材料力学Ⅰ 2019 中間試験 解答例

-1-

2019年6月11日(火)，1時限，21講義室+大講義室

材料力学Ⅰ

2019 中間試験 解答例

１．配点 各

5

点，計

40

点

(1)

段付き棒に関するフリーボディダイアグラムを 解図

2.1

に示す。

R_A 4P P

解図

1.1 段付き棒のフリーボディダイアグラム

右向きを正とした力のつり合いから，

A 4 0 A 5

R P P R P

      (1.1)

(2)

解図

1.2，解図1.3

に示すように，AB 間，BC 間の仮想 断面に生じる内力

Q_AB

，

Q_BC

を考える。

Q_AB

R_A 4P P

解図

1.2 AB

間の仮想断面に生じる内力

Q_BC P

R_A 4P

解図

1.3 BC

間の仮想断面に生じる内力 解図

1.2

の仮想断面左側における力のつり合いから，

A AB 0 AB A 5

R Q Q R P

      (1.2)

解図

1.3

の仮想断面右側における力のつり合いから，

BC 0 BC

Q P Q P

     (1.3)

また，AB 間，BC 間の丸棒の断面積

A_AB

，

A_BC

は，

2 2

2

AB BC

(2 ) ,

4 4

d d

A  d A  (1.4)

したがって，AB 間，BC 間の丸棒に生じる応力

_AB

，

_BC

は，

AB AB 2

AB BC

BC 2

BC

5 4

Q P

A d

Q P

A d

 

 

 

 

(1.5)

上記の応力の比較から，絶対値最大の応力は

AB

間に生じ，

その大きさは，

max AB 2

5P

  d

  (1.6)

(3) 全体の変形量はAB

間と

BC

間の重ね合わせである。し

たがって，それぞれの区間におけるひずみに長さをかけて，

BC AB

2 2 2

5 8

2 Pl Pl 13 Pl

l l

E E d E d E d E



 

  

     (1.7)

(4) 荷重と熱による変位の重ね合わせの全体の変位が，隙

間



と等しいとして，

BC AB

1

2 1

2 (3 )

13 3

l l T l

E E

Pl T l d E



  

 



   

   

(1.8)

したがって，

1 2

13

3 3

T P

l d E



 

   (1.9)

(5) 温度をT₂

上げた場合は，右側の剛体壁から仮想の反

力が生じると考えてフリーボディダイアグラムを描くと解図

1.4

となる。

R_A 4P PR_D

解図

1.4 温度上昇T₂

がある場合の

FBD

右向きを正とした力のつり合いから，

A 4 D 0 A 5 D

R P P R R P R

        (1.10)

-2-

(6) この場合における AB

間，BC 間の仮想断面に生じる内

力

Q_AB

，

Q_BC

を解図

1.5，解図1.6

に示すように考える。

QAB

R_A 4P PR_D

解図

1.5 温度上昇T₂

がある場合の

AB

間の仮想断面に生じる内力

Q_BC

R_A 4P PR_D

解図

1.6 温度上昇T₂

がある場合の

BC

間の仮想断面に生じる内力 解図

1.2

の仮想断面左側における力のつり合いから，

A AB 0 AB A 5 D

R Q Q R P R

       (1.11)

解図

1.3

の仮想断面右側における力のつり合いから，

BC D 0 BC D

Q P R Q P R

       (1.12)

したがって，AB 間，BC 間の丸棒に生じる応力

_AB

，

_BC

は，

AB D

AB 2

AB

BC D

BC 2

BC

5

4( )

Q P R

A d

Q P R

A d

 

 

  

  

(1.13)

したがって，全体の伸び

₂

は隙間



と等しいとして，

BC AB

2 2

D D

2 2 2

D 2

2

2 (3 )

(5 ) 8( )

3 (13 9 )

3

l l T l

E E

P R l P R l d E d E T l P R l

d E T l



  

  

 

   

 

   

   

(1.14)

(7) 式（1.13）で得られた₂

は隙間



と等しいから，

D 2 2

(13 9 ) P R l 3

d E  T l 



    (1.15)

未知反力

R_D

について解くと，

2

D 2

1 13

( 3 )

9 9

R T d E P

l

  

    (1.16)

式(1.10)に代入して，

A D

2 2

2 2

5

1 13

5 ( 3 )

9 9

1 32

( 3 )

9 9

R P R

P T d E P

l

T d E P

l

  

  

 

    

   

(1.17)

(7) 式(1.13)に代入してAB

間，BC 間の応力を求めると，

A

AB 2 2 2

D

BC 2 2 2

1 32

( 3 )

9 9

4( ) 4 16

( 3 )

9 9

R P

d l T E d

P R P

d l T E d

  

 

  

 

    

     

(1.18)

数値を入れて計算すると，

6 9

AB

3 2 6

6 9

BC

3 2 6

1 0.001

( 3 11.2 10 100) 206 10 9 0.5

32 10 10 9 0.02

2.834 10 Pa 2.83 MPa 4 0.001

( 3 11.2 10 100) 206 10 9 0.5

16 10 10 9 0.02

138.6 10 Pa 139 MPa













      

 



    

      

 



    

(1.19)

したがって，BC 区間で絶対値最大の応力が生じ，その値は マイナス符号が付いているので圧縮応力である。

max BC 139 MPa

    (1.20)

２．配点 各

5

点，計

30

点

(1) フリーボディダイアグラムは，解図2.1

となる。ただし，

支持点

B

での水平方向分力

Rx

は無くても可。応力が生じ る弾性棒には引張の荷重を仮定するので，剛体棒の点

C，

点

D

にはその逆向きの荷重が生じる。

-3- P R_y

R_x

P_C P_D

解図

2.1 フリーボディダイアグラム

(2)

水平方向の 力のつり合いは，

x 0

R  (2.1)

垂直方向の力のつり合いは，

C D 0 C D

y y

PR P P   R P P  P (2.2) B

点廻りのモーメントのつり合いから，

C D C D

2 3 0 2 3

Pl P l P l  P  P P (2.3)

(3) ABCD

は剛体であり，B 点はピン接合なので，変形後 の状態は解図

2.1

となる。

2a

a a

A B C D

_A

_C _D

解図

2.2 変形後の剛体棒の状態

直角三角形の相似の関係から，

C: D 2 : 3a a

   (2.4)

内積と外積は等しいから，

D C D C

2 3 3

a  a   2 (2.5)

(4) C

点と

D

点の変形量

_C

，

_D

は，ひずみを求めて元の 長さを掛けると，

C C

D D

2 P l AE P l

AE









(2.6)

式

(2.6)

を式

(2.5)

に代入して，

C D

D C

3 3

2 2

P l P l

P P

AE  AE   (2.7)

式(2.3)に代入して，

C C C

2 9 1

P  P P  P 11P (2.8)

式(2.8)を式(2.7)に代入して，

D

3

P 11P (2.9)

式(2.8)と式(2.9)を式(2.2)に代入して，

C D

1 3 15

11 11 11

Ry   P P P   P P P  P (2.10)

弾性棒

CE，DF

に生じる応力

_C

，

_D

は内力とつり合う荷重

PC

，

P_D

をそれぞれの断面積で割って，

C C

1 11

P P

A A

   (2.11)

D D

3

2 22

P P

A A

   (2.12)

応力

_C

，

_D

の絶対値の比較から，最大応力

_max

は弾性棒

DF

に生じ，その値は，

max D

3 22

P

   A (2.13)

(5)

荷重

P

に温度変化

T

が加わった弾性棒

CE

，

DF

の変 形量は，式

(2.6)

に温度変化

T

による変形量を加えて，

C C

D D

2

P l Tl AE

P l Tl AE

 

 

  

  

(2.14)

式

(2.14)

を式

(2.5)

に代入して，

C

D 3

( )

2 2

P l

P l Tl Tl

AE   AE 

D 3 C

P P  TAE

    (2.15)

-4-

式

(2.3)

に代入して，

C C

2P 9P  3 TAEP

C

1 ( 3 )

P 11 P  TAE

    (2.16)

式

(2.15)

に代入して，

D

3 ( 3 )

11

1 (3 2 )

11

P P TAE TAE

P TAE

 



    

  

(2.17)

式

(2.16)

と式

(2.17)

を式

(2.2)

に代入して，

C D

1 1

( 3 ) (3 2 )

11 11

15 1

11 11

Ry P P P

P P TAE P TAE

P TAE

 



   

       

   

(2.18)

点

C，点D

の変位は

C

D

( 3 )

11

( 8 )

11

(3 2 )

22

(3 24 )

22

3 ( 8 )

22 l P

T Tl

AE l P

AE T l P

T Tl

AE l P AE T l P

AE T

  



  





    

  

    

  

  

(2.19)

(6)

変位がゼロになる温度変化は，

8 0

8

P P

T T

AE  AE

        (2.20)

式(2.20)を式(2.16)と式(2.17)に代入して，

C

1 3

( )

11 8 8

P  P P  P (2.21)

D

1 (3 )

11 4 4

P P

P  P  (2.22)

応力は，

C

C 8

P P

A A

   (2.23)

D

D 2 8

P P

A A

   (2.24)

３．配点 各

5

点，計

30

点

(1) 解図3.1

に示すように，中心から

x

の位置の微小幅

dx

の

要素に働く遠心力は，質量×回転軸からの距離×角速度の 二乗である。



x O

dx m₂x²

解図

3.1 微小要素に生じる遠心力

AB

間の微小要素に対する遠心力を

df_AB

とすると，

2 2

AB 2 2 2

2 2

2(2 ) 2 2

df m x dV x

A dxx A xdx

  

   

 

  (3.1)

したがって

q x₂( )

は，

2 2( ) 2 2

q x  A  x (3.2)

2( ) Q x

は，

2

2 2 2 4

2 2

2 2 4

2 2 2

2 2

( ) (4 ) 2

(4 ) 2 [1 ]

2

(4 ) ( 16 )

x a

x a

Q x Q a A d

Q a A

Q a A x a

   

  

 

 

 

  



(3.3)

5

x a

の端部では外力が働いていないから，境界条件は，

5 2(5 ) 0

x a

で

Q a  (3.4)

式

(3.3)

に適用して，

2 2 2

2(5 ) 2(4 ) 2 (25 16 ) 0 Q a Q a A  a  a 

2 2 2(4 ) 9 2

Q a A  a

  (3.5)

(2) OA

間の微小要素に対する遠心力を

df_OA

とすると，

-5-

2 2

OA 1 1

2 2

1 1

df m x dV x A dxx A xdx

  

   

 

  (3.6)

したがって

q x₁( )

は，

2

1( ) 1

q x A  x (3.7)

1( ) Q x

は，

2

1 1 1 0

2 2

1 1

( ) (0) (0) 1

2

x

Q x Q A d

Q A x

   

 

 

 



(3.8)

ここで，

x4a

の仮想断面を含むフリーボディダイアグラムは 解図

3.2

となる。



O

2(4 ) Q a

1(4 ) Q a

解図

3.2 x3a

の仮想断面に働く力 力のつり合いから，

1(4 ) 2(4 ) 0 1(4 ) 2(4 )

Q a Q a   Q a Q a (3.9)

式

(3.9)

を式

(3.8)

に適用して，

2 2 2 2

1(0) 8 1 9 2

Q  A  a  A  a

したがって，

2 2 2 2

1(0) 8 1 (8 1 9 )2

Q  A  a A     a (3.10)

(3)

内力をまとめると，

2 2 2 2

1 1 2 1

2 2 2 2 2

1 2

( ) (8 9 ) 1

2

1 (16 ) 9

2

Q x A a A x

A a x A a

    

   

  

  

(3.11)

2 2 2 2 2

2 2 2

2 2 2

2

( ) 9 ( 16 )

(25 )

Q x A a A x a

A a x

   

 

  

  (3.12)

中心から

x

の位置の応力は，内力を断面積で割って，

1 1

2 2 2 2 2

1 2

( ) ( )

1 (16 ) 9

2 x Q x

A

a x a



   



  

(3.13)

2 2

2 2 2

2

( ) ( ) 2

1 (25 )

2 x Q x

A

a x



 



 

(3.14)

応力

₁

，

₂

ともに，

x

が大きいほど小さくなる。したがって，

それぞれの区間で左端が最も大きな応力となる。

2 2 2 2

1max 1 1 2

2 2

1 2

(0) 8 9

(8 9 )

a a

a

     

  

  

  (3.15)

2 2

2 max 2 2

(4 ) 9

a 2 a

     (3.16)

式(3.15)と式(3.16)の比較から全体での最大応力は

x0

で 生じ，その大きさは，

2 2 max (8 1 9 )2 a

      (3.17)

(4) x

の位置の微小長さ

dx

に対する微小伸び

d

は，

1 1

1 2

2 2 2

1 2

1

( )

{1 (16 ) 9 }

2

d x dx

E

a x a dx

E

 

  



  

(3.18)

2 2

2 2

2 2

2 2

( )

1 (25 )

2

d x dx

E

a x dx E

 

 



 

(3.19)

中心から端部まで積分し

2

倍すると，

-6-

4 5

1 2

0 4

2 4 2 2 2

1 2

1 0

2 5 2 2

2 2 4

2 3

2 2 4

1 2 0

1

2 3

2 5

2

4 2

2 3

3 3

1 2

1

2 3 3

3 3

2 2

2( )

2[ {1 (16 ) 9 }

2

1 (25 ) ]

2

[ (16 ) 18 ]

3

[25 ]

3

{ (64 64 ) 72 }

3

125 64

{(125 ) (100 )}

3 3

a a

a a

a a

a

a a

d d

a x a dx

E

a x dx E

a x x a x

E

a x x E

a a a

E

a a

a a

E

  

  

 

  

 

  

 

 

  

 

  

 

  

   



 





2 3 2 3

2

1 2

1 2

2 3 2

1 2

1 2

128 250 236

( 72 ) ( )

3 3 3

1 128 14

{ ( 72 ) }

3 3

a a

E E

a E E

    

   

  

   (3.20)

(5)

回転数から角速度を求めると，

2 2 1000

104.7 rad/s

60 60

N 

  ^  (3.21)

与えられた数値を式(3.20)に代入して，

2 3

3 3

9 3 9

2 3 6

3

104.7 0.25

1 128

{ ( 2.71 10 72 7.86 10 )

69 10 3

14 7.86 10 3 206 10 } 104.7 0.25 10

1 128 14 7.86

{ ( 2.71 72 7.86) }

69 3 3 206

1.722 10 m 1.72 mm







 

     



 



  

    

 



(3.22)

(6)

場所に寄り材質が異なるため，式(3.15)と式(3.16)で角 速度を求め，より低い方の値を採用する。

2 2 B1

1 2 1

(8 9 ) a

S

    

B1 1

1 2

1 1

8 9

a S

 

 

 

 (3.23)

2 2 B2 B2

2 2 2

2

9 1 2

2 a 9

S a S

 

  

    (3.24)

数値を代入して，

B1 1

1 2

6

3 3

3

1 1

8 9

1 167 10

0.25 12 (8 2.71 10 9 7.86 10 )

1 1 167 10

0.25 8 2.71 9 7.86 12 49.08 rad/s

a S

 

 

 

 

     

 

  



(3.25)

B2 2

2

6 3

3

1 2

9

1 2 330 10

0.25 9 7.86 10 12

1 2 330 10

0.25 9 7.86 12 111.5 rad/s

a S

 

 

 

 

 





(3.26)

両方の条件式を満足する解として

₁

を採用しする。1 分間当 たりの回転数に直すと，

60 1 60 49.08

2 2

486.6 rpm

N 

 

  



(3.27)

四捨五入では無く切り捨てて，486rpm までの回転は許され

る。