§2. 逆三角函数

§ 2. _{逆三角函数}

•復習：合成函数の微分 ! f(g(x))"!

=f^!(g(x))g^!(x)

注意2.1. f^!(g(x))はf^!(x)のxのところにg(x)を代入したもの．

すなわち，f^!(x)とg(x)の合成函数．

(f(−x))^!=f^!(−x)·(−1) =−f^!(−x).

たとえば，f(x) =x⁴のとき，f^!(x) = 4x³．ゆえにf^!(−x) =−4x³．

一方でf(−x) =x⁴より，(f(−x))^!= (x⁴)^!= 4x³で，これはf^!(−x)とは異なる．

例題2.2. f(x) =x³，g(x) = sinxのとき，f(g(x)) = (sinx)³= sin³x．ゆえに

!f(g(x))"!

= (sin³x)^!= 3 sin²xcosx.

•逆函数とその微分

f(x)：区間Iを定義域（変域）とする1対1の函数とする．

すなわち，x"=x^! =⇒ f(x)"=f(x^!)が成り立っているとする．

J:=f(I)：函数f(x)の値域とする．すなわち，J={y; y=f(x), x∈I}． 定義2.3. 各y∈J に対して，y=f(x)となるx∈Iがただ一つだけ存在する．

yにこのxを対応させる函数をf(x)の逆函数といい，x=f⁻¹(y)と表す．

明らかに，f⁻¹(f(x)) =x(∀x∈I)であり，

x y=f(x)

f

f⁻¹ f(f⁻¹(y)) =y(∀y∈J)が成り立つ．

注意2.4. 独立変数をx，従属変数をyと書く習 慣に従って，y=f(x)の逆函数を，y=f⁻¹(x)と 表すことが多い．

•逆三角函数：

(1)y= sinxをI:=#

−^π2,^π₂$で考える．

π 2 1

−π 2

−1 y= sinx!

−^π2!x!^π₂"のグラフ

x y

O

1 π 2

−1

−π 2 y= arcsinxのグラフ

x y

O

1

グラフより，y= sinxはIで1対1の函数である．値域は[−1,1]．

ゆえに[−1,1]を定義域とする逆函数がある．この函数を sin⁻¹xまたはarcsinx

（アークサイン）で表す． 【例】arcsin 1√ 2 = π

4，arcsin%

−

√3 2

&

=−π 3  (arcsinx)^!を求めてみよう．簡単のため，以下ではg(x) = arcsinxとおこう．

−^π₂< t <^π₂のとき，g(sint) = arcsin(sint) =tであるから，両辺をtで微分すると g^!(sint) cost= 1. · · · ·'¹

x= sintとおくと，−^π2< t <^π₂であるから，cost >0．ゆえに cost='

1−sin²t=√ 1−x². 'より，g1 ^!(x) = 1

cost= 1

√1−x²．以上より，(arcsinx)^!= 1

√1−x²． (2)y= tanxをI:=!

−^π2,^π₂"で考える．

!!

π 2

−π 2

y= tanx!

−^π₂< x <^π₂"のグラフ x y

O

""

π 2

−π 2

y= arctanxのグラフ x y

O

グラフより，y= tanxはIで1対1の函数である．値域は(−∞,∞)．

ゆえに(−∞,∞)を定義域とする逆函数ある．この函数をtan⁻¹xまたはarctanx

（アークタンジェント）で表す． 【例】arctan 1 = π

4，arctan%

−√1 3

&

=−π 6  g(x) = arctanxとおくと，−^π2< t <^π₂のとき，g(tant) =tであるから，両辺を tで微分すると

g^!(tant) 1

cos²t= 1. · · · ·'² x = tantとおくと，cos²t = 1

1 + tan²t = 1

1 +x² であるから，'より，g^{2 !}(x) = cos²t= 1

1 +x²．以上より，(arctanx)^!= 1 x²+ 1．

2

(3)y= cosxをI:= [0,π]で考える．

π

−1

π 2 1

y= cosx(0!x!π)のグラフ x y

O

−1 π

1 π 2

y= arccosxのグラフ x y

O グラフより，y= cosxはIで1対1の函数．値域は[−1,1]．

ゆえに[−1,1]を定義域とする逆函数がある．この函数をcos⁻¹xまたはarccosx

（アークコサイン）で表す．(arccosx)^!=− 1

√1−x²（自習）．

例題2.5. y= sin(arcsinx)のグラフをかけ．

【解答例】f(x) := sin(arcsinx)の定義域は−1≤x≤1であり，arcsinxの定義から f(x) =x(−1≤x≤1)である．

問題2.6. y= arcsin(sinx)のグラフをかけ．

【解答例】f(x) := arcsin(sinx)とおく．f(x)の定義域は−∞< x <∞である．

(1)−π 2≤x≤π

2のとき．arcsinxの定義から，arcsin(sinx) =x．

(2)π

2≤x≤3π

2 のとき．−π

2≤x−π≤π

2であるから，(1)より arcsin(sin(x−π)) =x−π.

ここでsin(x−π) =−sinxであるから，結局f(x) =−x+π．

(3)f(x+ 2π) =f(x)であるから，(1)と(2)からわかるy=f(x)の−π

2≤x≤3π におけるグラフを周期的に延ばせばよい． 2

−π

2 π

2 π

2 3π

2

−π 2 π

π

y=f(x) (−^π2 ≤x≤^3π2)のグラフ

=⇒

x y

O

−π

2 π

2 π

2 3π

2

−π 2 π

π 2π

−π

y=f(x)のグラフ x y

O

3

【宿題】（5月10日提出）

[ 1 ] 次の値を求めよ（答えだけでよい）．

(1) arcsin 1

2 (2) arccos%

−√1 2

&

(3) arctan√

3 (4) lim

x→∞arctanx [ 2 ] arctan 1

2+ arctan 1 3 = π

4 であることを示せ．

（ヒント： α:= arctan¹₂，β:= arctan¹₃とおいてtan(α+β)を計算せよ．

0<α<^π₄かつ0<β<^π₄であることに注意．）

[ 3 ] 次の函数を微分せよ．

(1) arctan

(1 +x

1−x(−1< x <1) (2)a >0を定数とするとき，x√

a²−x²+a²arcsin x

a (−a < x < a)

4