3.2 指数関数 担当：市原

解析学１

3.2 指数関数 担当：市原

¶ 指数関数 ³

関数 y=a^x をaを底とする指数関数とよぶ. ただし,a >0 かつa6= 1 である.

µ ´

¶ ³

y=a^xのグラフ (a >0, a6= 0) ．

xOy 1

0 < a ^{< 1}

Oy x

1

<1

a

µ ´

自然対数の底

¶ ³

極限値 lim

n→∞

( 1 + 1

n )_n

を自然対数の底と呼び,eで表す.

このeについて, lim

h→0

e^h−1

h = 1 が成り立つ.

µ ´

定理 17 (指数関数の導関数)

eを底とする指数関数y=e^xの導関数は,再びy=e^xになる.

定理 18 (指数関数の不定積分)

eを底とする指数関数y=e^xの不定積分は,

∫

e^xdx=e^x+C となる.

例題 19 次の関数を微分・積分しなさい. (1)y=e^3x

(2)y=xe^x

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解析学１

3.2 指数関数 担当：市原

問題17 次の関数を微分しなさい.

(1)y= (sinx)e^2x

(2)y= e^−x 3x

(3)y=e^sinx

(4)y= 1 cos(e^x)

問題18 次の関数を積分しなさい.

(1)y= (2x+ 3)e^2x

(2)y= (cosx)(e^sinx+ 1)

問題19 次の関数を指示された区間で定積分しなさい.

(1)y=xe^−2x [−1,1]

(2)y=xe^x2 [0,1]

学籍番号 氏名