周期的ポテンシャル

1次元自由粒子についてさらに周期的なポテンシャルが次のクローニッヒペニーのモデル(Kronig-Penny model) になる場合を考える。

V(x) =−V₀

+∞

∑

n=−∞

δ(x+na) ,(V₀>0, n∈Z)

図 8.4: クローニッヒペニーのポテンシャル 0< x < aではV(x) = 0なので先と同様に波動関数の一般解はx⊂(0, a)として

ϕn(x) =Ae^ikx+Be^−ikx (8.30)

ただしkは束縛状態E <0もあり得るので複素数であり k=

√2mE

ℏ² (8.31)

である。また周期的な境界条件から

ϕn(x) =e^iknaϕn(x−a) とおくことができた。。よってa < x <2aの範囲において解は

ϕ_n(x) =e^ikna (

Ae^ik(x−a)+Be^−ik(x−a) )

(8.32) となる。境界条件から両側から

ϕn(a→+0) =ϕn(a→ −0)

が成り立つのでシュレディンガー方程式を次の微小区間で積分するとデルタ関数の性質から

∫ a+ϵ a−ϵ

dx [ℏ²

2m∇²ϕ_n−V(x)ϕ_n+Eϕ_n ]

= 0 ℏ²

2m∇ϕn|^a+ϵa−ϵ+V0

∫ a+ϵ a−ϵ

δ(x−a)ϕn(x)dx+E

∫ a+ϵ a−ϵ

ϕn(x)dx= 0 ℏ²

2m(∇ϕn(a→+0)− ∇ϕn(a→ −0)) +V0ϕn(a) + 2ϵEϕn(a)dx+O(ϵ²) = 0 ここでϵ→0の極限をとれば

∇ϕn(a→+0)− ∇ϕn(a→ −0) + 2m

ℏ²V0ϕn(a) = 0 式8.6から

e^iknaik(A+B)−ik(

Ae^ika−Be^−ika) +2m

ℏ²V₀(

Ae^ika+Be^−ika)

= 0 (8.33)

を得る。さらに境界条件ϕ_n(x) =ϕ_n(x+a)を式8.6に使うと

Ae^ika+Be^−ika−e^ikna(A+B) = 0 (8.34) が得られる。この2式からA, Bについての連立方程式は次のようになる。

(

e^ika−e^ikna e^−ika−e^ikna

−ik(

e^ika−e^ikna)

+^2m_ℏ2V0e^ika ik(

e^−ika−e^ikna)

+^2m_ℏ2V0e^−ika ) (

A B

)

= 0

この行列に逆行列が存在するとA=B = 0となってしまうので解が存在する条件として行列式が0になれ ばよい。

従って

(e^ika−e^ikna) ( ik(

e^−ika−e^ikna) +2m

ℏ²V0e^−ika )

−(

e^−ika−e^ikna) (

−ik(

e^ika−e^ikna) +2m

ℏ²V0e^ika )

= 0

e^iknaike^ikna+ik(

1−2e^ikae^ikna)

−e^ikna2m

ℏ² V0e^−ika e^iknaike^ikna+ik(

1−2e^−ikae^ikna)

+e^ikna2m

ℏ²V0e^ika = 0 よってe^ika+e^−ika= 2 coska だから

2ik(

1 + 2e^ikna−e^ikna(

e^ika+e^−ika))

+e^ikna2m ℏ²V0

(e^ika−e^−ika)

= 0

2ik(

1 + 2e^ikna−2e^iknacoska)

+e^ikna2m

ℏ² V₀2isinka= 0 両辺を4ike^iknaでわると

cosk_na= coska−am

ℏ² V₀sinka

ka = 0 (8.35)

を得る。左辺は実のコサインだから

coska−am

ℏ²V₀sinka ka >1

となる実数解は存在しない。E <0の場合は地球に束縛された月のように束縛状態となるから

式8.31から改めて

k=iβ β =

√2m|E| ℏ² >0 としてkは純虚数とする。そこで次の公式

cosix = coshx sinix = isinhx から式8.35は新たに次のように関数f(x)を定義すると

cosk_na=f(iβa)≡coshβa−amV₀ ℏ²

sinhβa ka

となる。従ってこれは実数ならば下図左のように振動解になるが引数に虚数が入ると下図右のように急激に 増加する関数である。

䞉^{5 5}

䞉^1.0 䞉^0.5 0.5 1.0

䞉² 䞉^{1 0 1 2}

0.5 1.0 1.5

図 8.5: cosx-^sin_x^xのグラフ、右はx=ixの場合

従って必ず1と公差するところがあり、これより上の領域にはエネルギー固有値が存在しない。

これからエネルギー固有値の下限が次のように決まる。

|E|= β²ℏ²

2m ≤β²₀ℏ² 2m ≡E₀ E ≥ −E0

この時

f(iβa) = 1 だから

k= 0 + 2nπ

となる。次に非束縛状態E >0の場合を考える。この時kは正の実数である。ただし、f(iβa)>1となる ようなkはとることができないからC=^amV_ℏ2⁰ として式8.35は

cosx−Csinx

x = 1 (8.36)

を解くと半角の公式から

1−2 sin²x 2 −C

xsinx 2 cosx

2 = 1 sinx

2 (

sinx 2 +C

xcosx 2 )

= 0 従って

sinx

2 = 0, tanx 2 =−C

x (8.37)

となる。よって１つは

xn= 2nπ

でもう一つは次のグラフ左の交点になる。この解を∆(2nπ)とおくと x^′_n= 2nπ−∆(2nπ) となるがn→ ∞では∆→0である。

䞉⁶ 䞉⁴ 䞉^{2 2 4 6}

䞉⁴ 䞉² 2 4

䞉⁶ 䞉⁴ 䞉^{2 2 4 6}

䞉³ 䞉² 䞉¹ 1 2 3

図 8.6: tanx,⁻_x¹のグラフ左、cotx,⁻_x¹ のグラフ位右、交点が解 また、f(x) =−1の場合も同様に

k=π+ 2nπ なので次の2つの解を持つ。

cosx

2 = 0, cotx 2 =−C

x 結局これは式8.36から次のグラフの1,−1の内側の領域で解を持つ。

䞉³⁰ 䞉²⁰ 䞉^{10 10 20 30}

䞉³ 䞉² 䞉¹ 1

図8.7: 非束縛状態cosx-^sin_x^xのグラフ

従ってnが小さい時、外側の領域では解をとることができない禁則帯が存在する。

このモデルはシュレディンガー方程式の自由粒子と無限ポテンシャルがある場合の解を両極限に持っている。

つまりポテンシャルV₀を無限大にすると∆の幅が広がり、離散スペクトルになり、nが大きいところでは 自由粒子の解になる。

そこで式8.35の解を次のように連続的に足し合わせる関数をつくると。

f(x) = 1 xarccos

( _N

∑

n=0

cosnknx ka

)

このグラフは

䞉^1.0 䞉^{0.5 0.5 1.0}

䞉¹⁰ 䞉⁵ 5 10

図8.8: 不連続になったarccosxのグラフ、このグラフを切り貼りする これをy軸で反転させ、90度回転してつなぐと下図のようなエネルギー固有値が得られる。

-10 -5 0 5 10

20 40 60 80 100

図8.9: 不連続になったエネルギー固有値 エネルギー固有値に不連続な禁則帯が生じ、バンド構造が生れることがわかる。

ドキュメント内 ( V V dv = ˆx + x y ŷ + V ) z ẑ (dxˆx + dyŷ + dzẑ) (gradient) ( V V V = ˆx + x y ŷ + V ) z ẑ (infinitesimal displacement) dl = (dxˆx + dyŷ + dzẑ) θ dv (ページ 156-160)