幾何学序論１

(1)

幾何学序論１ K.Ichihara

像と逆像

像とは像と包含関係逆像とは逆像と包含関係像と逆像と包含関係

合成写像

合成写像とは写像の合成と結合律

練習問題

幾何学序論１

市原一裕

2015

年

5

月

25

日（月）

2

限

(2)

像と逆像

合成写像

練習問題

小テスト

1. 値域と終域が等しくないような写像の例を挙げなさい．

2. f (x) = x で定義される関数 f : Z → R ^と，

g(x) = [x] （ [ ] はガウス記号）で定義される関数 g : Z → R ^{が，写像として等しい} ことを示しなさい．

3. 包含写像 i _Z : Z → Q ^{に対して，制限写像}

i _Z | N の定義域と値域を求めなさい．

(3)

像と逆像

合成写像

練習問題

像の定義

写像

f : X → Y

を考える．

定義

2.2.1【像（image）】

X

の要素

x

に対して，

f (x) ∈ Y

で決まる

Y

の要素を

f

による

x

の像という．

X

の部分集合

A

に対して，

{f (a) ∈ Y | a ∈ A}

^で決まる

Y

の部分集合を

f

による

A

の像といい，

f (A)

とかく．

注意

f

による定義域

X

の像を（単に）

f

の像といい，

f (X)

とかく．これはつまり

f

の値域のこと．

(4)

像と逆像

合成写像

練習問題

像と包含関係

定理

2.2.1 A

，

B

を集合とし，

f : A → B

を写像とする．

A

の部分集合

A

₁，

A

₂に対して，次が成り立つ．

1. A

1

⊂ A

2

⇒ f (A

1

) ⊂ f(A

2

)

2. f (A

1

∪ A

2

) = f (A

1

) ∪ f (A

2

)

3. f (A

₁

∩ A

₂

) ⊂ f (A

₁

) ∩ f (A

₂

)

4. f (A

₁

− A

₂

) ⊃ f (A

₁

) − f (A

₂

)

(5)

像と逆像

合成写像

練習問題

逆像とは

写像

f : X → Y

を考える．

定義

2.2.2【逆像（inverse image）】

Y

の要素

y

に対して，

{ x ∈ X | y = f(x) ∈ Y }

^で決まる

X

の部分集合を

f

による

y

の逆像という．記号では

f

⁻¹

(y)

であらわす．

Y

の部分集合

B

に対して，

{ x ∈ X | f (x) ∈ B }

^で決まる

X

の部分集合を

f

による

B

の逆像という．記号では

f

⁻¹

(B )

であらわす．

注意

2.2.2 f

⁻¹とかいても，逆写像ではない．

f

⁻¹

(x)

でひとつの記号．

そして，

f

⁻¹

(x)

は

X

のひとつの要素ではなくて部分集合であることに注意！！

(6)

像と逆像

合成写像

練習問題

逆像と包含関係

定理

2.2.2 A

，

B

を集合とし，

f : A → B

を写像とする．

B

の部分集合

B

₁，

B

₂に対して，次が成り立つ．

1. B

1

⊂ B

2

⇒ f

⁻¹

(B

1

) ⊂ f

⁻¹

(B

2

)

2. f

⁻¹

(B

1

∪ B

2

) = f

⁻¹

(B

1

) ∪ f

⁻¹

(B

2

)

3. f

⁻¹

(B

₁

∩ B

₂

) = f

⁻¹

(B

₁

) ∩ f

⁻¹

(B

₂

)

4. f

⁻¹

(B

₁

− B

₂

) = f

⁻¹

(B

₁

) − f

⁻¹

(B

₂

)

(7)

像と逆像

合成写像

練習問題

像と逆像と包含関係

定理

2.2.3 f : X → Y

を写像とし，

A ⊂ X

，

B ⊂ Y

とするとき，次が成り立つ．

1. f

⁻¹

(f (A)) ⊃ A

2. f (f

⁻¹

(B)) ⊂ B

(8)

像と逆像

合成写像

練習問題

合成写像とは

定義

2.3.1【合成写像（composition map）】

f : X → Y

と

g : Y → Z

という

2

つの写像に対し，

f

と

g

の合成写像

g ◦ f : X → Z

を，

g ◦ f (x) := g(f (x))

と定義する．

(9)

像と逆像

合成写像

練習問題

写像の合成と結合律

定理

2.3.1 f : X → Y

，

g : Y → Z

，

h : Z → W

とするとき，

(h ◦ g) ◦ f = h ◦ (g ◦ f)

注意

2.3.1

この定理から，

(h ◦ g) ◦ f

および

h ◦ (g ◦ f )

のことを，

h ◦ g ◦ f

と書いても大丈夫ということ．

(10)

像と逆像

合成写像

練習問題

練習問題練習問題

2.3.1 f : R → R，f (x) = x

²

+ 2

とするとき，次の集合の像と逆像を求めなさい．

A

₁

= [0, 1] , A

₂

= (2, 3] , A

₃

= (4, 5)

練習問題

2.3.3

写像

f : X → Y

とし，B1と

B

2を

Y

の部分集合とする．このとき，次を証明しなさい．

f

⁻¹

(B

₁

∩ B

₂

) ⊃ f

⁻¹

(B

₁

) ∩ f

⁻¹

(B

₂

)

練習問題

2.3.4 f : R → R，f (x) = 2x + 3

と，g

: R → R，g(x) = x

²

+ x + 1

について，次に答えなさい．

▶

g ◦ f

，f

◦ g，f ◦ f

，g

◦ g

を式であらわしなさい．

▶

f ◦ f ◦ · · · ◦ f

（n個の合成）を式であらわしなさい

幾何学序論１