Feynman 規則

表3 ^{電弱標準理論における}18^{種類の基本相互作用}

相互作用項 相互作用の種類 結節点因子

L^BB_I W^†W Z igcosθ_W{g^αβ(k₁−k₂)^γ+g^βγ(k₂−k₃)^α+g^γα(k₃−k₁)^β} W^†W A ie{g^αβ(k₁−k₂)^γ+g^βγ(k₂−k₃)^α+g^γα(k₃−k₁)^β} W^†W Z² ig²cos²θW(g^αδg^βγ+g^αγg^βδ−2g^αβg^γδ) W^†W A² ie²(g^αδg^βγ+g^αγg^βδ−2g^αβg^γδ) W^†W AZ iegcosθW(g^αδg^βγ+g^αγg^βδ−2g^αβg^γδ)

(W^†W)² ig²(2g^αγg^βδ−g^αβg^γδ−g^αδg^βγ)

L^HHI σ⁴ −6iλ

σ³ −6iλv

L^HBI W^†W σ (ivg²/2)g^αβ

W^†W σ² (ig²/2)g^αβ

Z²σ (ivg²/2 cos²θW)g^αβ Z²σ² (ig²/2 cos²θ_W)g^αβ

L^LBI ¯llA ieγ^α

¯

νllW+ h.c. (−ig/2√

2)γ^α(1−γ5)

¯

νlνlZ (−ig/4 cosθW)γ^α(1−γ5)

¯llZ (−igγ^α/4 cosθW)(1−4 sin²θW−γ5)

L^HLI ¯llσ (−i/v)m_l

¯

ν_lν_lσ (−i/v)m_νl

と略記してある．［ここにはQEDの基本結節点(因子ieγ^α)も含まれている．h.c.はHermite共役を意味し ている．本稿では図24を除き，結節点因子における運動量やLorentz添字を定義する結節点のダイヤグラム を示していない．］

電弱理論の結節点に関する新たな注意事項を以下にまとめる．

1. 組合せ因子

結節点因子の導出はQEDの場合と同様に行うことができる．

結果的にQEDに関しては，結節点因子を簡単に推定するには，

S行列展開の1次の項S⁽¹⁾=i∫

d⁴xLIにおける

iLI =ieψ¯Aψ/ から場を取り除いてieγ^αとすれば良い．

これに対して例えば電弱理論における相互作用項 vg² 4 cos²θW

g^αβZ_αZ_βσ は同種の場Zαを2つ含んでおり，

結節点に接続する2本のZ⁰ボゾン線に2つの場Zαを充てる方法は2!通りある．

このため結節点因子は _{4 cos}^ivg₂²_θ

Wg^αβではなく，これに組合せ因子2!をかけた ivg²

2 cos²θ_Wg^αβ となる．

2. テンソル添字の順序

例えばW^†W Z²相互作用項

g²cos²θ_W(W_αW_β^†Z^αZ^β−W_βW^β†Z_αZ^α) の結節点因子が

ig²cos²θW(g^αδg^βγ+g^αγg^βδ−2g^αβg^γδ)

となるのは，各ボゾン線に付随するテンソル添字を図24のように定義したときである．

すなわち例えばボゾン線を外線と見なす場合，

テンソル添字αを付したZ⁰ボゾン線には偏極ベクトルεrα(k)を充てる．

3. 微分に由来する運動量因子

W^†W ZとW^†W Aの項は場の微分を含んでいるため，運動量因子を生じる．

例えばW^†W Z相互作用項

igcosθ_W{(W_α^†W_β−W_β^†W_α)∂^αZ^β+ (∂_αW_β−∂_βW_α)W^β†Z^α−(∂_αW_β^†−∂_βW_α^†)W^βZ^α} は，図24のように各運動量を結節点に向かう向きに定義したとき，結節点因子

igcosθ_W{g^αβ(k₁−k₂)^γ+g^βγ(k₂−k₃)^α+g^γα(k₃−k₁)^β} を生じる．

4. (W^†W)²相互作用項

1

2g²W_α^†Wβ(W^α†W^β−W^αW^β†) の結節点因子が

ig²(2g^αγg^βδ−g^αβg^γδ−g^αδg^βγ)

となるのは，図24のように運動量の向きとテンソル添字を定義したときである．

19.2 ^について

■Higgsボゾン線の修正に対する組合せ因子(p.510)について 14.4節において，グルーオンの自己エネル

ギーグラフ(図14.9(a)(p.385))に関して同様の説明が成されている．Feynman規則に従うと(3!)² 通りの 場の組合せを考えることになるけれど，正しい組合せの総数はその1/2倍であるため，対称性因子として

S= 1/2を掛けなければならないことが説明された．

■「したがって，この結節点因子はW^± 電荷が結節点に入射する向きを持つか出射する向きを持つかに依存 する」(p.514，l.2,3)について W^±ボゾン運動量の向きは「それぞれの電荷の向きでもあ」(p.512，l.10)り，

これを入れ換えることは「W⁺とW⁻を入れ換える」(p.513下から6行目)ことに対応するので，結節点の ダイヤグラム(B.6)(p.543)におけるLorentz添字を入れ換えることに相当すると考えられる．

図24 W^†W Z^，W^†W Z^2，(W^†W)^{2相互作用を表す結節点}

19.3 ニュートリノ - 電子弾性散乱