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幾何学序論１

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Academic year: 2021

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(1)

幾何学序論１ K.Ichihara

像と逆像

像とは 像と包含関係 逆像とは 逆像と包含関係 像と逆像と包含関係

合成写像

合成写像とは 写像の合成と結合律

幾何学序論１

市原一裕

2014年5月26日（月）2限

(2)

幾何学序論１ K.Ichihara

像と逆像

像とは 像と包含関係 逆像とは 逆像と包含関係 像と逆像と包含関係

合成写像

合成写像とは 写像の合成と結合律

小テスト

1. f : R → R ， f (x) = 1

x − 3 としたとき，

f が関数ではないことを説明しなさい．

2. f (x) = [x] （ [ ] はガウス記号）で定義され る関数 f : R → R の値域を求めなさい．

3. 包含写像 i

Q

: Q → R に対して，制限写像

i

Q

|

Z

の終域と値域を求めなさい．

(3)

幾何学序論１ K.Ichihara

像と逆像

像とは 像と包含関係 逆像とは 逆像と包含関係 像と逆像と包含関係

合成写像

合成写像とは 写像の合成と結合律

像の定義

写像

f : X → Y

を考える．

定義

2.2.1【像（image）】

X

の要素

x

に対して，

f (x) ∈ Y

で決まる

Y

の要素を

f

による

x

の像という．

X

の部分集合

A

に対して，

{f (a) ∈ Y | a ∈ A}

で決まる

Y

の部分集合を

f

による

A

の像といい，

f (A)

とかく．

注意

f

による定義域

X

の像を（単に）

f

の像といい，

f (X)

とかく．これはつまり

f

の値域のこと．

(4)

幾何学序論１ K.Ichihara

像と逆像

像とは 像と包含関係 逆像とは 逆像と包含関係 像と逆像と包含関係

合成写像

合成写像とは 写像の合成と結合律

像と包含関係

定理

2.2.1

A

，

B

を集合とし，

f : A → B

を写像とする．

A

の部分集合

A

1，

A

2に対して，次が成り立つ．

1. A

1

⊂ A

2

⇒ f (A

1

) ⊂ f(A

2

)

2. f (A

1

∪ A

2

) = f (A

1

) ∪ f (A

2

)

3. f (A

1

∩ A

2

) ⊂ f (A

1

) ∩ f (A

2

)

4. f (A

1

− A

2

) ⊃ f (A

1

) − f (A

2

)

(5)

幾何学序論１ K.Ichihara

像と逆像

像とは 像と包含関係 逆像とは 逆像と包含関係 像と逆像と包含関係

合成写像

合成写像とは 写像の合成と結合律

逆像とは

写像

f : X → Y

を考える．

定義

2.2.2【逆像（inverse image）】

Y

の要素

y

に対して，

{ x ∈ X | y = f(x) ∈ Y }

で決まる

X

の部分集合を

f

による

y

の逆像という．記号では

f

−1

(y)

であらわす．

Y

の部分集合

B

に対して，

{ x ∈ X | f (x) ∈ B }

で決まる

X

の部分集合を

f

による

B

の逆像という．記号では

f

−1

(B )

であらわす．

注意

2.2.2

f

−1とかいても，逆写像ではない．

f

−1

(x)

でひとつの記号．

そして，

f

−1

(x)

は

X

のひとつの要素ではなくて部分集合

(6)

幾何学序論１ K.Ichihara

像と逆像

像とは 像と包含関係 逆像とは 逆像と包含関係 像と逆像と包含関係

合成写像

合成写像とは 写像の合成と結合律

逆像と包含関係

定理

2.2.2

A

，

B

を集合とし，

f : A → B

を写像とする．

B

の部分集合

B

1，

B

2に対して，次が成り立つ．

1. B

1

⊂ B

2

⇒ f

−1

(B

1

) ⊂ f

−1

(B

2

)

2. f

−1

(B

1

∪ B

2

) = f

−1

(B

1

) ∪ f

−1

(B

2

)

3. f

−1

(B

1

∩ B

2

) = f

−1

(B

1

) ∩ f

−1

(B

2

)

4. f

−1

(B

1

− B

2

) = f

−1

(B

1

) − f

−1

(B

2

)

(7)

幾何学序論１ K.Ichihara

像と逆像

像とは 像と包含関係 逆像とは 逆像と包含関係 像と逆像と包含関係

合成写像

合成写像とは 写像の合成と結合律

像と逆像と包含関係

定理

2.2.2

f : A → B

を写像とするとき，次が成り立つ．

1. f

−1

(f (A)) ⊃ A

2. f (f

−1

(B)) ⊂ B

(8)

幾何学序論１ K.Ichihara

像と逆像

像とは 像と包含関係 逆像とは 逆像と包含関係 像と逆像と包含関係

合成写像

合成写像とは 写像の合成と結合律

合成写像とは

定義

2.3.1

【合成写像（

composition map

）】

f : X → Y

と

g : Y → Z

という2つの写像に対し，

f

と

g

の合成写像

g ◦ f : X → Z

を，

g ◦ f (x) := g(f (x))

と定義する．

(9)

幾何学序論１ K.Ichihara

像と逆像

像とは 像と包含関係 逆像とは 逆像と包含関係 像と逆像と包含関係

合成写像

合成写像とは 写像の合成と結合律

写像の合成と結合律

定理

2.3.1

f : X → Y

，

g : Y → Z

，

h : Z → W

とするとき，

(h ◦ g) ◦ f = h ◦ (g ◦ f)

注意

2.3.1

この定理から，

(h ◦ g) ◦ f

および

h ◦ (g ◦ f )

のことを，

h ◦ g ◦ f

と書いても大丈夫ということ．

参照

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