径路積分

正準形式の定式化では，Green関数と生成汎関数をそれぞれ

式(12.1) :G^µ···(x,· · ·, y,· · · , z,· · ·)≡H⟨0|T{A^µH(x)· · ·ψ^H(y)· · ·ψ¯^H(z)· · · }|0⟩H, 式(13.28) :Z[J_κ, σ,σ]¯ ≡⟨0|S^′|0⟩

⟨0|S|0⟩

によって定義したところ，生成汎関数からGreen関数を導く式(12.91):

G^µ···(x,· · ·, y,· · ·, z,· · ·) = (−1)^n¯ (1

i )n

δⁿZ[Jκ, σ,¯σ]

δJ_µ(x)· · ·δ¯σ(y)· · ·δσ(z)· · ·

0

が示された．正準形式の場の量子論から，Green関数に対する径路積分の表式を導くことも可能である．しか し我々は生成汎関数に対する径路積分の表式を天下りに引用し，その正準形式との等価性を確認して満足する ことにする．証明は次の2段構えとなる．

• ^まず2つの形式が自由場の場合に等価であれば，

相互作用を含む場合にも等価であることを13.2.2項で示す．

• ^次に2つの形式が自由場の場合に等価であることを13.2.3項と13.2.4項で示す．

13.2.1生成汎関数

生成汎関数に対する径路積分の表式は，虚構的な場の項も含めた作用 X^′=

∫

d⁴x(L0+LI+LS) を用いて

Z[Jκ, σ,σ] =¯ 1 N

∫

DADψ¯Dψe^iX′ と与えられる(ただしDA=∏3

µ=0DA^µ)．規格化定数Nは条件Z[0,0,0] = 1から N =

∫

DADψ¯Dψe^iX, X ≡

∫

d⁴x(L0+LI) : QEDの作用 と定まる．これを式(12.91):

G^µ···(x1,· · ·, y1,· · ·, z1,· · ·) = (−1)^n¯ (1

i )n

δⁿZ[Jκ, σ,σ]¯

δJ_µ(x₁)· · ·δ¯σ(y₁)· · ·δσ(z₁)· · ·

0

に代入すると，Green関数に対する径路積分の表式 G^µ···(x₁,· · ·, y₁,· · · , z₁,· · ·) = 1

N

∫

DADψ¯Dψ{e^iXA^µ(x₁)· · ·ψ(y₁)· · ·ψ(z¯ ₁)· · · } が得られる．

13.2.1について

■Green関数の定義について 径路積分形式では生成汎関数からGreen関数を導く式(12.91)をGreen関数

の定義と見なす．このとき生成汎関数を径路積分で表した式(13.63a)が，式(13.28)で定義される正準形式で の生成汎関数と一致すれば，2つの形式でGreen関数は一致することになる．したがって理論の予言もまた一 致する．

■Green関数の径路積分表式(13.70)について 汎関数微分の性質(12.56d)および式(12.88a)を用いると δ

δJ_µ(x₁)e^iX′ =ie^iX′

∫

d⁴xδJκ(x)

δJ_µ(x₁)A^κ(x) =ie^iX′A^µ(x1)

を得る．同様にGrassmann場による微分に対しても汎関数微分の性質(12.56d)が成立すると仮定し，同様 に式(12.88b)を用いると

δ

δ¯σ(y1)e^iX′ =ie^iX′ψ(y1), δ

δσ(z1)e^iX′ =−ie^iX′ψ(z¯ 1) となる．以上より

G^µ···(x1,· · · , y1,· · ·, z1,· · ·) =1 N

∫

DADψ¯Dψ(−1)^n¯ (1

i )n

δⁿ

δJµ(x1)· · ·δ¯σ(y1)· · ·δσ(z1)· · ·e^iX′ 0

=1 N

∫

DADψ¯Dψ{e^iXA^µ(x₁)· · ·ψ(y₁)· · ·ψ(z¯ ₁)· · · }: (13.70)

を得る．以上で用いた公式(12.56d)，(12.88)の導出では，正準形式に特有の事情を仮定していないことに注 意しよう．

13.2.2自由場と相互作用をする場

径路積分形式の枠組みの中で，自由場の生成汎関数Z0の経路積分表式 Z0[Jκ, σ,¯σ] = 1

N₀

∫

DADψ¯Dψe^iX0′, N0=

∫

DADψ¯Dψexp (

i

∫ d⁴xL0

)

に対して

Z[Jκ, σ,σ] =¯ 1 N_I exp

{ ie

∫

d⁴xIδ(x) }

Z0[Jκ, σ,σ]¯ が示される．ただし

Iδ(x) = (

−1 i

δ δσ(x)

) γµ

(1 i

δ δ¯σ(x)

) (1 i

δ δJµ(x)

)

: (12.119), NI= N N0

である．よって経路積分表式のZ0が正準形式と同じであれば，上式は正準形式の生成汎関数(12.121):

Z[J_κ, σ,σ] =¯ 1

⟨0|S|0⟩exp {

ie

∫

d⁴xI_δ(x) }

Z₀[J_κ, σ,σ]¯ と同じものである(どちらもZ[0,0,0] = 1となるように規格化されている)．

そこで次節以降で自由場の生成汎関数について，2つの形式の等価性を証明する．ここでは準備として，自 由場の生成汎関数Z0の経路積分表式が，自由な電磁場の生成汎関数

Z0[Jκ] = 1 N₁

∫

DAexp(iX[Jκ]), X[Jκ] =

∫ d⁴x

{

−1

2(∂νAµ)(∂^νA^µ) +JκA^κ }

(ただしZ0[Jκ= 0] = 1となるように規格化定数N1を選ぶ)と，自由スピノル場の生成汎関数 Z0[σ,¯σ] = 1

N₂

∫

Dψ¯Dψexp(iX[σ,σ]),¯ X[σ,σ] =¯

∫

d⁴x{ψ(i/¯ ∂−m)ψ+ ¯σψ+ ¯ψσ} (ただしZ₀[σ= 0,σ¯= 0] = 1となるように規格化定数N₂を選ぶ)に分解できることに注意を促しておく：

Z₀[J_κ, σ,σ] =¯ Z₀[J_κ]Z₀[σ,σ].¯

正準形式においてもこのように分解できるため(式(12.110a)参照)，後は自由電磁場と自由スピノル場のそれ ぞれに対して，生成汎関数が2つの形式において同一であることを示せば良い．

13.2.2について

■式(13.71)について X0′ ≡∫

d⁴x^′{L0(x^′) +LS(x^′)}:(13.76b)に対して式 (13.70)の導出の際に用いた 関係

1 i

δ

δJµ(x)e^iX0′ =e^iX0′A^µ(x), 1 i

δ

δ¯σ(x)e^iX0′ =ie^iX0′ψ(x), −1 i

δ

δσ(x)e^iX0′ =−ie^iX0′ψ(x)¯ を再び利用すると，

eI_δe^iX0′ = (eψγ¯ _µA^µψ)e^iX0′ =LIe^iX0′ : (13.71)

を得る．(汎関数)微分は1つずつ実行しなければならず，3つの微分Iδに対して一気に I_δe^iX0′ = (ie^iX0′)(I_δX₀^′)

としてはいけないことに注意する．

13.2.3自由な電磁場

自由電磁場の生成汎関数に対する経路積分表式(13.79a):

Z0[Jκ] = 1 N1

∫

DAexp(iX[Jκ]) が，正準形式における表式(12.110b):

Z0[Jκ] = exp (

−i

2[J^κDFκλJ^λ] )

に一致することを示した．

*

証明の概略は以下のようである．まず生成汎関数の経路積分表式における作用を X[Jκ] =−1

2

∫

d⁴xd⁴x^′Aµ(x)K^µν(x, x^′)Aν(x^′) +

∫

d⁴xJκ(x)A^κ(x), K^µν(x, x^′)≡ −g^µνδ⁽⁴⁾(x−x^′)□x^′

と書き換える．すると式(13.24):

A[J, ϕ]≡ −1 2

∫

d⁴xd⁴x^′ϕ(x)K(x, x^′)ϕ(x^′) +

∫

d⁴xJκ(x)ϕ(x) に対する公式(13.33):

I[J]≡N

∫

Dϕexp(A[J, ϕ]) = exp (1

2[J K⁻¹J]

)

の導出と同様の計算により，これを

Z0[Jκ] = exp (i

2[J^κK_κλ⁻¹J^λ] )

と変形できる．ここに

K_µν⁻¹(x, x^′) =

∫ d⁴k (2π)⁴

g_µν

k² e^{−ik·(x−x′)}

であり，これは極k⁰=|k|の扱い方に関する曖昧さを持つ．そこで式(12.106)のときと同様に，生成汎関数 から導かれる2点Green関数が光子伝播関数にならなければならないことを要求すると，k²→k²+iεと修 正して

Z0[Jκ] = exp (

−i

2[J^κDFκλJ^λ] )

とすれば良いことが分かる．

13.2.3について

■式(13.88)について

X[Jκ] =−1 2

∫

d⁴xd⁴x^′ {

A^′µ(x) +

∫

d⁴yK_µλ⁻¹(x, y)J^λ(y) }

×K^µν(x, x^′) {

A^′ν(x^′) +

∫

d⁴y^′K_νρ⁻¹(x^′, y^′)J^ρ(y^′) }

+

∫

d⁴xJ_κ(x) {

A^′κ(x) +

∫

d⁴yK^−1κ_λ(x, y)J^λ(y) }

=−1

2[A^′_µK^µνA^′_ν]

−1 2

∫

d⁴xd⁴x^′d⁴y^′K^µν(x, x^′)K_νρ⁻¹(x^′, y^′)A^′µ(x)J^ρ(y^′)

−1 2

∫

d⁴xd⁴x^′d⁴yK_µλ⁻¹K^µν(x, x^′)A^′ν(x^′)J^λ(y)

−1 2

∫

d⁴xd⁴x^′d⁴yd⁴y^′K_µλ⁻¹(x, y)K^µν(x, x^′)K_νρ⁻¹(x^′, y^′)J^λ(y)J^ρ(y^′) +

∫

d⁴xJκ(x)A^κ(x) + [J^κK_κλ⁻¹J^λ] において式(13.86)を用いると，最右辺の2,3行目はいずれも¹₂∫

d⁴xJκ(x)A^κ(x)となるので，5行目の第1 項と相殺する．また最右辺の4行目は−¹₂[J^κK_κλ⁻¹J^λ]となるので，式(13.88):

X[J_κ] = 1

2[J^κK_κλ⁻¹J^λ]−1

2[A^′_µK^µνA^′_ν] を得る．

■式(13.92)について 指示に従い式(13.86)を δ^µ_τ

∫ d⁴k

(2π)⁴e^{−ik·(x−x′′)}=

∫

d⁴x^′{−g^µνδ⁽⁴⁾(x−x^′)□x^′}

∫

Dντ(k) d⁴k

(2π)⁴e^{−ik·(x′−x′′)}

=−g^µν□x

∫

Dντ(k) d⁴k

(2π)⁴e^{−ik·(x−x′′)}

=

∫ d⁴k

(2π)⁴D^µ_τ(k)k²e^{−ik·(x−x′′)} と書き換えると，式(13.92):D^µν(k) =g^µν/k²を得る．

13.2.4自由なスピノル場

自由電磁場の生成汎関数の場合と同様の方法により，自由なスピノル場に対する経路積分表式(13.80a):

Z₀[σ,¯σ] = 1 N2

∫

Dψ¯Dψexp(iX[σ,σ])¯

が，正準形式における表式(12.110c):

Z₀[σ,σ] = exp (¯ −i[¯σS_Fσ]) に一致することを示した．

13.2.4について

■式(13.100)について 式(13.96)右辺第1項の被積分関数におけるψの引数xはx^′としても構わない．そ のように式(13.96)を修正した後，式(13.99)を代入すると

X[σ,¯σ] =

∫

d⁴xd⁴x^′ {

ψ¯^′(x) +

∫

d⁴y¯σ(y)K⁻¹(y, x) }

×K(x, x^′) {

ψ^′(x^′) +

∫

d⁴y^′K⁻¹(x^′, y^′)σ(y^′) }

+

∫ d⁴x

[{

ψ¯^′(x) +

∫

d⁴y¯σ(y)K⁻¹(y, x) }

σ(x) + ¯σ(x) {

ψ¯^′(x^′) +

∫

d⁴y^′K⁻¹(x^′, y^′)σ(y^′) }]

=[ ¯ψ^′Kψ^′] +

∫

d⁴xd⁴x^′d⁴y^′ψ¯^′(x)K(x, x^′)K⁻¹(x^′, y^′)σ(y^′) +

∫

d⁴xd⁴x^′d⁴y¯σ(y)K⁻¹(y, x)K(x, x^′)ψ^′(x^′) +

∫

d⁴xd⁴x^′d⁴yd⁴y^′σ(y)K¯ ⁻¹(y, x)K(x, x^′)K⁻¹(x^′, y^′)σ(y^′) +

∫

d⁴xψ¯^′(x)σ(x) + [¯σK⁻¹σ] +

∫

d⁴x¯σ(x)ψ^′(x) + [¯σK⁻¹σ]

となる．ここで式(13.98)を用いると，最右辺の2,3行目はそれぞれ−∫

d⁴xψ¯^′(x)σ(x),−∫

d⁴x^′σ(x¯ ^′)ψ^′(x^′) となり，4行目は−[¯σK⁻¹σ]となるので

X[σ,σ] = [ ¯¯ ψ^′Kψ^′] + [¯σK⁻¹σ]

を得る．これを生成汎関数の式(13.80a)に代入すると Z₀[σ,σ] = exp(i[¯¯ σK⁻¹σ]) 1

N₂

∫

Dψ¯Dψexp(i[ ¯ψ^′Kψ^′]) となる．規格化条件(13.80a)を考慮して式(13.100):

Z0[σ,σ] = exp(i[¯¯ σK⁻¹σ]) を得る．

■式(13.102)について 指示に従い式(13.98)を

−

∫ d⁴p

(2π)⁴e^{−ip·(x−x′′)}=

∫

d⁴x^′{δ⁽⁴⁾(x−x^′)(i/∂_x′−m)}

∫ d⁴p

(2π)⁴S(p)e^{−ip·(x′−x′′)}

=

∫ d⁴p

(2π)⁴S(p)(i/∂x−m)e^{−ip·(x−x′′)}

=

∫ d⁴p

(2π)⁴S(p)(/p−m)e^{−ip·(x−x′′)} と書き換えると，式(13.102):S(p) =−1/(/p−m)を得る．

ドキュメント内 【PDF】F.マンドル/Gショー『場の量子論 第2巻 素粒子の相互作用』 (ページ 34-39)