって，各区間での最大せん断応力は，

max AC 0

max AC 3

AC

4

p

T a

Z d

 

 



(5.14.1)

max CD 0

max CD 3

CD

16

p

T a

Z d

 

 



(5.14.2) 式(5.14.1)と(5.14.2)を比較して，最大せん断応力は

max CD 0

max max CD 3

CD

16

p

T a

Z d

  

  



(5.15) (5) 設計上，最大の応力が許容応力以下になる必要 がある。最大せん断応力は式(5.15)で与えられるか ら，

-6/6-

0 3

16

a

a d

 



^{ (5.16)}

したがって，

3 2 0

2

a

d



a





(5.17)