摂動論

(ただしZ0[Jiκ= 0] = 1，Z0[σa= 0,σ¯a = 0] = 1，Z0[Si= 0,S˜i= 0] = 1)として，

Z0[Jiκ, σa,σ¯a, Si,S˜i] =Z0[Jiκ]Z0[σa,σ¯a]Z0[Si,S˜i] と分解される．

各自由場の生成汎関数はQEDの場合と同様，次のように評価される．

• 自由なグルーオン場の生成汎関数 Z₀[J_iκ] = exp

(

−i

2[J_iκD_Fij^κλJ_jλ] )

, D^κλ_Fij(x) =δ_ijD_F^κλ(x) :グルーオンの伝播関数．

• 自由なクォーク場の生成汎関数

Z0[σa,¯σa] = exp (−i[¯σaSFabσb]), SFab(x) =δabSF(x) :クォークの伝播関数．

• 自由なゴースト場の生成汎関数 Z₀[S_i,S˜_i] = exp

(−i[S_i∆_FijS˜_j] )

, ∆_Fij(x) =δ_ij∆_F(x) :ゴースト(粒子)の伝播関数．

– ただし∆F(x)は中間子伝播関数(3.59)において質量をゼロとおいたものである．

14.3.3結節点因子 1次の摂動論では

⟨ABC· · ·⟩=i

∫

d⁴x⟨LI(x)(ABC· · ·)⟩0

と な る［QED の 場 合 と 同 様 ，LI の ゼ ロ 次 の 項 は ゼ ロ と な る ］．Wick の 定 理 を 適 用 し た と き に

⟨LI(x)(ABC· · ·)⟩0 が ゼ ロ に な ら な い 場 の 組 合 せ A, B, C,· · · ^{を 持 つ} Green 関 数 を 計 算 す る と ，以 下 のように関連する結節点因子が得られる．［全ての結節点に因子ieγ^µを充てれば良いQEDと違って，以下に 見るようにQCDでは，異なる結節点に応じて異なる因子を充てなければならない．］

■クォーク-グルーオン結節点 Green関数⟨A^ν_i(x₁)ψ_c(x₂) ¯ψ_d(x₃)⟩^は1次の摂動論において

⟨A^ν_i(x1)ψc(x2) ¯ψd(x3)⟩=−i 2gs

∫

d⁴iD^µν_F (x1−x)iSF(x2−x)γµ(λi)cdiSF(x−x3) と計算され，対応する運動量空間のGreen関数は

⟨A^ν_i(k)ψc(p^′) ¯ψd(p)⟩=iD_F^µν(k)iSF(p+k)[−igs(Ti)cdγµ]iSF(p), Ti≡ λi

2

となる．これは図3のFeynmanグラフにおいて，Green関数の脚に光子伝播関数iD^µν_F (k)とフェルミオン 伝播関数iS_F(p+k), iS_F(p)を充て［グルーオンとクォークの伝播関数ではない］，結節点因子として

−igs(Ti)cdγµ

を充てれば得られる．

■3グルーオン結節点 Green関数⟨A^α_l(x1)A^β_m(x2)A^γ_n(x3)⟩^は1次の摂動論において

⟨A^α_l(x₁)A^β_m(x₂)A^γ_n(x₃)⟩=ig_sg_µσg_ντf_lmn

∫

d⁴xiD^σα_F (x−x₁)iD^{τ β}_F (x−x₂)∂_x^µiD_F^νγ(x−x₃) +· · ·

図3 ^クォーク-^{グルーオン結節点}

図4 3グルーオン結節点

と計算される．ただし· · · ^{は添字と引数の組}(l, α, x₁),(m, β, x₂),(n, γ, x₃)を入れ替えて得られる項を表す．

対応する運動量空間のGreen関数は

⟨A^α_l(k1)A^β_m(k2)A^γ_n(k3)⟩=gsflmnVστ νiD^σα_F (k1)iD_F^{τ β}(k2)iD_F^νγ(k3),

Vστ ν ≡[gντ(k3−k2)σ+gσν(k1−k3)τ+gτ σ(k2−k1)ν] となる．これは図4のFeynmanグラフにおいて，Green関数の脚に光子伝播関数

iD^σα_F (k1), iD_F^{τ β}(k2), iD^νγ_F (k3) を充て［グルーオンの伝播関数ではない］，結節点因子として

g_sf_lmnV_{στ ν} を充てれば得られる．

■4グルーオン結節点 1次の摂動論におけるGreen関数⟨A^α_l(x₁)A^β_m(x₂)A^γ_n(x₃)A^δ_o(x₄)⟩^{に対応する運動量} 空間のGreen関数は

⟨A^α_l(k1)A^β_m(k2)A^γ_n(k3)A^δ_o(k4)⟩

=−ig_s²F_lmnoV_λµνσiD_F^λα(k₁)iD^µβ_F (k₂)iD_F^νγ(k₃)iD^σδ_F (k₄), FlmnoVλµνσ

≡filmfino(gλνgµσ−gµνgλσ) +finmfilo(gνλgµσ−gµλgνσ) +filnfimo(gλµgνσ−gνµgλσ) と計算される．これは図5のFeynmanグラフにおいて，Green関数の脚に光子伝播関数

iD^λα_F (k1), iD^µβ_F (k2), iD^νγ_F (k3), iD^σδ_F (k4) を充て［グルーオンの伝播関数ではない］，結節点因子として

−ig_s²F_lmnoV_λµνσ を充てれば得られる．

図5 4^{グルーオン結節点}

図6 ^ゴースト-^{グルーオン結節点}

■ゴースト-グルーオン結節点 1次の摂動論におけるGreen関数⟨A^α_l(x₁)˜η_m(x₂)η_n(x₃)⟩^{に対応する運動量} 空間のGreen関数は

⟨A^α_l(k₁)˜η_m(k₂)η_n(k₃)⟩=g_sf_lmnk_2µiD_F^µα(k₁)i∆_F(k₂)i∆_F(k₃)

と計算される．これは図6のFeynmanグラフにおいて，Green関数の脚に光子伝播関数iD_F^µα(k₁)［グルー オンの伝播関数ではなく］とゴーストの伝播関数i∆_F(k₂), i∆_F(k₃)を充て．結節点因子として

g_sf_lmnk_2µ を充てれば得られる．

14.3.3について

■「式(14.32)の最初の項だけが式(14.54)へ寄与を持ち」(p.377下から6行目)について 同時刻縮約の項 は非連結ダイヤグラムを作るため，ここでも除かれる．このことは一般化されたWickの定理(6.38)の径路 積分形式における表現と見なせるかもしれない．同じ理由により式(14.55b)において，ψ¯a(x)とψb(x)を縮 約した項も省略して良い．

■連結Green関数の式(14.56)について

F=A^µ_j(x)A^ν_i(x₁)ψ_c(x₂) ¯ψ_a(x)γ_µ(λ_j)_abψ_b(x) ¯ψ_d(x₃)

={iδijD_F^µν(x−x1)}{iδcaSF(x2−x)}γµ(λj)ab{iδbdSF(x−x3)}

=iD^µν_F (x−x₁)iS_F(x₂−x)γ_µ(λ_i)_cdiS_F(x−x₃).

「iSFab(p) =iSF(p)δabやiD^µν_Fij(k) =iδijD_F^µν(k)のような伝播関数因子を充てるときには，我々は常套的に a=b, i=jと置いてKroneckerのデルタを省く」(p.378，l.13〜15)とあるが，ここで行った計算のように

Kroneckerのデルタを消費してしまえば，既にKroneckerのデルタは不要であり，グルーオンやクォークの

伝播関数の代わりに光子伝播関数D^µν_F とフェルミオン伝播関数SFを充てれば良い．あるいはKroneckerの デルタは色や色電荷の保存を表しており，あらかじめ保存則を満たす過程のみを考えてKroneckerのデルタ を省いたと考えても良い．

■運動量空間のGreen関数(14.57)について

∫

d⁴x₁d⁴x₂d⁴x₃e^−ik·x1e^−ip′·x2e^−ip·x3⟨A^ν_i(x₁)ψ_c(x₂) ¯ψ_d(x₃)⟩

=− i 2gs

∫ d⁴x

[∫

d⁴x1e^−ik·x1iD_F^µν(x1−x) ] [∫

d⁴x2e^−ip′·x2iSF(x2−x) ]

γµ(λi)cd

[∫

d⁴x3e^−ip·x3iSF(x−x3) ]

=− i 2gs

[∫

d⁴xe^{−i(k+p′+p)·x} ]

iD^µν_F (−k)iSF(−p^′)γµ(λi)cdiSF(p)

=(2π)⁴δ⁽⁴⁾(k+p+p^′)iD^µν_F (k)iS_F(p+k) [

−ig_s

2 (λ_i)_cdγ_µ ]

iS_F(p) より，運動量空間のGreen関数は式(14.57)のように同定される．

■Tiの式(14.58d)について 色演算子(11.11a): ˆFi=¹₂λiと同一である．

■「……縮約をつくる3!通りの方法」(p.380，l.4,5)について 連結Green関数を得るには，引数がxの3つ の場を，いずれも引数の異なる場A^α_l(x1), A^β_m(x2), A^γ_n(x3)のいずれかと縮約しなければならない．

■Green関数へのF1の寄与(p.380，l.13,14)について

F1={δiliD^σα_F (x−x1)}{δjmiD^{τ β}_F (x−x2)}∂_x^µ{δkniD_F^νγ(x−x3)},

∴ig_sf_ijkg_µσg_ντ

∫

d⁴xF₁=ig_sg_µσg_ντf_lmn

∫

d⁴xiD^σα_F (x−x₁)iD_F^{τ β}(x−x₂)∂_x^µiD_F^νγ(x−x₃).

■運動量空間のGreen関数へのF1の寄与(14.64)について

∫

d⁴x1d⁴x2d⁴x3e^−ik1·x1e^−ik2·x2e^−ik3·x3⟨A^α_l(x1)A^β_m(x2)A^γ_n(x3)⟩1

=igsgµσgντflmn

×

∫ d⁴x

[∫

d⁴x1e^−ik1·x1iD^σα_F (x−x1) ] [∫

d⁴x2e^−ik2·x2iD^{τ β}_F (x−x2) ] [∫

d⁴x3e^−ik3·x3∂_x^µiD^νγ_F (x−x3) ]

=igsgµσgντflmn

[∫

d⁴xe^{−i(k1+k2+k3)·x} ]

iD^σα_F (k1)iD^{τ β}_F (k2)(−ik₃^µ)iD_F^νγ(k3)

=(2π)⁴δ⁽⁴⁾(k₁+k₂+k₃)g_sg_µσg_ντf_lmnk₃^µiD_F^σα(k₁)iD^{τ β}_F (k₂)iD^νγ_F (k₃)

なので，運動量空間のGreen関数への寄与⟨A^α_l(k1)A^β_m(k2)A^γ_n(k3)⟩₁^は式(14.64)のように同定される．

表1 ^式(14.64)において添字と引数の組(14.65)^{を入れ替えて得られる}3!^通りの項

(l, α, k₁) (m, β, k₂) (n, γ, k₃) g_sf_lmng_ντk_3σiD^σα_F (k₁)iD^{τ β}_F (k₂)iD_F^νγ(k₃) (l, α, k1) (n, γ, k3) (m, β, k2) gsflnmgντk2σiD^σα_F (k1)iD^{τ γ}_F (k3)iD^νβ_F (k2)

=−gsflmngντk2σiD_F^σα(k1)iD_F^{τ β}(k2)iD^νγ_F (k3) (m, β, k2) (l, α, k1) (n, γ, k3) gsfnmlgντk3σiD^σβ_F (k2)iD_F^{τ α}(k1)iD_F^νγ(k3)

=−gsflmngσνk3τiD_F^σα(k1)iD_F^{τ β}(k2)iD^νγ_F (k3) (m, β, k2) (n, γ, k3) (l, α, k1) gsfmnlgντk1σiD^σβ_F (k2)iD_F^{τ γ}(k3)iD^να_F (k1)

=g_sf_lmng_σνk_1τiD^σα_F (k₁)iD_F^{τ β}(k₂)iD_F^νγ(k₃) (n, γ, k₃) (l, α, k₁) (m, β, k₂) g_sf_nlmg_ντk_2σiD^σγ_F (k₃)iD^{τ α}_F (k₁)iD_F^νγ(k₃)

=g_sf_lmng_{τ σ}k_2νiD^σα_F (k₁)iD_F^{τ β}(k₂)iD_F^νγ(k₃) (n, γ, k₃) (m, β, k₂) (l, α, k₁) g_sf_nmlg_ντk_1σiD^σγ_F (k₃)iD^{τ β}_F (k₂)iD^να_F (k₁)

=−gsflmngτ σk1νiD_F^σα(k1)iD_F^{τ β}(k2)iD^νγ_F (k3)

■3グルーオン結節点を持つ運動量空間のGreen関数(14.67)について 式(14.64)において添字と引数の組 (14.65)を入れ替えて得られる3!通りの項を表1にまとめる．

■4グルーオン結節点を持つ運動量空間のGreen関数(14.69)について

⟨A^α_l(x1)A^β_m(x2)A^γ_n(x3)A^δ_o(x4)⟩=− i

4g_s²fiprfistgλνgµσ

∫ d⁴xF,

F≡ ⟨A^λ_p(x)A^µ_r(x)A^ν_s(x)A^σ_t(x)A^α_l(x1)A^β_m(x2)A^γ_n(x3)A^δ_o(x4)⟩₀. ここで上式のF に対してWickの定理を適用する際に，連結ダイヤグラムに関係する，異なる引数の場どう しの縮約を作る方法は4!通りあり，それらは

F1≡A^λ_p(x)A^α_l(x1)A^µ_r(x)A^β_l(x2)A^ν_s(x)A^γ_l(x3)A^σ_s(x)A^δ_l(x4) において添字と引数の組

(l, α, x1), (m, β, x2), (n, γ, x3), (o, δ, x4) を入れ替えて得られる．F1のGreen関数への寄与は

⟨A^α_l(x₁)A^β_m(x₂)A^γ_n(x₃)A^δ_o(x₄)⟩1

=− i

4g_s²fiprfistgλνgµσ

∫ d⁴xF1

=− i

4g_s²filmfinogλνgµσiD^λα_F (x−x1)iD_F^µβ(x−x2)iD^νγ_F (x−x3)iD^σδ_F (x−x4) と評価される．これを運動量空間に移すと

⟨A^α_l(k1)A^β_m(k2)A^γ_n(k3)A^δ_o(k4)⟩₁=−i

4g_s²filmfinogλνgµσiD^λα_F (k1)iD^µβ_F (k2)iD^νγ_F (k3)iD_F^σδ(k4) となることは，式(14.57)や式(14.64)の導出との類似性から容易に推察される．これと添字および引数の組

(l, α, k1), (m, β, k2), (n, γ, k3), (o, δ, k4)

の入れ替えを行った4!個の項を合わせて式(14.69)が得られれば良いが，その確認を省略する．

■ゴースト-グルーオン結節点を持つ運動量空間のGreen関数(14.71)について

⟨A^α_l(x1)˜ηm(x2)ηn(x3)⟩=igsfijk

∫ d⁴xF,

F ≡ ⟨(∂µηi(x))˜ηj(x)A^µ_k(x)A^α_l(x1)˜ηm(x2)ηn(x3)⟩₀

=−A^µ_k(x)A^α_l(x₁)(∂_µη_i(x))˜η_m(x₂)˜η_j(x)η_n(x₃)

=−δklδimδjniD^µα_F (x−x1){−∂µi∆F(x2−x)}i∆F(x−x3) であり，これに対応する運動量空間のGreen関数(14.71)は以下の計算から見出される．

∫

d⁴x₁d⁴x₂d⁴x₃e^−ik1·x1e^−ik2·x2e^−ik3·x3⟨A^α_l(x₁)˜η_m(x₂)η_n(x₃)⟩

=igsflmn

∫ d⁴x

[∫

d⁴x1e^−ik1·x1iD^µα_F (x−x1) ] [∫

d⁴x2e^−ik2·x2∂xµi∆F(x2−x) ] [∫

d⁴x3e^−ik3·x3i∆F(x−x3) ]

=igsflmn

[∫

d⁴xe^{−i(k1+k2+k3)·x} ]

iD_F^µα(k1)(−ik2µ)i∆F(−k2)i∆F(k3)

=(2π)⁴δ⁽⁴⁾(k1+k2+k3)gsflmnk2µiD^µα_F (k1)i∆F(k2)i∆F(k3).

ドキュメント内 【PDF】F.マンドル/Gショー『場の量子論 第2巻 素粒子の相互作用』 (ページ 50-56)