グルーオン場

14.1.1生成汎関数

8つのグルーオン場A^κ_i(x)に関係する源を表す古典場J_iκ(x)を導入し，グルーオン場の生成汎関数 Z[J_iκ] = 1

N

∫

DAe^iX[Jiκ], X[J_iκ] =

∫

d⁴x(LG+J_iκA^κ_i) (ただしDA≡∏8

i=1

∏3

µ=0DA^µ_i(x)，規格化条件Z[Jiκ= 0] = 1)を考えると，自由場に対しては G^µν_i =F_i^µν, LG =−1

4FiµνF_i^µν

であり，QEDの場合(13.4節)と同様これは適正に定義された量とならない．

ここでも何らかのゲージ固定を行わなければ，生成汎関数を適正に定義することはできない．このことは次 のように自然に説明できる．すなわち電磁場については4成分のうち2つの横波成分だけが独立であった［の と同様に，グルーオン場も全ての成分が独立ではない］にも関わらず，上記の積分は場の4成分µ= 0,1,2,3 の全てに対して施される．よって余分の自由度に関する積分を取り除く措置が必要である．

しかしながらグルーオン場に対してはゲージ変換(11.26b)が電磁場の場合よりも複雑であるために，一般 にLorentz条件

∂µA^µ_i(x) = 0 (i= 1,2,· · · ,8)

を課すことはできない．また無理にLorentz条件を課したとしても，相互作用を考える際に矛盾が生じてくる ことが知られている．そこでhi(x)を任意関数として，より一般的なゲージ条件

fi(A^µ_i(x))≡∂µA^µ_i(x)−hi(x) = 0 (i= 1,2,· · ·,8)

を課すことを考える．このような制約を与えると，生成汎関数においてLagrangian密度が適切に修正された 形に置き換わる［式(14.20)参照］．その厳密な証明は行わず，我々は最終的な結果の主要な特徴がもっとも らしいことを確かめるに留めることにする．

14.1.1について

■「相互作用がない場合には，G^µν_i (x)がF_i^µν(x)に帰着し」(p.362，l.12)について 相互作用Lagrangian密 度(11.28b)は結合gsに比例することに注意し，G^µν_i (x)の式(14.2)においてgs= 0と置けば良い．

14.1.2数学的な類推

ここではFaddeev-Popovの手続きの［完全な説明を与える代わりに，その］雛形となる議論を行う．n変

数zk+1,· · ·, zk+nにのみ依存する 作用 Xに対し積分 Z =

∫ (^k+n∏

i=1

dzi

) e^−X を，余計な自由度に関する積分を取り除いた

Z=

∫ ( ^k+n∏

i=n+1

dzi

) e^−X

に置き換え，後者を元と同じ(k+n)変数に関する等価な積分として表すことを考える．そのためにn変数 z_k+1,· · ·, z_k+nの値からz₁,· · ·, z_kを定める条件

fi(z1, z2,· · · , zk+n) = 0 (i= 1,· · · , k) を導入し，

Z=

∫ ( k+n∏

i=n+1

dzi

) e^−X=

∫ {∏k i=1

∫

dfiδ(fi)

} ( _k+n

∏

i=n+1

dzi

) e^−X

=

∫ (k+n∏

i=1

dz_i )

e^−Xdet (∂f

∂z )∏k

i=1

δ(f_i) (1)

と書き換える．Grassmann変数θi,θ˜iに対して最右辺のJacobi行列式det(∂f /∂z)を公式(13.53):

det (∂f

∂z )

=

∫ (∏^k

i=1

dθid˜θi

) exp



−∑

i,j

θi

∂fi

∂z_j θ˜j



 のように表せば(指数関数において∑

i,jは添字i, jそれぞれの1,· · ·, kについての和)，最終的な結果として Z =

∫ (k+n∏

i=1

dz_i

) ∫ (∏^k

i=1

dθ_id˜θ_i )

e^−X˜

∏k i=1

δ(f_i), X˜ =X+∑

i,j

θ_i∂f_i

∂zj

θ˜_j を得る．

14.1.2について

(k+n)変数に関する積分(14.9)がゲージ条件の制約を与える前の積分(14.3)に対応すると考えられる．

そして本節の最終的な結果(14.12)は元の形(14.3)に対応する式(14.9)ではなく，むしろ独立な自由度に関 する積分(14.8)と等価である．このことから「生成汎関数が元の形(14.3)と等価な内容を持」(p.363下から 3,2行目)たなければならないというのは，正確にはむしろ「同じ変数を用いるけれども」(14.1.3項，l.1)こ れを適正な積分へと積極的に置き換えることを意味すると考えられる．

14.1.3 Faddeev-Popovの方法

FaddeevとPopovは少なくともS行列要素の計算に関して適正な生成汎関数を得るには，生成汎関数を式

(1)に類似の

Z[Jiµ]∝

∫

DAe^iXdet (δfi

δω_j ) (∏8

i=1

δ[fi] )

に置き換え，Grassmann場η_i(x),η˜_i(x)を導入して右辺の 汎関数行列式 を公式(13.61)の一般化にあたる 関係

det (δf_i

δωj

)

∝

∫ DηDη˜

{ i

∫

d⁴xd⁴x^′η_i(x)δf_i δωj

˜ η_j(x^′)

}

(ただしDηDη˜≡∏8

i=1DηiDη˜i)［右辺の量は後述の汎関数微分δfi/δωjに対する解釈の下で，曖昧さなしに 理解できる］によって与えれば良いことを示した．ここにδ[fi]は任意の汎関数F[fi]に対して，δ関数と類似

の性質 ∫

DfiF[fi]δ[fi] =F[0]

を満たすように定義されたδ汎関数である．このδ汎関数があるためにゲージ場Aiµ(x)に関する汎関数積分 において，場Aiµ(x)がゲージ条件fi= 0を満たす場A⁽⁰⁾_iµ(x)に一致する，したがって場A⁽⁰⁾_iµ(x)から任意の 場Aiµ(x)へのゲージ変換に対するゲージ関数ω

e≡[ω1, ω2,· · ·, ω8]がゼロになる極限を考えれば十分である．

そこで汎関数微分を

δfi

δωj ≡ δfi(Aiµ(x)) δωj(x^′)

ωe=0

と解釈する．以上の結果は前節の公式と似ているとは言え導出は容易ではないので，我々はこれを仮定として 受け容れることにする．問題の難しさの一因として，今の場合，作用(14.3c):X[Jiκ] =∫

d⁴x(LG+JiκA^κ_i) がゲージ不変ではないということを強調しておく．

14.1.3について

■「ここで導入している場η_i(x)，η˜_i(x)はスカラーGrassmann場なので」(p.366，l.22)について これは(汎 関数)行列式の書き換えに，通常の汎関数積分に関する公式(13.12)ではなくGrassmann場に関する汎関数

積分(13.61)に対応する式(14.14b)を用いたことによる．そうしなければならない必然性は，おそらく教科

書の説明だけでは見出せない．

14.1.4ゲージ固定とゴースト場

生成汎関数における汎関数行列式を評価して，目障りなδ汎関数があからさまには現れない，摂動論に適し た形

Z[J_iκ] =1 N

∫

DADηDη˜exp {

i

∫

d⁴x(L+J_iκA^κ_i) }

, L=LG^′+Lg,

LG^′ =−1

4GiµνG^µν_i −1

2(∂µA^µ_i)²,

Lg=(∂µηi)[∂^µη˜i+gsfijkη˜jA^µ_k] :ゴースト項

(ただしZ[Jiµ = 0] = 1)に書き換えることができる．［これが第14.1.1節で予告した，Lagrangian密度を修 正した式である．］LG′ における付加的な項−¹₂(∂µA^µ_i)²は ゲージ固定項 と呼ばれる(14.1.5節)．ここで ゴースト場と呼ばれる場ηi(x),η˜i(x)とグルーオン場の相互作用に関する項Lgが現れていることに注目する．

ゴースト場ηi(x),η˜i(x)はスカラーのGrassmann場であり，それ故スピン0のフェルミオンを記述する．ス ピンが半整数値をとらないフェルミオンはスピン-統計定理(4.3節)を破るのでそのようなゴースト粒子は許 されないけれど，14.3節で見るようにゴースト粒子は中間状態における仮想的な粒子の伝播関数という形で寄 与を持つ．ゴースト粒子はあくまで都合の良い人工的な概念であって，現実的な概念ではない．実際このこと を反映して，ゲージを適当に選べばゴースト粒子は理論から完全に取り除くことができる．

14.1.4について

■汎関数微分の式(14.1.4節，l.5)について

δ

δωj(x^′)gsfilkωl(x)A^(0)µ_k (x) ω

e=0

=gsfilkδljδ⁽⁴⁾(x−x^′)[A^(0)µ_k (x^′)]ω e=0

=gsfijkA^µ_k(x^′)δ⁽⁴⁾(x−x^′).

■汎関数行列式(p.367，l.10)について 微分演算子がδ関数にかかっているため，

det (δfi

δω_j )

∝

∫

DηDη˜exp [

i

∫

d⁴xd⁴x^′ηi(x){−∂µx′[δij∂_x^µ_′+gsfijkA^µ_k(x^′)]δ⁽⁴⁾(x−x^′)}η˜j(x^′) ]

=

∫

DηDη˜exp [

i

∫

d⁴xη_i{∂_µ(δ_ij∂^µ+g_sf_ijkA^µ_k)}η˜_j ]

=

∫

DηDη˜exp [

i

∫

d⁴x{(∂^µηi)˜ηi+gsfijkA^µ_k∂µ(ηiη˜j)} ]

としてはいけないことに注意する．

14.1.4節，l.3，l.5の式の代わりに δA^µ_i(x)

δω_j(x^′)=− {δij∂^µ+gsfijkA^µ_k(x)}δ⁽⁴⁾(x−x^′),

∴ δfi

δω_j =−∂µ[{δij∂^µ+gsfijkA^µ_k(x)}δ⁽⁴⁾(x−x^′)]

と書いた方が便利である．δ関数にかかる微分を取り除くようにxについて2回部分積分すると，式(14.14b) の指数は次のように計算できる．

−i

∫

d⁴xd⁴x^′ηi(x)[∂µ{δij∂^µ+gsfijkA^µ_k(x)}δ⁽⁴⁾(x−x^′)]˜ηj(x^′)

=i

∫

d⁴xd⁴x^′(∂µηi(x))[{δij∂^µ+gsfijkA^µ_k(x)}δ⁽⁴⁾(x−x^′)]˜ηj(x^′)

=i

∫

d⁴xd⁴x^′{(−∂µ∂^µηi(x))˜ηi(x^′) + (∂µηi(x))gsfijkη˜j(x^′)A^µ_k(x)}δ⁽⁴⁾(x−x^′)

=i

∫

d⁴x{(−∂_µ∂^µη_i)˜η_i+ (∂_µη_i)g_sf_ijkη˜_jA^µ_k}.

最後に最右辺の被積分関数第1項を再び部分積分すると(この手順は2度手間ではなく，必要な措置である)， i

∫

d⁴x(∂_µη_i)(∂^µη˜_i+g_sf_ijkη˜_jA^µ_k) となるので，汎関数行列式(p.367，l.10)およびゴースト項(14.17)を得る．

■δ汎関数δ[fi]を消去するための式(p.368，l.10,11)について δ汎関数を定義する式(p.366，l.4)による．

■式(14.20)について 式(14.19)に式(14.18)を代入し

Z[Jiκ]∝

∫

DADηDη˜exp {

i

∫

d⁴x(LG+Lg+JiκA^κ_i)} ∫ (∏

i

Dhi

) exp

{

−i 2

∫

d⁴x∑

i

h_i² } (∏

i

δ[fi] )

=

∫

DADηDη˜exp [

i

∫ d⁴x

{

LG+Lg+JiκA^κ_i −1

2(∂µA^µ_i)² }]

: (14.20) を得る．

14.1.5電磁場の再検討

η(x),η(x)˜ をゴースト場としてFaddeev-Popovの手続きを電磁場に適用した場合の生成汎関数 Z[Jµ] =1

N

∫

DADηDη˜exp {

i

∫

d⁴x(L+Lg+JκA^κ) } (

L=−1

4FµνF^µν−1

2(∂µA^µ)², Lg= (∂µη)(∂^µη)˜ )

= 1 N^′

∫

DAexp {

i

∫

d⁴x(L+JκA^κ) }

( 1 N^′ = 1

N

∫

DηDη˜exp (

i

∫ d⁴xLg

))

は通常のLorentzゲージを用いた場合の生成汎関数(13.79):

Z[Jκ] = 1 N₁

∫

DAe^iX[Jκ], X[Jκ] =

∫ d⁴x

{

−1

2(∂νAµ)(∂^νA^µ) +JκA^κ }

と同じものであることが分かる．

ドキュメント内 【PDF】F.マンドル/Gショー『場の量子論 第2巻 素粒子の相互作用』 (ページ 43-47)