ユニタリーゲージにおけるラグランジアン密度

第 19 ^{章 電弱標準理論}

• 19.1節 ユニタリーゲージにおけるLagrangian密度

→ 系は光子，荷電レプトン，中性レプトン，W^±ボゾン，Z⁰ボゾン，Higgsボゾンから成る

• 19.2節 (電弱理論に対する)Feynman規則

• ^応用例(最低次の計算)

– 19.3節 ニュートリノ-電子弾性散乱 – 19.4節 電子-陽電子消滅の電弱過程

• 19.5節 Higgsボゾン(の存在について)

Lagrangian密度Lの物理的な意味を解釈するために，ゲージ場W_i^µ, B^µ をW^±ボゾン場W^µ, W^µ†，Z⁰ ボゾン場Z^µ，電磁場A^µによって表す．さらに非現実的な場ηiを理論から取り除くためにユニタリーゲージ を採用し，Higgs場を

Φ(x) = 1

√2 ( 0

v+σ(x) )

と表す．するとLagrangian密度は L=L0+LI,

L0= ¯ψ_l(i/∂−m_l)ψ_l+ ¯ψ_νl(i/∂−m_νl)ψ_νl ⇐ ^{荷電レプトン}(質量m_l)，ニュートリノ(質量m_νl)

−1

4FµνF^µν ⇐ ^光子

−1

2F_{W µν}^† F_W^µν+m_W²W_µ^†W^µ ⇐ W^±ボゾン(質量mW)

−1

4ZµνZ^µν+1

2m_Z²ZµZ^µ ⇐ Z⁰ボゾン(質量mZ) +1

2(∂^µσ)(∂µσ)−1

2m_H²σ², ⇐ Higgsスカラーボゾン(質量mH) LI=L^LBI +L^BBI +L^HHI +L^HBI +L^HLI

と書き換えられる．ただし各ボゾンと各レプトンの質量は m_W =1

2vg, m_Z= m_W cosθW

, m_H=√

−2µ², m_l=vg_l

√2, m_νl=vg_νl

√2

である．自由場項L0の表式を見ると，系は光子，荷電レプトン，中性レプトン，W^±ボゾン，Z⁰ボゾン，

Higgsボゾンから成ることが明白である［目論見通り］．ボゾンの質量項はSU(2)×U(1)ゲージ不変性の自発

的な破れを生じるHiggs場のLagrangian密度L^Hに由来しており［本稿における導出(式(6))参照］，またレ プトンの質量項はレプトンとHiggs場の相互作用項L^LHに由来している［本稿における導出(式(8))参照］．

なお各相互作用項は以下で与えられる．

L^BBI =igcosθ_W[(W_µ^†W_ν−W_ν^†W_µ)∂^µZ^ν+ (∂_µW_ν−∂_νW_µ)W^µ†Z^ν−(∂_µW_ν^†−∂_νW_µ^†)W^νZ^µ] +ie[(W_µ^†Wν−W_ν^†Wµ)∂^µZ^ν+ (∂µWν−∂νWµ)W^µ†Z^ν−(∂µW_ν^†−∂νW_µ^†)W^νZ^µ] +g²cos²θW(WµW_ν^†Z^µZ^ν−WµW^µ†ZνZ^ν)

+e²(WµW_ν^†A^µA^ν−WµW^µ†AνA^ν)

+egcosθW{WµW_ν^†(Z^µA^ν+A^µZ^ν)−2WµW^µ†AνZ^ν} +1

2g²W_µ^†W_ν(W^µ†W^ν−W^µW^ν†), L^HHI =−λvσ³−1

4λσ⁴, L^HBI =1

2vg²W_µ^†W^µσ+1

4g²W_µ^†W^µσ²+ vg²

4 cos²θ_WZµZ^µσ+ g²

8 cos²θ_WZµZ^µσ², L^LBI =eψ¯lAψ/ l

− g 2√

2{ψ¯_νlW/(1−γ₅)ψ_l+ ¯ψ_lW/^†(1−γ₅)ψ_νl}

− g

4 cosθW

ψ¯ν_lZ/(1−γ5)ψν_l

+ g 4 cosθW

ψ¯lZ(1/ −4 sin²θW−γ5)ψl, L^HLI =−1

vmlψ¯lψlσ−1

vmν_lψ¯ν_lψν_lσ. ［L^{LHとの混同に注意］}

以上により

• W^±, Z⁰ボゾンの質量は，

実験的に値の知られている微細構造定数α，Fermi結合定数G，弱混合角θWを用いて mW =

( απ G√ 2

)1/2

1 sinθW

= 77.5GeV, mZ = ( απ

G√ 2

)1/2

2 sin 2θW

= 88.4GeV と表される(輻射補正・繰り込みを無視した場合)．

• 理論に含まれるパラメーターは

g, g^′, v, λ, g_l, g_νl の6つであり［−µ²=λv²はλとvから決定される］，

– vは

v= 1

(G/√ 2)^1/2 と表されるので，その値を実験的に知ることができる．

– 結合g, g^′は

gsinθW=g^′cosθW =e の関係を用いて値を実験的に知ることができる．

– 結合g_l, g_νlの値は，質量m_l, m_νlの実験的な値と m_l= vg_l

√2, m_νl= vg_νl

√2 の関係を用いて知ることができる．

– λの値は決まっておらず，Higgsボゾンの質量m_Hが分かれば，

mH=√

−2µ²=√ 2λv² の関係から値を知ることができる．

19.1 について

■L^B+L^Hの式(19.2)について まず式(17.43):

W1µ= 1

√2(Wµ+W_µ^†), W2µ= i

√2(Wµ−W_µ^†) および式(17.45):

W_3µ= cosθ_WZ_µ+ sinθ_WA_µ を用いて，ゲージボゾンのLagrangian密度(17.58b):

L^B =L^B0 +gεijkWiµWjν∂^µW_k^ν−1

4g²εijkεilmW_j^µW_k^νWlµWmν

を書き換えよう．右辺第2項は gεijkWiµWjν∂^µW_k^ν

=g(W1µW2ν−W2µW1ν)∂^µW₃^ν+g(W2µW3ν−W3µW2ν)∂^µW₁^ν+g(W3µW1ν−W1µW3ν)∂^µW₂^ν

=g(W1µW2ν−W2µW1ν)∂^µW₃^ν+g(W2µ∂^µW₁^ν−W1µ∂^µW₂^ν)W3ν+g(W1ν∂^µW₂^ν−W2ν∂^µW₁^ν)W3µ

=g{i(W_µ^†Wν−WµW_ν^†)}(cosθW∂^µZ^ν+ sinθW∂^µA^ν) +g{i(W_µ∂^µW^ν†−W_µ^†∂^µW^ν)}(cosθ_WZ_ν+ sinθ_WA_ν) +g{−i(Wν∂^µW^ν†−W_ν^†∂^µW^ν)}(cosθWZµ+ sinθWAµ)

=igcosθ_W[(W_µ^†W_ν−W_ν^†W_µ)∂^µZ^ν+ (∂_µW_ν−∂_νW_µ)W^µ†Z^ν−(∂_µW_ν^†−∂_νW_µ^†)W^νZ^µ] +ie[(W_µ^†Wν−W_ν^†Wµ)∂^µZ^ν+ (∂µWν−∂νWµ)W^µ†Z^ν−(∂µW_ν^†−∂νW_µ^†)W^νZ^µ] (∵gsinθW=e: (17.47))

と変形でき，右辺第3項は

−1

4g²ε_ijkε_ilmW_j^µW_k^νW_lµW_mν

=−1

4g²(δjlδkm−δjmδkl)W_j^µW_k^νWlµWmν

=−1

4g²W_j^µW_k^ν(WjµWkν−WkµWjν)

=−1

4g²(W₁^µW₂^ν−W₂^µW₁^ν)(W1µW2ν−W2µW1ν)

−1

4g²(W₂^µW₃^ν−W₃^µW₂^ν)(W2µW3ν−W3µW2ν)

−1

4g²(W₃^µW₁^ν−W₁^µW₃^ν)(W3µW1ν−W1µW3ν)

(a_jk,µν≡W_jµW_kν−W_kµW_jνは添字j, kについて反対称なので，

W₁^µW₂^νa_12,µν+W₂^µW₁^νa_21,µν= (W₁^µW₂^ν−W₂^µW₁^ν)a_12,µν,etc.)

=−1

4g²(W₁^µW₂^ν−W₂^µW₁^ν)(W1µW2ν−W2µW1ν)

−1

4g²·2W₃^νW3ν(W₁^µW1µ+W₂^µW2µ)

−1

4g²·(−2W₃^µW3ν)(W₁^νW1µ+W₂^νW2µ)

=−1

4g²{i(W^µ†W^ν−W^µW^ν†)}{i(W_µ^†Wν−WµW_ν^†)}

−1

4g²{2(cos²θWZ^νZν+ 2 sinθWcosθWZ^νAν+ sin²θWA^νAν)}2WµW^µ†

−1

4g²{−2(cos²θWZ^µZν+ 2 sinθWcosθWZ^µAν+ sin²θWA^µAν)}(W^νW_µ^†+W^ν†Wµ)

=1

2g²W_µ^†Wν(W^µ†W^ν−W^µW^ν†)

+g²cos²θW(WµW_ν^†Z^µZ^ν−WµW^µ†ZνZ^ν) +e²(WµW_ν^†A^µA^ν−WµW^µ†AνA^ν)

+egcosθW{WµW_ν^†(Z^µA^ν+A^µZ^ν)−2WµW^µ†AνZ^ν} (∵gsinθW=e: (17.47))

と計算できるので，ゲージボゾンの自己相互作用に関する項L^BBI を式(19.3a)で定義すれば gε_ijkW_iµW_jν∂^µW_k^ν−1

4g²ε_ijkε_ilmW_j^µW_k^νW_lµW_mν =L^BBI ,

L^B=L^B0 +L^BBI (5)

となる．

次にユニタリーゲージ(19.1):

Φ(x) = 1

√2 ( 0

v+σ(x) )

において，Higgs場のLagrangian密度(18.34):

L^H= (D^µΦ)^†(D_µΦ)−µ²Φ^†Φ−λ(Φ^†Φ)² を考える．共変微分の式(18.35)は

D^µΦ= [

∂^µ+ i 2g

{ W₁^µ

(0 1 1 0 )

+W₂^µ

(0 −i i 0

) +W₃^µ

(1 0 0 −1

)}

+ i 2g^′B^µ

] 1

√2 ( 0

v+σ )

= 1

√2 ( _i

2g(W₁^µ−iW₂^µ)(v+σ)

∂^µσ+₂ⁱ(gW₃^µ−g^′B^µ)(v+σ) )

=

( _i

2gW^µ(v+σ)

√1

2∂^µσ+ ⁱ

2√

2{(gcosθW+g^′sinθW)Z^µ+ (gsinθW−g^′cosθW)A^µ}(v+σ) )

を与える．上式最右辺において，式(17.47)より gcosθ_W+g^′sinθ_W= g

cosθ_W, gsinθ_W−g^′cosθ_W= 0 となることに注意すると，

(D^µΦ)^†(DµΦ) =1

4g²W^µ†Wµ(v+σ)²+1

2(∂^µσ)(∂µσ) +1 8

g² cos²θW

Z^µZµ(v+σ)²

=m_W²W_µ^†W^µ+1

2(∂^µσ)(∂µσ) +1

2m_Z²ZµZ^µ+L^HBI , mW =1

2vg, mZ = vg 2 cosθW

= mW

cosθW

: (19.4), L^HBI =1

2vg²W_µ^†W^µσ+1

4g²W_µ^†W^µσ²+ vg² 4 cos²θW

Z_µZ^µσ+ g² 8 cos²θW

Z_µZ^µσ²: (19.3c) となる．これを

−µ²Φ^†Φ−λ(Φ^†Φ)²=−1

2µ²(v+σ)²−1

4λ(v+σ)⁴

=−v(µ²+λv²)σ−1

2(µ²+ 3λv²)σ²−λvσ³−1

4λσ⁴+ const

=−1

2m_H²σ²+L^HHI + const, mH=√

−2µ²: (19.4), L^HHI =−λvσ³−1

4λσ⁴: (19.3b) (∵v= (−µ²/λ)^1/2: (18.59)) と辺々足して定数項を落とすと，

L^H=m_W²W_µ^†W^µ+1

2m_Z²ZµZ^µ+1

2(∂^µσ)(∂µσ)−1

2m_H²σ²+L^HHI +L^HBI (6)

を得る．L^Bの式(5)とL^Hの式(6)を辺々足して，L^B0 の具体的な表式(17.59)を代入すると，レプトンを除 いたLagrangian密度L^B+L^Hの式(19.2)が導かれる．

■L^L+L^LHの式(19.7)について 共変微分の式(17.40a)は具体的には D^µΨ^L_l =

[

∂^µ+ i 2g

{ W₁^µ

(0 1 1 0 )

+W₂^µ

(0 −i i 0

) +W₃^µ

(1 0 0 −1

)}

− i 2g^′B^µ

] (ψ^L_ν

l

ψ_l^L )

= (∂^µψ_ν^L

l+₂ⁱg(W₁^µψ_l^L−iW₂^µψ_l^L+W₃^µψ_ν^L

l)−₂ⁱg^′B^µψ^L_ν

l

∂^µψ_l^L+₂ⁱg(W₁^µψ_ν^L

l+iW₂^µψ^L_ν

l−W₃^µψ^L_l)−₂ⁱg^′B^µψ^L_l )

を与えるので，レプトン系のLagrangian密度L^Lは

L^L=i( ¯Ψ^L_lDΨ/ ^L_l + ¯ψ^R_l Dψ/ _l^R+ ¯ψ_ν^R_lDψ/ ^R_νl) : (17.39)

=L0+L^LBI , L0= ¯ψ_l^Li/∂ψ^L_l + ¯ψ_ν^L

li/∂ψ_ν^L

l+ ¯ψ_l^Ri/∂ψ^R_l + ¯ψ^R_ν

li/∂ψ_ν^R

l : (17.12)

= ¯ψli/∂ψl+ ¯ψν_li/∂ψν_l: (17.10), L^LBI =i

{ i 2gψ¯_ν^L

l( /W₁−iW/₂)ψ^L_l + i 2

ψ¯^L_ν

l(gW/₃−g^′B)ψ/ ^L_ν

l

+ i

2gψ¯_l^L( /W1+iW/2)ψ^L_νl− i 2

ψ¯^L_l(gW/3+g^′B)ψ/ _l^L−ig^′ψ¯_l^RBψ/ ^R_l }

となる．ここで上式で定義したレプトンとゲージボゾンの相互作用項L^LBI (これは相互作用項(17.42)，(17.48) に他ならない)が，式(19.3d)に一致することを確かめよう．Higgs場の共変微分D^µΦを計算した際に示し たように，

gW₃^µ−g^′B^µ= g cosθ_WZ^µ

である．同様に式(17.45)と式(17.47):gsinθW=g^′cosθW=eを用いると

gW₃^µ+g^′B^µ=(gcosθW−g^′sinθW)Z^µ+ (gsinθW+g^′cosθW)A^µ

= g

cosθW

(1−2 sin²θW)Z^µ+ 2eA^µ であり，また式(16.16)の箇所で見たように，任意のレプトン場ψに対して

ψ¯^Lγαψ^L= ¯ψPRγαPLψ= ¯ψγαP_L²ψ= ¯ψγαPLψ=1 2

ψγ¯ α(1−γ5)ψ, ψ¯^Rγαψ^R= ¯ψPLγαPRψ= ¯ψγαP_R²ψ= ¯ψγαPRψ= 1

2

ψγ¯ α(1 +γ5)ψ なので，

L^LBI =− 1 2√

2gψ¯ν_lW/(1−γ5)ψl− 1 4 cosθW

gψ¯ν_lZ(1/ −γ5)ψν_l

− 1 2√

2gψ¯_lW/^†(1−γ₅)ψ_νl+ { g

4 cosθ_W

ψ¯_lZ/(1−2 sin²θ_W)ψ_l+e 2

ψ¯_lA(1/ −γ₅)ψ_l }

+gsinθW

2 cosθW

ψ¯l(−sinθWZ/+ cosθWA)(1 +/ γ5)ψl

=eψ¯lAψ/ l

− g 2√

2{ψ¯_νlW/(1−γ₅)ψ_l+ ¯ψ_lW/^†(1−γ₅)ψ_νl}

− g 4 cosθW

ψ¯ν_lZ/(1−γ5)ψν_l

+ g

4 cosθW

ψ¯lZ(1/ −4 sin²θW−γ5)ψl: (19.3d)

を得る．以上をまとめると，式(19.3d)の相互作用項L^LBI を用いてレプトン系のLagrangian密度は

L^L= ¯ψli/∂ψl+ ¯ψν_li/∂ψν_l+L^LBI (7) と表される．

次にレプトンとHiggs場の相互作用項(18.44):

L^LH=−gl( ¯Ψ^L_lψ^R_l Φ+Φ^†ψ¯^R_l Ψ^L_l)−gν_l( ¯Ψ^L_lψ_ν^R_lΦ˜ + ˜Φ^†ψ¯^R_l Ψ^L_l) は，ユニタリーゲージのHiggs場

Φ= 1

√2 ( 0

v+σ )

: (19.1), ∴Φ˜ = 1

√2 (v+σ

0 )

に対して

L^LH=− 1

√2(v+σ){

gl( ¯ψ_l^Lψ_l^R+ ¯ψ_l^Rψ_l^L) +gν_l( ¯ψ^L_νlψ_ν^R_l+ ¯ψ_ν^R_lψ_ν^L_l)}

=− 1

√2(v+σ)(g_lψ¯_lψ_l+g_νlψ¯_νlψ_νl)

=L^HLI −ψ¯lmlψl−ψ¯ν_lmν_lψν_l (8) L^HLI =−1

vm_lψ¯_lψ_lσ−1

vm_νlψ¯_νlψ_νlσ: (19.3e), ml=vgl

√2, mν_l= vgν_l

√2 : (19.8)

と計算される．ただし第2の等号では任意のレプトン場ψに対して

ψ¯^Lψ^R+ ¯ψ^Rψ^L= ¯ψP_R²ψ+ ¯ψP_L²ψ= ¯ψ(PR+PL)ψ= ¯ψψ となることを用いた．

最後にL^Lの式(7)とL^LHの式(8)を辺々足すと，レプトンを含む項L^L+L^LHの式(19.7)を得る．

■式(19.14)，式(19.15)について 式(19.4):mW =vg/2，式(17.49):gW =g/2√

2，式(16.43):G/√ 2 = (gW/mW)²を順次用い，式(19.14):

v=2mW

g = 1

√2 mW

g_W = 1

√2 1 (G/√

2)^1/2 = 1 (G√

2)^1/2

を得る．これと式(19.6):gsinθW=g^′cosθW=eを再び式(19.4)に代入すると，式(19.15):

m_W = 1 2vg= 1

2 1 (G√

2)^1/2 e sinθW

= ( απ

G√ 2

)1/2

1 sinθW

, m_Z = m_W cosθW

= ( απ

G√ 2

)1/2

2 sin 2θW

を得る．

ドキュメント内 【PDF】F.マンドル/Gショー『場の量子論 第2巻 素粒子の相互作用』 (ページ 122-129)