Higgs モデル

■σとηで表したLagrangian密度(18.11)について (∂^µϕ^∗)(∂µϕ) =1

2{∂^µ(σ+iη)}{∂µ(σ−iη)}

=1

2(∂^µσ)(∂µσ) +1

2(∂^µη)(∂µη), V(ϕ) =1

2{(v+σ)²+η²} [

µ²+1

2λ{(v+σ)²+η²} ]

(∵|ϕ|²= (v+σ)²+η²)

=1

2{(v+σ)²+η²}1

2λ{(v+σ)²+η²−2v²} (∵µ²=−λv²)

=1

4λ(v²+ 2vσ+σ²+η²)(−v²+ 2vσ+σ²+η²)

=1

4λ{(2vσ+σ²+η²)²−v⁴}

=1

2(2λv²)σ²−λvσ(σ²+η²) +1

4λ(σ²+η²)²−1 4λv⁴

と変形し，V(ϕ)の計算の最右辺において定数項−¹₄λv⁴を落とせば，Lagrangian密度の式(18.11)を得る．

によってその周りの摂動σ(x), η(x)(ともに実場)を導入すると，HiggsモデルのLagrangian密度は L=1

2(∂^µσ)(∂_µσ)−1

2(2λv²)σ²−1

4F_µνF^µν+1

2(qv)²A_µA^µ−1

2(∂^µη)(∂_µη) +qvA^µ∂_µη+ (相互作用項) と書き換えられる．ただし定数項は省いた．また場の2次の項を自由場項と見なし，場の3次以上の項を相互 作用項に含めた．この結果を解釈する前に，次の問題を解消しなければならない．すなわち

• ^{自由場項に双}1次項A^µ∂µηが現れることは，Aµとηが独立な場ではないことを示唆している．

• 初めは質量のないベクトル場Aµを考えており，その独立な自由度は光子と同様に2であるのに対し，

書き換えられたLagrangian密度には質量項¹₂(qv)²AµA^µが現れるので，

ゲージ場は3つの偏極状態を持つ(16.3節)．

このように自由度が見かけ上1つ増えていることは，

書き換えられたLagrangian密度が非物理的な場を余計に1つ含んでいることを意味している．

実際スカラー場η(x)は非現実的なゴースト場であり，［そのことを反映して，］局所的なU(1)ゲージ変換を 利用して場

ϕ(x) = 1

√2{v+σ(x) +iη(x)}

の位相を調節すれば，その虚部η(x)を消去することができる．このような場η(x)の現れないゲージは ユニ タリーゲージ と呼ばれ，このゲージにおいてHiggsモデルのLagrangian密度は

L= 1

2(∂^µσ)(∂_µσ)−1

2(2λv²)σ²−1

4F_µνF^µν+1

2(qv)²A_µA^µ+ (相互作用項) と表される．これが本節の最終的な結果である．

以上で見たことは次のようにまとめられる．すなわち理論のゲージ不変性を損なうことなくゲージ場A_µは 質量を獲得し，これに伴ってゲージ場の自由度は2から3に増大する．このような現象を Higgs機構 と呼

ぶ．一方Goldstoneモデルにおける，目障りな質量ゼロのη粒子は，Higgsモデルにおいてはゲージ不変性

を根拠に消し去ることができる．ゲージ場Aµの獲得した第3の自由度は，もともとはこの場η(x)が持って いた自由度に他ならない：

複素 スカラー場 ϕ(x), ϕ^∗(x) (↔σ(x), η(x)) (自由度2) + 質量のない 実ベクトル場 Aµ(x) (自由度2)

↓

実 スカラー場 σ(x) (↔Higgsボゾン) (自由度1) + 質量を持つ 実ベクトル場 A_µ(x) (自由度3)．

最後にこの理論の繰り込み可能性について言及する．質量を持つ中性ベクトルボゾン場の伝播関数はW ボ ゾンの伝播関数(16.30)と同じ形

iD_F^αβ(k, m) = i(−g^αβ+k^αk^β/m²) k²−m²+iε

を持ち，これはk^αk^β/m²の項のために見かけ上，ループ積分の発散を引き起こす．ところが実際には自発的 に対称性を破っているゲージ理論では，実際の発散は見かけの次数よりも弱まり，理論は繰り込み可能とな る．このことを簡単に理解するには，’t Hooft［ト・フーフト，p.407参照］ゲージ

∂µA^µ−mη= 0

の下でLagrangian密度に

−1

2(∂_µA^µ−mη)²

を付け加えれば良い．(したがって再びη(x)場が導入されることになる．)するとLagrangian密度からη(x) とA_µ(x)の結合した双1次項が除かれるため，σ(x), η(x), A_µ(x)のそれぞれを独立な自由場と見なして量子 化を行うことが許される．そして場A_µ(x)を量子化すると，伝播関数として

iD^αβ_F (k, m) = −ig^αβ k²−m²+iε

が得られることを証明し得る．この’t Hooftの結果では伝播関数に発散を起こす項k^αk^β/m²が現れないた め，理論の繰り込み可能性が明白である．

18.2 について

■Lagrangian密度(18.17)について Lagrangian密度(18.15)において，共変微分はD^µϕ^∗ではなく(D^µϕ)^∗ として含まれていることに注意する．

(D^µϕ)^∗(Dµϕ) =1

2{(∂^µ−iqA^µ)(v+σ−iη)}{(∂µ+iqAµ)(v+σ+iη)}

=1

2[{∂^µ(σ−iη)}{∂µ(σ+iη)} +{∂^µ(σ−iη)}iqA_µ(v+σ+iη)

−iqA^µ(v+σ−iη)∂µ(σ+iη)

−(iq)²A^µAµ{(v+σ)²+η²}]

=1

2{(∂^µσ)(∂_µσ) + (∂^µη)(∂_µη)}+qvA^µ∂_µη+1

2(qv)²A_µA^µ+ (相互作用項)

なので，微分の共変部分への置き換えによってGoldstoneモデルのLagrangian密度(18.11)に対する付加的 な自由場項は

qvA^µ∂µη+1

2(qv)²AµA^µ である．

■「質量を持つ実ベクトル場A^µ(x)」(p.488，l.3)，「A_µ(x)は質量|qv|^」(p.488 下から2 行目)について Lagrangian密度の自由場項の表式(18.17)，(18.19b)を，質量を持つ自由な複素ベクトル場のLagrangian密 度(16.21)と比較する．「式(17.19b)［正しくは式(18.19b)］の2行目は，質量を持つ中性ベクトルボゾン場 のラグランジアン密度と同じであ」(p.489，l.22,23)る．

■場A^µの運動方程式(18.27)について Lagrangian密度(18.26)において場A^µを記述する項は

−1

4FµνF^µν+1

2m²AµA^µ−1

2(∂µA^µ)²

であり，第1項と第3項はQEDのLagrangian密度(5.10):−¹₂(∂νAµ)(∂^νA^µ)と等価である(p.490脚注4)． よってこれは全体として，Klein-Gordon場のLagrangian密度と類似の形

1

2{(∂νAµ)(∂^νA^µ)−m²AµA^µ}

と等価である．なお，場の方程式(18.27)自体はProca方程式(16.18)と変わらない．

■η場に対応する 幽霊粒子 と縦波・スカラー光子の類似性(最終段落)について このような幽霊(ゴース ト)粒子を我々はQCDにおいても見ている．(QCDのゴーストへの言及がないのは，QCDに関する章が第 2版において後から追加されたためであると想像される(訳者あとがき参照)．)