これは実際に次の図のようにガウス平面をつくれば
arglog(1 +eiθ) =α
arglog(1−eiθ) =β
ImZ
ReZ
を考えると。これはz=n(n=±1,±3,· · ·)のところで1位の極があるからド・ロピタルの定理から1階の 微分をとり、留数は
Res= lim
z→n
z−n
eiπz+ 1 = lim
z→n d
dz(z−n)
d
dz(eiπz+ 1) = 1 iπ
1 einπ = i
π (5.3)
となる。この結果を利用する。さらにeiπmのmに0,1,2· · · を入れると、1,−1をくりかえし、eiπ2mに入 れると1, i,−1,−iを繰り返す。0をとおらない閉曲線、周期関数である。
留数定理を使うと任意の関数は式3.42から次のように展開できる。
f(z) = Resm
(z−a)m + Resm−1
(z−a)m−1 +· · ·+ Res2
(z−a)2+ Res1
z−a+ ˜f(z) ここでf˜(z)はm+nが正で極をもたない。z=aで正則であれば
1 2πi
∫
C
f(z)dz= Res1 となり、Res1の項だけが積分で残る。
よってz=aのみを内部に含む閉曲線をCとして下図のようにz=±1,±3,· · ·,±2n−1周りの反時計まわ りのn個の閉曲線Cnを考える。
図5.3: 連続した極のまわりの積分回路 ある関数が次のような級数に展開できる複素関数を作成してみよう。
z=±1,±3,· · ·,±2n−1のみが拾えるようにi/zに先の 1
eiπz+1をかけ、符号変化を考え、eiπ2zをかけて次 のようにおく。式5.3からi/π が留数なので2πiをかけて消せるようにさらに2で割っておく。
また、実数軸の正の領域さけの和になるように全体を2で割る。こうしておいてまずNを有限にして和を つくり、最後に無限大にしていけばいい。
1−1 3+1
5 −1
7 +· · · = 1 2 lim
N→∞
∑N n=−N
∫
Cn
1 2 i z
eiπ2z eiπz+ 1dz
= 1
2 lim
N→∞
∑N n=−N
∫
Cn
1 2 i z
eiπ2z eiπz+ 1dz
次にこの積分を考える。そのために上図の小円を次の図のように経路をつなげて大きな半円2つにわけると 原点以外の特異点を積分路の外に出す。原点は上半円C+に含ませる。
ImZ
+
-図 5.4: 上半円に原点を含ませる
したがって、周積分は上半円のみ値を持つ。しかし、小円の向きを反時計回りで維持させるためには上大円 の向きが時計回りであることに注意して
∫
C+
1 4 i z
eiπ2z
eiπz+ 1dz= i 4 1
22πi[−ei·0] = π 4 となる。
6 波動現象
古典的な波動現象は運動方程式と違い、波を生じる全空間を考慮する必要があり、これは量子論を基本的 に考え直す際の重要な要素である。境界条件により、大きく変化する波の現象は基本的に内部、外部としての 存在を区別し、観測、被観測をわける。ここでは古典的な波動現象を復習し、量子論を記述する方程式との関 係を見る基礎力をつける。
6.1 ダランベールの解
はじめに簡単のために1次元の波動方程式
utt−c2uxx= 0 を考えよう。前節の偏微分方程式の解法としてこの特性方程式を
dx2−c2dt2= 0 が得られる。明らかに次の2つの式
dx−cdt= 0, dx+cdt= 0 が得られ、これから特性曲線が
ξ = x−ct=Const.
η = x+ct=Const.
が得られる。