IVB 理論の応用

本稿では詳しい解析が与えられているミュー粒子崩壊(16.6.1節)のみをまとめ，簡単な言及で済まされて いる

• ^{ニュートリノ散乱}νµ+e⁻→νe+µ⁻ (16.6.2節)

• W ボゾンのレプトン化崩壊 W⁺→l⁺+ν_l (16.6.3節)

については省略することにする．いずれの過程についても，IVB理論の予想は実験結果と良く一致する．

16.6.1ミュー粒子の崩壊

レプトン的過程の重要な例として，ミュー粒子の崩壊過程

µ⁻(p, r) → e⁻(p^′, r^′) + ¯νe(q1, r1) +νµ(q2, r2)

を取り上げよう．最低次のFeynmanダイヤグラムは図18で表され，対応するFeynman振幅はFeynman規 則に基づき

M=−g_W²[¯u(p^′)γ^α(1−γ5)v(q1)]i(−gαβ+kαkβ/m_W²)

k²−m_W²+iε [¯u(q2)γ^β(1−γ5)u(p)], k=p−q2=p^′+q1

図18 ミュー粒子の崩壊

と与えられる．(ただしここではレプトンの種類の指標やスピン添字を省いた．)

W ボゾンの質量mW はmµに比べて大きいので，［現実的な状況としてm_W²がkαkβに比べて大きい場 合を考えると，］伝播関数は近似的に

iDFαβ(k, mW) = i(−g_αβ+k_αk_β/m_W²)

k²−m_W²+iε → ig_αβ m_W² に置き換わり，Feynman振幅は

M=−iG

√2[¯u(p^′)γ^α(1−γ5)v(q1)][¯u(q2)γ^β(1−γ5)u(p)]

となる．ここにGは

√G 2 =

(g_W mW

)2

で定義されるFermiの結合定数である［無次元の結合g_W とは対照的に，これは自然次元−2を持つ］．［とこ ろで16.1節で説明されたように，W ボゾンの質量m_W が大きいことは弱い相互作用を点接触型相互作用の ように扱うことを可能にする．実際，］この置き換えはあらかじめ，Fermiの提案した点接触型相互作用

H^(F)_I (x) = G

√2J^α(x)J_α^†(x)

を考えることと等価である．このときのFeynmanダイヤグラムは図19のように，W ボゾンの内線を1点に 縮めたゼロ距離の相互作用となる．

一般公式(16.36)より，崩壊頻度はFeynman振幅を用いて dΓ = (2π)⁴δ⁽⁴⁾(p^′+q1+q2−p)mµmemν_enν_µ

E

1 (2π)⁹

d³p^′ E^′

d³q1

E₁ d³q2

E₂ |M|² と表される．

図19 ミュー粒子の崩壊の点接触型相互作用による表現

• 終状態のスピンについて和をとり(∑

r^′,r1,r2)，始状態のスピンについて平均をとると(¹₂∑

r)， 式(16.53)が得られる．

• 次いでニュートリノの質量をゼロと見なして，

ニュートリノの運動量q1,q2に関する積分を行うと，式(16.64)になる．

• 最後に始状態のミュー粒子の静止系を採用し，m_e²/m_µ²を無視する近似の下で 電子の運動量p^′に関する積分を行うと，全崩壊頻度(16.68):

Γ = 1 2

∑

spins

∫

q₁,q₂,p^′

dΓ = G²m_µ⁵ 192π³ が導かれる．

ここで扱った反応µ⁻→e⁻ν¯_eν_µの実験的な分岐比は98.6％である．そこでこれをミュー粒子の唯一の崩壊 モードと見なすと，ミュー粒子の寿命は

τµ= 1

Γ = 192π³ G²m_µ⁵

と表される．この結果はミュー粒子の質量m_µ と寿命τ_µに対する実験的な値からFermi結合定数を，した がって結合の強さg_W²/4πを求めるのに用いることができ，その結果は

g_W²

4π ≃4×10⁻³

となる．これは1に比べて小さい値となっているので，弱い相互作用においても摂動論による近似が有効であ ると期待される．

• ミュー粒子の寿命に関する予言からは，実験との比較により結合定数Gが決まるだけである．

そこで理論のさらなる検証を行う意味でも

– ミュー粒子の崩壊により生成した電子のエネルギースペクトル

– 偏極したミュー粒子の崩壊により生成した電子のエネルギースペクトルと角度分布 – 非偏極のミュー粒子の崩壊により生成した電子のヘリシティ

に関して理論的な予測を立てると，実験と良く一致する．

• ^同様にτ粒子の寿命に関しても同様の解析を適用すると，理論と実験が良く一致することから，

弱い相互作用が共通の結合gW を用いて記述されることが裏付けられる．

16.6.1について

■ミュー粒子の崩壊過程(16.39)について レプトン数N(e), N(µ)と電荷の保存則を満たしていることが見 て取れる．

■Feynman振幅(16.40)について ここではレプトンの種類をスピノルの上付き添字として明記すると，図

18のダイヤグラムはFeynman規則に基づき

M= [¯u^(e)_r′ (p^′){−igWγ^α(1−γ5)}v^(ν_r1^e)(q1)]iDFβα(k, mW)[¯u^(ν_r2^µ)(q2){−igWγ^β(1−γ5)}u^(µ)_r (p)] : (16.40) に翻訳される．

IVB理論に対するFeynman規則(16.4節)の起源を明確に理解するために，このFeynman振幅を直接導 こう．これはS行列展開の2次の項

S⁽²⁾=(−i)² 2!

∫

d⁴xd⁴yT{HI(x)HI(y)}

=(−ig_W)² 2

∑

l,l^′

∫

d⁴xd⁴yT

[{ψ¯ν_lW/(1−γ5)ψl+ ¯ψlW/^†(1−γ5)ψν_l}x{ψ¯ν_l′W/(1−γ5)ψl^′+ ¯ψl^′W/^†(1−γ5)ψν_l′}y

]

から現れる．ミュー粒子の崩壊過程(16.39)を始・終状態i, fに選ぶと，反応の確率振幅は

⟨f|S⁽²⁾|i⟩=(−igW)² 2

∫

d⁴xd⁴y [⟨

fN

{ψ¯ν_µ(x) /W(x)(1−γ5)ψµ(x) ¯ψe(y) /W^†(y)(1−γ5)ψν_e(y)} i

⟩

+

⟨ fN

{ψ¯e(x) /W^†(x)(1−γ5)ψν_e(x) ¯ψν_µ(y) /W(y)(1−γ5)ψµ(y)} i

⟩]

=(−igW)² 2

∫

d⁴xd⁴y

{( mν_µ

V Eq₂

)1/2

¯

u^(ν_r2^µ)(q2)e^iq2·x }

γ^α(1−γ5)

{( mµ

V Ep

)1/2

¯

u^(µ)_r (p)e^−ip·x }

×iD_Fαβ(x−y, m_W)

{( m_e V Ep^′

)1/2

¯

u^(e)_r′ (p^′)e^ip′·y }

γ^β(1−γ₅)

{( m_νe V Ep₁

)1/2

¯ v^(ν_r^e)

1 (q₁)e^iq1·y }

+· · ·

と計算される．ここで最右辺の「· · ·」の部分は積分変数の入れ替えx↔yにより第1項に一致することに注 意し，また

iDFαβ(x−y, mW) =

∫ d⁴k

(2π)⁴e^ik·(x−y)iDFαβ(k, mW) (∵iDFαβ(−k, mW) =iDFαβ(k, mW)) とFourier展開した上でxとyに関する積分を実行すると，

⟨f|S⁽²⁾|i⟩=(2π)⁴δ⁽⁴⁾(p^′+q1+q2−p) ( mµ

V Ep

)1/2( me

V Ep^′

)1/2( mν_e

V Ep₁

)1/2( mν_µ

V Eq₂

)1/2

M,

M=[¯u^(e)_r′ (p^′){−igWγ^α(1−γ5)}v^(ν_r1^e)(q1)]iDFαβ(k, mW)[¯u^(ν_r2^µ)(q2){−igWγ^β(1−γ5)}u^(µ)_r (p)] : (16.40) が得られる．

■点接触型相互作用(16.44)について 式(16.44)の相互作用Hamiltonian密度はgW の2次の量であり，こ れに対してミュー粒子崩壊(16.39)の最低次のFeynman振幅はS行列展開の1次の項

S⁽¹⁾=−i

∫

d⁴xH^(F)_I (x) =−i G

√2

∑

l,l^′

∫

d⁴x{ψ¯lγ^α(1−γ5)ψν_lψ¯ν_l′γα(1−γ5)ψl′}x

から現れる．確率振幅は

⟨f|S⁽¹⁾|i⟩=−i G

√2

∫ d⁴x

[⟨

fψ¯µγ^α(1−γ5)ψν_µψ¯ν_eγα(1−γ5)ψei⟩ +⟨

fψ¯eγ^α(1−γ5)ψνeψ¯νµγα(1−γ5)ψµi⟩]

であり，これを元のIVB理論における表式(上記)と比較すると，確かにこれはm_W²≫k_αk_βの場合の伝播 関数の置き換え

(−ig_W)²iD_Fαβ(x−y, m_W)→ −i G

√2g_αβ, ∴iD_Fαβ(x−y, m_W)→ ig_αβ m_W² を行った結果に相当していることが分かる．

■スピンの和と平均をとった式(16.46)について

Γ^α≡γ^α(1−γ5), ˜Γ^α≡γ⁰Γ^α†γ⁰=γ⁰(1−γ5)(γ⁰γ^αγ⁰)γ⁰

=γ^α(1−γ5) と書き，

[¯ur^′(p^′)Γ^αvr1(q1)]^∗= [¯ur^′(p^′)Γ^αvr1(q1)]^† =v^†_r1(q1)Γ^α†ur^′(p^′) = ¯vr1(q1) ˜Γ^αur^′(p^′), etc.

に注意すると，

1 2

∑

spins

|M|²=G² 4

∑

r,r^′,r₁,r₂

|[¯ur′(p^′)Γ^αvr₁(q1)][¯ur₂(q2)Γαur(p)]|²

=G² 4



∑

r^′,r₁

[¯vr₁(q1)˜Γ^βur′(p)][¯ur′(p^′)Γ^αvr₁(q1)]



 (∑

r₂,r

[¯ur(p)˜Γβur₂(q2)][¯ur₂(q2)Γαur(p)]

)

=G² 4

(∑

r′

u_r′ν(p)¯u_r′ρ(p^′) ) (∑

r1

¯

v_r1σ(q₁)v_r1µ(q₁) )

Γ˜^β_µνΓ^α_ρσ

× (∑

r₂

ur₂ν^′(q2)¯ur₂ρ^′(q2) ) (∑

r

¯

urσ^′(p)urµ^′(p) )

Γ˜βµ^′ν^′Γαρ^′σ^′

(µ, ν, ρ, σおよびµ^′, ν^′, ρ^′, σ^′はスピノル添字)

=G² 4 Tr

[/p^′+m_e 2me

Γ^α (

−−/q₁+m_νe 2mν_e

) Γ˜^β

] Tr

[/q₂+m_νµ 2mµ

Γ_α/p+m_µ 2mµ

Γ˜_β ]

: (16.46) を得る．

■縮約公式(16.51)について 次のような単純計算により確かめられる．

x^µανβxσατ β=(g^µαg^νβ−g^µνg^αβ+g^µβg^αν+iε^µανβ)(gσαgτ β−gστgαβ+gσβgατ+iεσατ β)

=δ^µ_σδ^ν_τ−gστg^µν+δ^ν_σδ^µ_τ+iε_{σ τ}^{µ ν}

−g^µνgστ+4g^µνgστ−g^µνgστ+ 0 +δ^ν_σδ^µ_τ−g_στg^µν+δ^µ_σδ^ν_τ+iε_{σ τ}^{ν µ}

XXXX+iε^{µ ν}_{σ τ} + 0XXXX+iε^{µ ν}_{τ σ}− {−2(δ^µ_σδ^ν_τ−δ^µ_τδ^ν_σ)}

=4δ^µ_σδ^ν_τ : (16.51).

■「積分(16.54)のLorentz共変性」(p.448下から2行目)，「積分I(q²)は不変量」(p.449，l.10)について d³q₁/E₁,d³q₂/E₂がLorentzスカラーであること(式(8.11))による．

■I(q²)の式(16.61)について

I(q²) =

∫ d³q1

E₁ d³q2

E₂ δ⁽⁴⁾(q1+q2−q)

=

∫

d³q1d³q2

δ(q1+q2−q)δ(2ω−q0) ω²

=

∫

d³q₁δ(2ω−q₀) ω²

=

∫ _∞

0

δ(ω−q₀/2)

2ω² 4πω²dω

=2π.

■式(16.62b)について

qµqνI^µν(q) =

∫ d³q1

E1

d³q2

E2

(q·q1)(q·q2)δ⁽⁴⁾(q1+q2−q)

=

∫ d³q1

E₁ d³q2

E₂ (q₁²+q1·q2)(q₂²+q1·q2)δ⁽⁴⁾(q1+q2−q)

= (q²

2 )2

I. (∵q₁²=q₂²= 0, q1·q2=q²/2)

■ニュートリノの運動量に関する積分を行った式(16.64)について

dΓ→ 4G²

(2π)⁵Epµp^′_νd³p^′ E^′ I^µν(q) にI^µν(q)の式(16.63)を代入する．

■ミュー粒子の静止系における式(16.66)について |p^′|² =E^′2−m_e²により|p^′|d|p^′| =E^′dE^′であり，

また

q²=(mµ−E^′)²− |p^′|²=m_µ²−2mµE^′+m_e², p·p^′ =mµE^′,

p·q=m_µ(m_µ−E^′),

p^′·q=E^′(m_µ−E^′) +|p^′|²=m_µE^′−m_e² となる．

■式(16.67)について m_e²を無視する近似では|p^′|=E^′である．右辺においてE^′2→E^′2と訂正する．

■全エネルギー範囲0≤ E^′ ≤mµ にわたる積分(16.68)について ニュートリノの質量をゼロと置いたた め|q1|=E1,|q2|=E2であり，また電子に対してもm_e²を無視する近似の下では同様に|p^′|=E^′である．

よって始状態のミュー粒子の静止系におけるエネルギー・運動量保存則は m_µ=|p^′|+|q₁|+|q₂|, 0 =p^′+q₁+q₂ と表され，ここからE^′=|p^′|^{の取り得る値の範囲}

|p^′|=|q1+q2| ≤ |q1|+|q2|=mµ− |p^′|, ∴|p^′| ≤mµ/2 が見出される．

∫ mµ

0

E^′2(3m_µ−4E^′)dE^′=m_µ (mµ

2 )3

−(mµ

2 )4

= 1 16m_µ²,

∫

dΩ = 4π.

■「式(11.16)のところで」(p.451，l.20)について 正しくは「式(16.16)のところ」と考えられる．

ドキュメント内 【PDF】F.マンドル/Gショー『場の量子論 第2巻 素粒子の相互作用』 (ページ 93-99)