解析学２
No.2 2006.10. 5
1.2 逆三角関数 担当：市原
¶
逆関数³
関数
y = f (x)
の値域のどの値b
に対してもf (a) = b
となるa
がただ一つ存在するとき,対応b 7→ a
で決まる関数を,もとの関数y = f (x)
の逆関数といい,y = f
−1(x)
で表す.f−1の右肩の小さい「−1」は「マイナスいち」ではなく,逆関数を表す記号で「インバース」(inverse)とよむ.
µ ´
逆三角関数
¶ ³
(1)
閉区間[ −
π2,
π2]
で,y = sin x
は逆関数をもち,これをy = arcsin x
とかく.(b = arcsin a) ⇔ (
a = sin b, − π
2 ≤ b ≤ π 2 )
(2)
閉区間[0, π]
で,y = cos x
は逆関数をもち,これをy = arccos x
とかく.(b = arccos a) ⇔ (a = cos b, 0 < b < π)
(3)
開区間( −
π2,
π2)
で,y = tan x
は逆関数をもち,これをy = arctan x
とかく.(b = arctan a) ⇔ (
a = tan b, − π
2 < b < π 2 )
これらの関数を総称して
[ ]
とよぶ.arcsin, arccos, arctanはそれぞれarcsine, arccosine, arctangent の略で,アークサイン,アークコサイン,アークタン ジェントと読む.
µ ´
例題
3
次の値を求めなさい.(1) arcsin
√ 3
2 (2) arccos( − 1) (3) arctan
(
− 1
√ 3 )
定理
4 (逆三角関数の導関数)
y = arcsin x
の導関数はy = 1
√ 1 − x
2, y = arccos x
の導関数はy = − 1
√ 1 − x
2y = arctan x
の導関数はy = 1 1 + x
2例題
4
次の関数を微分しなさい.(1) y = arcsin(2x − 1) (2) y = x
2arccos x
定理
5 (
逆三角関数に関する不定積分)
∫ 1
√ 1 − x
2dx = arcsin x + C,
∫ − 1
√ 1 − x
2dx = arccos x + C,
∫ 1
1 + x
2dx = arctan x + C
2
解析学２
No.2 2006.10. 5
1.2 逆三角関数 担当：市原
問題
12
次の値を求めなさい.
(1) arcsin 1
2 (2) arccos(0) (3) arctan ( − 1)
問題
13
次の関数を微分しなさい. (1) y = arctan( − 2x − 5)
2(2) y = (sin 2x)(arccos 3x)
問題
14
不定積分∫ 2
1 + 4x
2dx
を計算しなさい.
問題
15
定積分∫
12
0
