強い相互作用の結合定数

図11 1-グルーオン交換によるクォーク-クォーク散乱(上段)と，最低次の補正を表す真空偏極グラフ(下段)

図12 無効ダイヤグラム

交換関係(11.12a):[Tⁱ, T^j] =if_ijkT^kに加えて，次の性質がある．

Tr(Tⁱ) =1

2Tr(λ_i) = 0, Tr(TⁱT^j) =1

4Tr(λ_iλ_j) = 1 2δ_ij, TⁱT^j =1

4λ_iλ_j= 4 3.

［第3式の最右辺には単位行列が掛かっているものと見なす．］

さらに以上の関係式から，次の恒等式が導かれる．

if_ijkT^jT^k=−3

2Tⁱ, T^jTⁱT^j=−1 6Tⁱ.

15.4.2無効ダイヤグラム

図12に示したループダイヤグラムにFeynman規則を適用するとゼロになる．(正規順序化を利用する正準 形式では，Wickの定理において同時刻縮約が除かれることから，これらのダイヤグラムが省かれる．)

15.4.2について

■図15.12(p.415)のグラフ(a),(b)に関する因子δjkについて 14.3節で見たように，伝播関数に由来する

Kroneckerのデルタを計算で消費してしまえば(あるいは等価的に，あらかじめ色や色電荷の保存する過程の

図13 2次のクォーク自己エネルギー

みを考えてKroneckerのデルタを省けば)，グラフの内線にKroneckerのデルタを充てる必要はなくなるけれ ど，本来的には伝播関数因子はKroneckerのデルタを含んでいる．

■図15.12(p.415)のグラフ(d)に関する，p.414下から2行目の式について 計量テンソルg^µνはグルーオン 伝播関数に由来しており，正しくはg^νσと考えられる．

15.4.3結合定数の繰り込み

本節ではクォークとグルーオンの伝播関数とクォーク-グルーオン結節部分の繰り込みを，2次の摂動論の範 囲で考える．

■クォークの自己エネルギー クォークの自己エネルギー部分は図13のダイヤグラム［ただし教科書の図 15.13(p.416)に対して，グルーオンの色電荷の添字i, jとクォークの色の添字a, a^′, c, c^′の付け方を修正した］

にFeynman規則を適用すると

ig₀²Σac(p) =(ig0)²Cac

∫ d⁴k

(2π)⁴iDFαβ(k)γ^αiSF(p−k)γ^β, Cac≡T_abⁱ T_bcⁱ =4

3δac

となる．［Kroneckerのデルタδacにより色の保存しない過程a̸=cの確率はゼロになる．そこで］色の保存 する場合a=cを考えると，これは単に電子の自己エネルギー部分(15.8b)においてe₀²→4g₀²/3と置き換 えたものになっている．よってクォーク伝播関数の繰り込みは，繰り込み定数(15.15)を

Z2= 1− g_r² 12π²

[2

η −γ+ ln(4π) ]

に置き換えさえすれば，電子伝播関数の場合(15.2.1節)と全く同様に行われる．

■グルーオンの自己エネルギー グルーオンの伝播関数に対する2次の補正には，図14の3種類の自己エネ ルギーダイヤグラムがある．これらはFeynman規則に基づいて式(15.80)のように評価されるので(15.6.1 節)，クォークループに関してnf 種類のクォークの香り考慮すると(標準理論ではnf = 6)，自己エネルギー

図14 グルーオンの自己エネルギーへの2次の寄与

部分は正味で

ig₀²Π^µν_ij (k) =iδijg₀²Π˜^µν(k), g₀²Π˜^µν(k) =(k^µk^ν−k²g^µν) ˜g₀²

16π² (2nf

3 −5 ) [2

η −γ+ ln(4π) ]

+· · ·

となる．ここに「· · ·」は有限な項を表す．［Kroneckerのデルタδij により色電荷の保存しない過程i̸=jの 確率はゼロになる．そこで］色電荷の保存する場合i=jを考えると，これは光子の自己エネルギー部分(式 (10.48)，式(10.52b))において

˜ e₀²

12π² → g˜₀² 16π²

(2nf

3 −5 )

と置き換えたものになっている．よってグルーオン伝播関数の繰り込みは，繰り込み定数(15.26)を Z3= 1− ˜g₀²

16π² (2nf

3 −5 ) [2

η −γ+ ln(4π) ]

に置き換えさえすれば，電子伝播関数の場合(15.2.2節)と全く同様に行われる．

■クォーク-グルーオン結節点補正 クォーク-グルーオン結節点に対する2次の補正g₀²Λ^i,µ(p^′, p)は図15の 2つのダイヤグラムで表され，Feynman規則に基づいて式(15.90)によって与えられる(15.6.2節)．このと き繰り込み定数の表式

Z1= 1−13g_r² 48π²

[2

η −γ+ ln(4π) ]

図15 2^{次のクォーク}-^{グルーオン結節点補正}

を通して繰り込まれた結合gr = ˜g0/Z1を定義すると，2次の輻射補正を含めたクォーク-グルーオン結節部 分は

iΓ^i,µ(p^′, p) =ig0[γ^µTⁱ+g₀²Λ^i,µ(p^′, p)]

=ig_rµ^η/2[Tⁱγ^µ+ ˜g₀²Λ^i,µ_r (p^′, p)]

となる．ただしΛ^i,µ_r (p^′, p)は有限な部分である．

QEDの場合と同様に，結節点に接続する伝播関数に由来する因子Z₂^1/2, Z₃^1/2を吸収して，繰り込まれた 結節部分を

iΓ^i,µ_r (p^′, p) =Z2Z₃^1/2iΓ^i,µ(p^′, p) =igrµ^η/2[Tⁱγ^µ+g_r²Λ^i,µ_r (p^′, p) +O(g_r⁵)]

とする．ここに

g_r≡g˜₀Z₃^1/2Z₂ Z1

=g₀µ^−η/2Z₃^1/2Z₂ Z1

は完全に繰り込まれた電荷であり，QCDの場合Z1=Z2としてさらにこの式を簡略化することはできない．

15.4.3について

■自己エネルギーの式(15.74a)について 図 13のダイヤグラムに 14.4節のFeynman規則を適用して Feynman振幅の式u¯c(p){ig₀²Σac(p)}ua(p)に翻訳すると，

ig₀²Σac(p) =

∫ d⁴k

(2π)⁴{iD^βα_F (k)δij}{−ig0(T^j)cc^′γα}{iSF(p−k)δa^′c^′}{−ig0(Tⁱ)a^′aγβ}

=(ig0)²(Tⁱ)cb(Tⁱ)ba

∫ d⁴k

(2π)⁴iDFαβ(k)γ^αiSF(p−k)γ^β: (15.74) となる．

■式(15.81)について

nf

24π²(k^µk^ν−k²g^µν) + 1 32π²

(

k^µk^ν+k²g^µν 2

)

− 1 32π²

(

11k^µk^ν−19 2 k²g^µν

)

= 1 16π²

(2 3nf+1

2 −11 2

)

k^µk^ν+ 1 16π²

(

−2 3nf+1

4 +19 4

) k²g^µν

= 1 16π²

(2nf

3 −5 )

(k^µk^ν−k²g^µν) による．

■Z3の式(15.86)について 2nf −5の箇所は(

2n_f 3 −5

)

と考えられる．実際このときはじめて式(15.98) を正しく導ける．

■式(15.88)について QEDにおける対応する式(15.28)とともに，Πr(k²)の項には係数k²を補う必要が あると考えられる．実際，式(15.24)のΠr(k²)は無次元量なので，k²を補って初めて次元の正しい式となる．

■式(15.93)について

iΓ^i,µ(p^′, p) =ig₀Tⁱγ^µ [

1 + 13g_r² 48π²

{2

η −γ+ ln(4π) }]

+· · ·

=igrµ^η/2Tⁱγ^µZ1

[

1 +13g_r² 48π²

{2

η −γ+ ln(4π) }]

+· · ·

=igrµ^η/2[Tⁱγ^µ+O(˜g₀²)] +· · ·

において，O(˜g₀²)を有限な項「· · ·^{」と合わせて}˜g₀²Λ^i,µ_r (p^′, p)と書けば，式(15.93)を得る．

なお色電荷の添字が省かれているけれど，T_iは行列要素を表していると考えられ，それ故γ行列と順序交 換するのは何ら問題ない．

■ 輻射補正 として可能なグラフ(図15.13(p.416)，図15.15(p.417)，図15.17(p.420))について これらは QCDの結節点が図14.4(p.379)の4種類であることを考慮して得られる．

15.4.4走行電荷

完全に繰り込まれた結合(15.97):gr=g0µ^−η/2Z

1/2 3 Z₂

Z₁ に対して

µ∂g_r

∂µ =−β₀g_r³

16π², β0= 11−2 3nf

なので，17未満の香りの種類の数nf に対して［したがって標準理論の値nf = 6に対して，QEDの場合と は対照的に］結合grはµの増加に対して減少する［漸近的自由性(15.5節の第1段落を参照)］．微細構造定 数と同様に定義される結合の強さαs(µ)≡g_r²(µ)に関する上式の解として，結合grの具体的なµ依存性を 以下の2通りに表すことができる．

αs(µ) =







4π

β₀ln(µ²/Λ²) (Λは積分定数) α_s(µ₀)

1 + (β0/4π)αs(µ0) ln(µ²/µ₀²) (µは積分定数)

15.4.4について

■完全に繰り込まれた結合grの式(15.98)について Z₃^1/2Z₂

Z1

=1 + g_r² 32π²

{

− (2n_f

3 −5 )

−8 3+26

3 } {2

η −γ+ ln(4π) }

+O(g_r⁴)

=1 + g_r² 32π²

(

11−2nf

3 ) {2

η −γ+ ln(4π) }

+O(g_r⁴) による．

■αsに対する式(p.421下から3行目)とその解(15.102)について µ∂αs

∂µ = µ 2πgr

∂gr

∂µ = gr

2π (

−β0g_r³ 16π²

)

=−β0

α_s² 2π. これを変数分離して解くと

−1

α_s =−β0

2πlnµ+ const.=−β0

4πln (µ²

Λ² )

となるので式(15.102)を得る．積分定数Λは真数を無次元化する意味でも必要である．

■α⁻_s¹に対する式(p.422，l.3)とその解(15.103)について µ∂α_s⁻¹

∂µ = 4πµ (

− 2 g_r³

∂gr

∂µ )

= (

−8π g_r³

) (

−β0g_r³ 16π²

)

= β0

2π. これを解くと

1

αs(µ)− 1

αs(µ0) = β₀ 2πln

(µ µ0

)

となるので式(15.103)を得る．

■漸近的自由性 QEDに対する15.3.3節の説明を踏まえると，結合grがµの増加に対して減少すること(式 (15.99)，式(15.102)，式(15.103))が漸近的自由性に他ならない．そのことの丁寧な説明が15.5節の第1段 落にある．

■尺度µにZ⁰ボゾンの質量mZを用いること(最終段落)について mZは比較的大きな質量なのでαs(mZ) は1に比べて小さな値をとる．このためµ=Z⁰と選ぶことは摂動論に適していると考えられる(15.5節も 参照)．

ドキュメント内 【PDF】F.マンドル/Gショー『場の量子論 第2巻 素粒子の相互作用』 (ページ 72-78)