大域的な位相変換と保存する弱カレント

前節の基本方針に従い，弱い相互作用のゲージ理論を構築しよう．［本節では「自由場のラグランジアンを 不変に保つような大域的位相変換の組を見出し，それに付随する適切な電荷-電流保存則を導く」所までの作 業を行う．］

手始めに全てのレプトン［ニュートリノを含む］は質量を持たないと仮定し，自由レプトン系のLagrangian 密度を

L0=i( ¯ψl/∂ψl+ ¯ψν_l∂ψ/ ν_l)

=i( ¯Ψ^L_l∂Ψ/ ^L_l + ¯ψ_l^R∂ψ/ ^R_l + ¯ψ^R_νl/∂ψ_ν^R_l), Ψ^L_l ≡ (ψ^L_νl

ψ_l^L )

, Ψ¯^L_l ≡(ψ¯^L_νl ψ¯^L_l)

と書く．ただしこれ以降，繰り返されたレプトンの添字lについては全ての世代l=e, µ, τにわたって和をと るものと約束する．また任意のDiracスピノルψに対して左手型と右手型の場を

ψ^L,R=PL,Rψ= 1

2(1∓γ5)ψ

と定義しており，最右辺ではLagrangian密度を敢えて右手型と左手型に関して非対称な形に書いている．な お17.5節以降において，実際のレプトンは質量を持つという問題に立ち戻る．

この自由場のLagrangian密度を不変に保つような大域的位相変換は，Pauli行列τ1, τ2, τ3に対してユニタ リー行列

U(α)≡exp (iαjτj/2) を用いて

Ψ^L_l →U(α)Ψ^L_l, Ψ¯^L_l →Ψ¯^L_lU^†(α)

と行われる．実際このとき左手型の場に関する項iΨ¯^L_l∂Ψ/ ^L_l は不変に保たれる．よって右手型の場ψ^Rの各々 をこの変換に対して不変と見なせば，Lagrangian密度L0の不変性が保証される．

• 2次元のユニタリー行列U(α)≡exp (iαjτj/2)によるこの変換をSU(2)変換と呼ぶ．

– Sは条件detU(α) = +1を表す 特殊(special) を意味する[1, p.230]．

– Pauli行列が非可換であることから，この変換は非Abel群を作ると言われる．

–「 SU(2) や 非Abel などの術語は群論から引用しているが，

これ以降の議論において群論の予備知識は必要ではない」(p.468脚注)に注目する．

• SU(2)変換に対する変換性から – 2成分場Ψ^L_l は弱アイソスピノル

– 右手型の場ψ^Rの各々は弱アイソスカラー と呼ばれる．

このSU(2)変換に対するLagrangianの不変性から，弱アイソスピンカレントと呼ばれる3つの量 J_i^α=1

2

Ψ¯^L_lγ^ατiΨ^L_l をカレントに持つ，弱アイソスピン電荷

I_i^W =

∫

d³xJ_i⁰=1 2

∫

d³xΨ^L_l^†τiΨ^L_l

の保存が導かれる．［保存量が3つ現れることは，Pauli行列が3種類あることに関係している．］これはIVB 理論におけるレプトン(荷電)カレント

J^α= ¯ψ_lγ^α(1−γ₅)ψ_νl= 2(J₁^α−J₂^α), J^α† = ¯ψν_lγ^α(1−γ5)ψl= 2(J₁^α+J₂^α)

が保存するカレントであること［保存量に付随するカレントであること(以下同じ)］に加え， 中性カレント J₃^α=1

2

Ψ¯^L_lγ^ατ3Ψ^L_l = 1

2( ¯ψ^L_νlγ^αψ_ν^L_l+ ¯ψ_l^Lγ^αψ_l^L)

が保存することを意味する．さらに弱アイソスピン電荷I₃^W の保存は通常の電荷Qの保存則と合わせると，

電磁カレントをs^α=−eψ¯lγ^αψlとして，弱超電荷カレント J_Y^α=s^α/e−J₃^α に対して弱超電荷

Y ≡

∫

d³xJ_Y³=Q/e−I₃^W が保存することを意味している．

ここで左手型の［すなわちヘリシティが負の］レプトンl⁻が1個だけ存在している状態を|l⁻,L⟩^等と書 き，レプトンの1粒子状態について各種電荷の固有値を調べると，その結果は表2のようにまとめられる．

なおψをψ_ν^L_l, ψ^L_l, ψ^R_νl, ψ_l^Rのいずれかとし，Y を場ψによって消滅する粒子の弱超電荷とすると，弱超電 荷Y の保存は変換

ψ→e^iβYψ, ψ¯→ψe¯ ^−iβY

(U(1)変換と呼ばれる)に対するLagrangianの不変性から直接導かれる．したがって弱い相互作用の理論で

は，対称性から弱アイソスピン電荷と弱超電荷の保存が独立に導かれ，逆に通常の電荷保存則が保証されるこ とになる．

表2 ^{レプトンの}1粒子状態における各種電荷の固有値

|l⁻,L⟩ |νl,L⟩ |l⁻,R⟩ |νl,R⟩

Q/e −1 0 −1 0

I₃^W −1/2 +1/2 0 0

Y −1/2 −1/2 −1 0

17.2 ^について

■自由レプトン系のLagrangian密度(17.12)について 射影演算子の性質P_L+P_R= 1により，任意のDirac スピノルψに対してψ=ψ^L+ψ^Rである．また式(16.16)のところの議論と同様に

ψ¯^L,R≡(ψ^L,R)^†γ⁰= 1

2{(1∓γ5)ψ}^†γ⁰=ψ^†1

2(1∓γ5)γ⁰= ¯ψ1

2(1±γ5) = ¯ψPR,L

(ただし式(A.8):(γ5)^† =γ5,[γ5, γ⁰]+= 0を考慮した)と考える．するとψ¯= ¯ψ^L+ ¯ψ^Rであり，さらに射影 演算子に対して期待される性質

P_LP_R=P_RP_L= 1

4{1−(γ₅)²}= 0 により

ψ¯^Li/∂ψ^R= ¯ψP_Ri/∂P_Rψ= ¯ψi/∂P_LP_Rψ= 0, ψ¯^Ri/∂ψ^L= ¯ψP_Li/∂P_Lψ= ¯ψi/∂P_RP_Lψ= 0 となることに注意すると，

ψi/¯ ∂ψ= ( ¯ψ^L+ ¯ψ^R)i/∂(ψ^L+ψ^R) = ¯ψ^Li/∂ψ^L+ ¯ψ^Ri/∂ψ^R と書き換えられる．

■自由レプトン系のLagrangian密度(17.14)について 2成分スピノルΨ^L_l,Ψ¯^L_l と4×4のγ行列との積が 定義されていないことに対する疑義が生じ得るけれど，式(17.14)の導き方から分かるように，これ以降γ行 列はスピノルの2成分に分配されるものと解す：

Ψ¯^L_li/∂Ψ^L_l = ¯ψ_ν^L

li/∂ψ_ν^L

l+ ¯ψ_l^Li/∂ψ_l^L.

■Pauli行列について Pauli行列(17.15)に対する交換関係(17.16)や，演算子(17.17):U(α)≡exp (iα_jτ_j/2) がユニタリーであってdetU(α) = +1を満たすこと(p.468)については，文献[1, pp.222–224,pp.228–229]

を参照．

■弱アイソスピンカレント(17.20)について

∂L0

∂(∂_αΨ^L_l) =iΨ¯^L_lγ^α, ∂L0

∂(∂_αΨ¯^L_l) = 0 なので，カレントの一般的な表式f^α=_∂ϕ^∂L

r,αδϕr(p.38，l.2)は今の場合 (iΨ¯^L_lγ^α) (iαiτi

2 Ψ^L_l )

=−αiJ_i^α, J_i^α≡ 1 2

Ψ¯^L_lγ^ατiΨ^L_l : (17.20)

を与える．3つの変換のパラメーターαiを独立に選べることから，各J_i^α(i= 1,2,3)が保存するカレントと なる．

■弱アイソスピンカレントとレプトンカレントの関係(17.22)について 式(17.15)のPauli行列τiに対して τ₁−iτ₂=

(0 0 2 0 )

, τ₁+iτ₂= (0 2

0 0 )

なので，

2(J₁^α−iJ₂^α) =(ψ¯^L_νl ψ¯_l^L)

γ^α(τ₁−iτ₂) (ψ_ν^L

l

ψ_l^L )

= 2 ¯ψ_l^Lγ^αψ^L_ν

l, 2(J₁^α+iJ₂^α) =(ψ¯^L_νl ψ¯_l^L)

γ^α(τ1+iτ2) (ψ_ν^L_l

ψ_l^L )

= 2 ¯ψ_ν^L

lγ^αψ_l^L となる．これらは式(16.16)の導出と同様の計算により，それぞれ

ψ¯lγ^α(1−γ5)ψν_l, ψ¯ν_lγ^α(1−γ5)ψl

と書き換えられる．

■弱超電荷カレントの式(17.25)について 式(17.12)の導出と同様の計算により s^α/e=−ψ¯lγ^αψl=−ψ¯_l^Lγ^αψ^L_l −ψ¯_l^Rγ^αψ_l^R となるので，

J_Y^α≡s^α/e−J₃^α

=−1

2( ¯ψ^L_lγ^αψ_l^L+ ¯ψ_ν^L_lγ^αψ^L_νl)−ψ¯^R_l γ^αψ^R_l

=−1 2

Ψ¯^L_lγ^αΨ^L_l −ψ¯_l^Rγ^αψ_l^R: (17.25) を得る．

■「これらの結果を，より正当的に導出するには，……代入すればよい」(p.471，l.2,3)について

I₃^W =1 2

∫

d³x(ψ_ν^L_l^†ψ_ν^L_l−ψ_l^L†ψ_l^L) において，場の展開には

• ^{ヘリシティが負の}(r= 2)粒子l⁻, νl

• ^{ヘリシティが正の}(r= 1)反粒子l⁺,ν¯l

の生成・消滅演算子のみが含まれる．そこで1粒子状態|l⁻,L⟩,|ν_l,L⟩^{のいずれかを}|· · ·⟩^{と書くと，}I₃^W|· · ·⟩

への寄与は，考えている粒子の生成・消滅演算子c₂^†, c2を含む項から現れる：

1 2

∫

d³x∑

p,p^′

( m V Ep

)1/2( m V Ep′

)1/2

u₂^†(p^′)u2(p)e^{−i(p−p′)·x}c₂^†(p^′)c2(p)|· · ·⟩

=1 2

∑

p,p^′

m

V(E_pE_p′)^1/2u₂^†(p^′)u2(p)(2π)³δ(p−p^′)c₂^†(p^′)c2(p)|· · ·⟩

=1 2

∑

p

c₂^†(p)c2(p)|· · ·⟩



∵ 1 V

∑

p^′

→

∫ d³p^′

(2π)³ : (1.48), u_r^†(p)us(p) =Ep

mδrs: (4.37)





=1 2|· · ·⟩.

なお以上の計算において

u2→v1, u₂^†→v₁^†, c₂^†→d1, c2→d₁^†

と置き換えれば，ヘリシティが正の反粒子に対しても弱アイソスピン電荷I₃^W の固有値を調べることができ，

同様に

I₃^W|l⁺,R⟩=−1

2|l⁺,R⟩, I₃^W|¯νl,R⟩= +1 2|ν¯l,R⟩

となると考えられる．このとき「場ψによって消滅する粒子の弱超電荷」(p.472，l.2)は同時に，場ψによっ て生成する粒子の弱超電荷でもあることになる．

ドキュメント内 【PDF】F.マンドル/Gショー『場の量子論 第2巻 素粒子の相互作用』 (ページ 103-107)