非線形分極

電磁波（光）と物質の相互作用で分極が生じる。分極は物質中の原子（分子、イ オン）の電気双極子である。電磁波の周波数で周期的に振動する。つまり、強制振 動の周波数は電磁波の周波数と同じである。電気双極子の振動で電磁放射が生じる。

入射光強度が弱いとき、分極P は入射光電場Eとは線形的な関係すなわち比例す る。しかし、レーザーの誕生に伴い、光高調波発生、和周波発生、差周波発生など の現象が次々と観察された。これらの現象を解釈するためには、分極P と入射光電 場Eは線形的な関係の代わりに、電場Eはべき級数に展開して分極P を記述する.  マックスウエル方程式における電気変位D磁束密度Bは

D=ε(E)E , B=µ(H)H (2.24)

の非線形な特性が当初から知られて、誘電率εは電場Eの関数、透磁率µは磁場 Hの関数となっている。非線形材料の分極P は電場Eのべき級数に展開して記述 される。例えば、単純な電気双極子では

P =P⁽¹⁾+P⁽²⁾+P⁽³⁾+· · ·

=ε0

(↔

χ⁽¹⁾E+^↔χ⁽²⁾ :EE+^↔χ⁽³⁾...EEE+· · ·

) (2.25)

第一項の^↔χ⁽¹⁾は線形の電気感受率を、第二項の^↔χ⁽²⁾は2次の電気感受率であり、最 も低次の非線形電気感受率と定義されている。光の強度が弱いとき、光学的な非線 形効果は小さいから、実験的には発見しにくかった。レーザーの誕生後は、高強度 の光源を用いて非線形効果を実験で観測できるようになった。

 さて、2次の電気感受率^↔χ⁽²⁾について考えてみよう。^↔χ⁽²⁾は3階のテンソルであ る。成分の数は27個あり、次のように書ける。

↔χ⁽²⁾ =







χ_xxx χ_xxy χ_xxz χ_yxx χ_yxy χ_yxz χ_zxx χ_zxy χ_zxz

χ_xyx χ_xyy χ_xyz χ_yyx χ_yyy χ_yyz χ_zyx χ_zyy χ_zyz

χ_xzx χ_xzy χ_xzz χ_yzx χ_yzy χ_yzz χ_zzx χ_zzy χ_zzz





 (2.26)

 反転対称性を持った場合ではゼロになる。反転対称性が破れた結晶においては2 次の電気感受率テンソル^↔χ⁽²⁾の非ゼロ成分は、圧電率テンソルの非ゼロ成分と同じ である。

 また、2次の非線形分極は

P⁽²⁾ =ε₀^↔χ⁽²⁾ :EE (2.27) と書ける。右辺を展開すると

P_i⁽²⁾ =ε₀^↔χ⁽²⁾ :EE = ε₀ ∑

j,k=x,y,z

χ⁽²⁾_ijkE_jE_k

= ε₀χ⁽²⁾_ixxE_xE_x+ε₀χ⁽²⁾_ixyE_xE_y+ε₀χ⁽²⁾_ixzE_xE_z+ ε₀χ⁽²⁾_iyxE_yE_x+ε₀χ⁽²⁾_iyyE_yE_y+ε₀χ⁽²⁾_iyzE_yE_z+ ε₀χ⁽²⁾_izxE_zE_x+ε₀χ⁽²⁾_izyE_zE_y+ε₀χ⁽²⁾_izzE_zE_z

(2.28)

となる。非線形分極P⁽²⁾の一つの方向についてP_i⁽²⁾は9つの成分の和となる。非

線形分極P⁽²⁾のx、y、z成分を全部書くと





 P_x Py

P_z





=ε₀





























χ⁽²⁾xxxExEx+χ⁽²⁾xxyExEy+χ⁽²⁾xxzExEz+ χ⁽²⁾xyxE_yE_x+χ⁽²⁾xyyE_yE_y +χ⁽²⁾xyzE_yE_z+ χ⁽²⁾xzxE_zE_x+χ⁽²⁾xzyE_zE_y+χ⁽²⁾xzzE_zE_z

χ⁽²⁾yxxE_xE_x+χ⁽²⁾yxyE_xE_y +χ⁽²⁾yxzE_xE_z+ χ⁽²⁾yyxEyEx+χ⁽²⁾yyyEyEy+χ⁽²⁾yyzEyEz+ χ⁽²⁾yzxE_zE_x+χ⁽²⁾yzyE_zE_y+χ⁽²⁾yzzE_zE_z

χ⁽²⁾zxxE_xE_x+χ⁽²⁾zxyE_xE_y +χ⁽²⁾zxzE_xE_z+ χ⁽²⁾zyxE_yE_x+χ⁽²⁾zyyE_yE_y+χ⁽²⁾zyzE_yE_z+ χ⁽²⁾zzxEzEx+χ⁽²⁾zzyEzEy +χ⁽²⁾zzzEzEz





























(2.29)

になる。しかし、j、kを入れ換えても同じ物理的意味をもつ場合（例えば、二次高 調波発生）、jkの成分とkjの成分は重複する。つまり、χ⁽²⁾_ijk =χ⁽²⁾_ikjである。このと き、27個の成分から18個の独立な成分になる。

 非線形分極は媒質の対称性に依存する。反転対称性のある媒質において、電場を 反転したら分極も反転して生じる。従って、2次の非線形分極P⁽²⁾は

P⁽²⁾ = ε₀^↔χ⁽²⁾ :EE (2.30)

−P⁽²⁾ = ε₀^↔χ⁽²⁾ : (−E) (−E) (2.31) となる。電場は反転しても物質は変化しないから、P⁽²⁾ =−P⁽²⁾となり、^↔χ⁽²⁾＝０ でなければならない。ゆえに、2次（一般に偶数次）の非線形分極は反転対称性の ない物質にのみできる。