3.3 逆関数・逆三角関数（解答） 担当：市原

数学演習

1 No.7 2004.11. 24

3.3 逆関数・逆三角関数（解答）

担当：市原

問題

14

次の関数の逆関数を求めなさい

.

また求めた逆関数を微分しなさい

. (1) y = √

³

x

両辺を

3

乗すると

, y

³

= x.

よって逆関数は

y = x

³

.

また微分すると

y = 3x

²

.

(2) y = x − 2

x + 1

両辺に

x + 1

をかけて

, (x + 1)y = x − 2.

これより

,

xy + y = x − 2 xy − x = −y − 2 x(y − 1) = −y − 2

x = −y − 2 y − 1

従って逆関数は

y = −x − 2 x − 1 .

商の微分の公式より,微分すると

y = (−x − 2)

⁰

× (x − 1) − (−x − 2) × (x − 1)

⁰

(x − 1)

²

= −(x − 1) − (−x − 2)

(x − 1)

²

= 3 (x − 1)

²

(3) y = e

^3x 両辺の底が

e

の対数を考えると

, log y = log e

^3x

= 3x log e = 3x.

よって

, log y = 3x

より

, x = 1

3 log y.

従って逆関数は

, y = 1 3 log x.

微分すると

, y = 1 3 · 1

x = 1 3x

(4) y = 3 log(2x − 1)

両辺を

3

で割ると

, y

3 = log(2x − 1).

よって対数の定義より

, e

^y3

= 2x − 1.

変形すると

, x = e

^y3

+ 1

2

なので

,

従って逆関数は

y = 1 2 e

^x3

+ 1

2 .

微分すると

, y = 1

2 ×

³ x 3

´

₀

× e

^x3

= 1 6 e

^x3

問題

15

次の式を満たす

x

の値を求めなさい

.

(1) x = 4 arctan(−1) = 4 × ³

− π 4

´

= −π

(2) 2 arccos x = π

3 arccos x = π

6

より

, x = cos π 6 =

√ 3 2

(3) arcsin x = arccos 1

2 arccos 1

2 = π

3

より

, arcsin x = π

3 .

よって

, x = sin π 3 =

√ 3

2

問題

16

次の関数を微分しなさい

.

(1) y = arcsin(x + 5)

合成関数の微分の公式より

,

導関数は

y = (x + 5)

⁰

× 1

p 1 − (x + 5)

²

= 1

√ −x

²

− 10x − 24

(2) y = − arccos(3x − 2)

合成関数の微分の公式より

,

導関数は

y = −(3x − 2)

⁰

× −1

p 1 − (3x − 2)

²

= 3

√ −9x

²

+ 12x − 3

(3) y = 1

3 arctan(7x + 3)

合成関数の微分の公式より

,

導関数は

y = 1

3 × (7x + 3)

⁰

× 1

1 + (7x + 3)

²

= 7

3(49x

²

+ 42x + 10)

(4) y = x arctan x

積の微分の公式より

,

導関数は

y = (x)

⁰

× (arctan x) + (x) × (arctan x)

⁰

= arctan x + x × 1

1 + x

²

= arctan x + x 1 + x

²

(5) y = arcsin x

² 合成関数の微分の公式より

,

導関数は

y = (x

²

)

⁰

× 1

p 1 − (x

²

)

²

= 2x

√ 1 − x

⁴

(6) y = (arccos x)

² 合成関数の微分の公式より

,

導関数は

y = (arccos x)

⁰

× 2(arccos x)

¹

= −1

√ 1 − x

²

× 2(arccos x) = −2(arccos x)

√ 1 − x

²