数学 2 ・数学演習 2 No.4 2004.10.21
1.2. 様々な関数の微分 1.2.1 三角関数と指数・対数関数 担当：市原
¶ 弧度法 ³
円弧の長さを用いた角の大きさの表し方を弧度法という . 単位は rad ( ラジアン ).
一方 , 直角を 90
◦とし , 1 周を 360
◦とする角の大きさの表しかたを 60 分法とよぶ .
つまり 2π ラジアン = 360
◦となる .
これ以後 , 角の大きさは弧度法で表し , 単位ラジアンも特に書かない
µ ´
¶ 三角関数 ³
単位円 ( 原点を中心とする半径 1 の円 ) の上に点 P(x, y) があり , 線分 OP が x 軸の 正方向と角 θ をなしているとする . このとき
cos θ = x, sin θ = y, tan θ = y x
と定義し , θ に対しそれぞれの右辺の値を対応させることにより定まる関数 y = sin θ, y = cos θ, y = tan θ を総称して三角関数
aという .
ただし , tan θ は θ = π
2 + nπ (n は整数 ) に対して定義しない .
a
sin, cos, tan
はそれぞれsine, cosine, tangent
の略でサイン,
コサイン,
タンジェントと読む.
µ ´
例題 10 sin π 4 , cos
µ
− 5π 6
¶
, tan 5π
2 の値を求めなさい .
定理 6 ( 三角関数の極限値・導関数 ) y = sin x, y = cos x に対し , 次が成り立つ . lim
θ→0sin θ
θ = 1, lim
θ→0
cos θ − 1
θ = 0
これより ,
y = sin x の導関数は y = cos x y = cos x の導関数は y = − sin x y = tan x の導関数は y = 1
cos
2x
が示される .
9
x
y y x
y = s i n x
y = c o s x x
y y x
y = - s i n x y = c o s x
¶ 指数関数 ³
関数 y = a
xを a を底とする指数関数とよぶ . ただし , a > 0 かつ a 6= 1 である .
µ ´
自然対数の底
¶ ³
極限値 lim
n→∞
µ 1 + 1
n
¶
nを自然対数の底と呼び , e で表す .
この e について , lim
h→0
e
h− 1
h = 1 が成り立つ .
µ ´
定理 7 ( 指数関数の導関数 )
e を底とする指数関数 y = e
xの導関数は , 再び y = e
xになる .
例題 11 次の関数を微分しなさい . (1) y = e
3x(2) y = 5
x(Hint: y = 5
xの両辺の自然対数を考える )
¶ 対数関数 ³
a > 0 であり a 6= 1 であるとする . 指数関数 y = a
xが与えられたとき , y の値に対 し x の値を対応させることにより得られる関数を x = log
ay とあらわし , 対数関数 とよぶ . a を底 , y を真数とよぶ . 底が e である対数を自然対数とよび , 底 e は特 に書かない .
µ ´
定理 8 ( 対数関数の導関数 ) e を底とする対数関数 y = log x の導関数は y = 1 x
10
数学 2 ・数学演習 2 No.4 2004.10.21
1.2. 様々な関数の微分 1.2.1 三角関数と指数・対数関数 担当：市原
問題 10 次の関数を微分しなさい . (1) y = sin x
2(2) y = 1 tan x
(3) y = cos(3x
2− 1)
(4) y = x(sin x + tan x)
(5) y = √ cos x
問題 11 lim
θ→0
cos θ − 1
θ = 0 を証明しなさい . ただし , lim
θ→0
