計算結果

tight-binding

近似を用いて最適化したグラフェンのボンド長は

a c-c = 1 .41538 ˚ A

であっ た．次にグラフェンの最適化構造であるシリンダー構造を初期値として

SWNT

の構造最適化 計算を行った．その計算結果を以下に示す．

a)

過去の研究との比較

Fig. 4.8(a)

に，

tight-binding

近似を用いた

SWNT

の半径，カイラル角，並進ベクトルの 構造最適化の結果を表す．最適化計算は

Brenner

と同じく直径が

3.9 ˚ A

から

30 ˚ A

の全ての

SWNT

について行われている．また

Fig. 4.8(b)

に，比較として

Popov

の結果を再掲する．

(a) (b)

0 0.05 0.1

−0.3

−0.2

−0.1 0

5 10 15

−0.02

−0.01 0

Radius [Å]

∆R [Å]∆T[Å]∆θ[rad]

Fig. 4.8: Difference of radius ∆R, length of translation vector ∆T, and chiral angle

∆θ between cylindrical structure and optimized structure. (a) is calculated with Tang’s

environment-dependent tight-binding method, (b) is Popov’s result (same as Fig. 4.1(a)).

4.3. tight-binding

近似による構造最適化

65 tight-binding

近似での計算結果は

Brenner

の計算結果と違い，

Popov

の結果に傾向がよく 似ており，全体的に

SWNT

半径が大きくなり，

SWNT

軸方向の並進ベクトルの長さが短く なっている．半径が大きくなるのは

Brenner

の項で説明した通り，グラフェンのシートを丸 めた際に生じる歪みを，半径を大きくすることで軽減しようとしている，と考えることがで きる．

カイラル角は全体的に小さくなっているが，これは

∆R

と

∆T

の傾向から説明を与えるこ とができる．

SWNT

は半径

∆R

が大きくなり軸方向長さ

∆T

が小さくなっている．

Fig. 1.3

において半径に伸ばし，軸方向を縮めるとグラフェンの基本格子ベクトル

a

₁

, a

₂のなす角が 小さくなるよう変形する．それに従いカイラル角も全体的に小さくなったものであると考え られる．なお，

∆θ = 0

^◦の点が

zigzag SWNT

であることは

Brenner

計算の考察で説明した 通りである．

Fig. 4.8(a)

の各グラフには

Fig. 4.8(b)

と違って，点列に一定のパターンが見られるが，こ れは最適化計算が

Popov

の計算より上手く収束しているために，カイラル指数間の関係が表 れたものであると考えられる．

Fig. 4.9

に

zigzag SWNT

のボンド長の変化とボンドのなす角についての計算結果を示す．

この結果は

Fig. 4.1(b), (c)

の

Kanamitsu

らによる

LDA

の研究と比較することができる．

(a) (b)

0 0.02 0.04 0.06

−0.02 0 0.02

d−d0 [Å]

1/d_t² [Å⁻²] d1

d2

0 0.02 0.04 0.06

112 116 120

1/d_t² [Å⁻²] θ₁

θ₂

Bond angle [deg]

Fig. 4.9: Difference of (a) bond length and (b) bond angle of zigzag SWNT.

ボンド長の変化が

LDA

に比べ

1.5

倍程度小さいものの大体の傾向は

LDA

の結果と合って いる．またボンドのなす角の結果は

LDA

とよく一致している．これは，

tight-binding

近似 の構造最適化が

LDA

の構造最適化計算とよく一致する結果となる，という

Popov

の考察

[29]

にもよく対応している．

Fig. 4.9

において，点が

3

つおきに点列からずれた場所にあるが，これは

mod 1

，すなわち

n − m

を

3

で割った余り

1

の

SWNT

であり，

mod

依存性が表れていると考えられる．しかし

Fig. 4.1(b), (c)

の

Kanamitsu

らの

LDA

の結果にはそれが見られないという違いも存在する．

4.3. tight-binding

近似による構造最適化

66 b)

ボンド長の変化の結果

0 10 20 30

−0.002 0 0.002

Chiral angle [deg]

ξn × dt2 [nm2 ]

ξ₁ ξ₂

ξ₃

ξ₁ ξ₂ ξ₃

Fig. 4.10: Change of SWNT bond length from graphene plotted against chiral angle.

Fig. 4.10

に

SWNT

の

3

種類のボンドの長 さの変化

ξ

_nの，カイラル角に対する分布を 示す．

ξ

_nは

Eq. (4.1)

によって規格化された ボンド長の変化である．

n = 1, 2, 3

の区別 は

Brenner

と同じく

Fig. 4.4

の図に対応して いる．

これは

Brenner

ポテンシャルによる最適化

の結果

Fig. 4.5(a)

とは大きく異なっている．

また，各ボンド長の変化

ξ

_nが

3

本のライン に分裂していることが分かるが，これは

mod

による効果であると考えられる．

次に

SWNT

の軸方向と各ボンドとのなす 角度を横軸とした図を

Fig. 4.11(a)

に，また それを

mod

ごとに分類した図を

Fig. 4.11(b)

に示す．

Fig. 4.11(b)

より分裂している

3

本 のラインは

mod

による影響であることがわ かる．

mod

はカッティングラインが

K

点付近

を通る通り方が異なるために発生する，逆格子を考慮して初めて現れる分類なので，

Brenner

による幾何学的な計算だけでは表れず，電子状態を考慮した

tight-binding

近似で初めて表れ る効果である．また

Fig. 4.11(b)

のグラフにおいて金属

SWNT

のラインが真ん中に

1

本あっ て，

mod 1

と

mod 2

の半導体

SWNT

のラインが上下に分裂している格好であるが，

30

^◦以 下と

30

^◦以上では上下関係が逆転していることが分かる．

(a) (b)

0 30 60 90

−0.002 0 0.002

Angle From Translation Vector [deg]

ξn × dt2 [nm2 ]

ξ₁ ξ₁

ξ₂ ξ₃ ξ₃ ξ₂

0 30 60 90

−0.002 0 0.002

Angle From Translation Vector [deg]

ξn × dt2 [nm2 ]

Metal Mod1 Mod2

Fig. 4.11: Change of SWNT bond length from graphene plotted against the angle between

each bond and translation vector.

4.3. tight-binding

近似による構造最適化

67

ドキュメント内 蜊伜ｱ､繧ｫ繝ｼ繝懊Φ繝翫ヮ繝√Η繝ｼ繝悶髮ｻ蟄舌蜈牙ｭｦ迚ｩ諤ｧ縺ｫ蜿翫⊂縺呎峇邇蠖ｱ髻ｿ (ページ 64-67)