1.2 逆三角関数 担当：市原

解析学２

No.2 2006.10.11

1.2 逆三角関数

¶

³

関数

y = f (x)

b

f (a) = b

a

b 7→ a

y = f (x)

y = f

(x)

f⁻¹の右肩の小さい「−1」は「マイナスいち」ではなく,逆関数を表す記号で「インバース」(inverse)とよむ.

µ ´

逆三角関数

¶ ³

(1)

[ −

,

]

y = sin x

y = arcsin x

(b = arcsin a) ⇔ (

a = sin b, − π

2 ≤ b ≤ π 2 )

(2)

[0, π]

y = cos x

y = arccos x

(b = arccos a) ⇔ (a = cos b, 0 < b < π)

(3)

( −

,

)

y = tan x

y = arctan x

(b = arctan a) ⇔ (

a = tan b, − π

2 < b < π 2 )

これらの関数を総称して

[ ]

arcsin, arccos, arctanはそれぞれarcsine, arccosine, arctangent の略で,アークサイン,アークコサイン,アークタン ジェントと読む.

µ ´

例題

3

(1) arcsin

√ 3

2 (2) arccos( − 1) (3) arctan

(

− 1

√ 3 )

定理

4 (逆三角関数の導関数)

y = arcsin x

y = 1

√ 1 − x

, y = arccos x

y = − 1

√ 1 − x

y = arctan x

y = 1 1 + x

例題

4

(1) y = arcsin(2x − 1) (2) y = x

arccos x

定理

5 (

)

∫ 1

√ 1 − x

dx = arcsin x + C,

∫ − 1

√ 1 − x

dx = arccos x + C,

∫ 1

1 + x

dx = arctan x + C

2

解析学２

No.2 2006.10.11

1.2 逆三角関数

問題

12

. (1) arcsin 1

2 (2) arccos(0) (3) arctan ( − 1)

問題

13

. (1) y = log(arctan x)

(2) y = (x

− 13) arccos 3x

問題

14

∫ 2

√ 1 − 4x

dx

.

問題

15

∫

0

2 arctan x dx

.

(Hint: 2 × arctan x

.

.)

学籍番号 氏名