計算結果

Brenner

ポテンシャルを用いて最適化した，グラフェンのボンド長は

a c-c = 1 .4195[˚ A]

で あった．ゆえに，

Eq. (2.21)

〜

Eq. (2.23)

に

a c-c = 1 .4195[˚ A]

を代入して計算されるベクトル

a

₁

, a

₂

, a

_Bを用いることで，グラフェンの最適化構造を再現することができる．

グラフェンの最適化構造におけるベクトル

a

₁

, a

₂

, a

_Bを

Eq. (2.27)

〜

Eq. (2.29)

に代入する ことで，

SWNT

の最適化構造に近い構造を再現することができる

(

以下，これをシリンダー 構造と呼ぶ

)

．しかし，実際の

SWNT

の構造最適化は曲率の影響によって，シリンダー構造 から微妙に変形する．

a)

過去の研究との比較

Fig. 4.2

に，

Brenner

ポテンシャルを用いた

SWNT

の半径，カイラル角，並進ベクトルの構 造最適化の結果を表す．最適化計算は直径が

3.9 ˚ A

から

30 ˚ A

の全ての

SWNT

について行わ れている．また，全てのグラフは最適化構造のシリンダー構造からの変化量で表されている．

SWNT

半径の変化量

∆R

のグラフにおいて，全ての

SWNT

は半径が大きくなっているこ とが分かる．このことは，グラフェンのシートを丸めた際に生じる歪みを半径を大きくするこ とで軽減しようとしている，と考えれば妥当な結果である．また，半径の変化量

∆R

の点列 に一定のパターンを見ることができる．これは最適化計算が上手く収束しているために，カ イラル指数間の関係が表れたものであると考えられる．

SWNT

並進ベクトルの長さの変化量

∆T

はほとんどが正の値であることから，構造最適化 によりほとんどの

SWNT

が軸方向に伸びることが分かる．しかし一部の

SWNT

では軸方向 に縮むものもある．

∆T

は

∆R

と違い，分布に規則性を見ることができない．これは，並進 ベクトルの計算式

Eq. (1.5)

にカイラル指数の

n

と

m

の最大公約数である

d

_Rが入っているた め，もとの長さ

T

自体が直径に比例していないことが原因であると考えられる．

SWNT

のカイラル角の変化量

∆θ

は全てがゼロか負の値である．ここでカイラル角の変化 がないのはカイラル指数

(n, 0)

で表される

zigzag SWNT

であるが，その原因はカイラル角の 求め方に起因すると考えられる．カイラル角はカイラルベクトル

C

_hと基本格子ベクトル

a

₁ のなす角であるが，

zigzag SWNT

ではカイラルベクトル

C

_hが

a

₁の整数倍になる．そのた め，どのような構造になっても常に

0

^◦であり，カイラル角の変化量は常に

0

となるのである．

Fig. 4.1(a)

の

Popov

による

tight-binding

近似の構造最適化の結果は

Brenner

ポテンシャ ルにより計算された結果とは大きく異なり，

∆T

が全て

0

か負の値であり，また

∆θ

は傾向が 似ているものの大きさがかなり異なる

(

ただし

Fig. 4.1(a)

において

∆θ = 0

^◦の点がないのは，

単純に

∆θ

だけ

zigzag SWNT

の結果がプロットされていないだけである

)

．古典的な

Brenner

4.2. Brenner

ポテンシャルによる構造最適化

59

ポテンシャルと量子計算である

tight-binding

近似の違いを考慮すると，これらの差異はある 程度許容できるものであるが，ボンド長などの細かい構造が全く異なった傾向を示している 可能性も示唆している．いずれにせよ，

Fig. 4.2

と

Fig. 4.1 (a)

の比較のみでは

Brenner

ポテ ンシャルの是非を議論することは不可能である．それゆえ，

Brenner

ポテンシャルによる構 造最適化の考察をさらに進める．

0 0.02 0.04 0.06 0.08

0 0.1 0.2

5 10 15

−0.006

−0.004

−0.002 0

Radius [Å]

∆ R [Å] ∆ T[Å] ∆θ [rad]

Fig. 4.2: Difference of radius ∆R, length of translation vector ∆T , chiral angle ∆θ between

cylindrical structure and optimized structure. It is calculated with Brenner potential.

4.2. Brenner

ポテンシャルによる構造最適化

60 b)

ボンド長の変化の結果

Fig. 4.3

に

SWNT

の

3

種類のボンドの長さの変化の割合

ξ

_nの，

SWNT

直径に対する分布 を示す．

ξ

_nは

SWNT

のボンド長

r

_n

,

グラフェンのボンド長

r

^Gを用いて以下の式により計算 した．また，

n = 1, 2, 3

はそれぞれ

Fig. 4.4

の図に対応し，

ξ

₁が

SWNT

軸方向に一番近いボ ンド，

ξ

₃が

SWNT

円周方向に一番近いボンドを表している．

ξ

_n

= r

_n

− r

^G

r

^G

(n = 1, 2, 3) (4.1)

1 2 3

0 0.005 0.01 0.015

Tube diameter [nm]

Change ratio of bond length [−]

ξ1

ξ2

ξ3

Fig. 4.3: Change of bond length ξ

_n

calculated with Brenner potential.

Fig. 4.4: The relation of the subscripts n = 1, 2, 3 of ξ

_n

and the direction of each bond.

4.2. Brenner

ポテンシャルによる構造最適化

61 SWNT

ボンド長のグラフェンからの変化は

Fig. 4.1(b)

に示す通り，

1/d

_t²の直径依存性が ある．そこで

ξ

_n

× d

_t²を計算し，カイラル角に対してプロットしたものを

Fig. 4.5 (a)

に示す．

図において，

3

本のラインができていることから

ξ

_nには強い

1/d

_t²依存性があることが分か り，

ξ

_n

> 0

であることから

3

つのボンド全てがグラフェンより伸びていることが分かる．

(a) (b)

0 10 20 30

0.001 0.002

Chiral angle [deg]

ξn × dt2 [nm2 ]

ξ₁ ξ2

ξ3

0 30 60 90

0.001 0.002

Angle from translation vector [deg]

ξn × dt2 [nm2 ]

ξ₁

ξ₂

ξ₃

Fig. 4.5: Change of bond length ξ

_n

plotted against (a) chiral angle and (b) angle from translation vector. Each ξ

_n

is calculated with Brenner potential.

Fig. 4.5(a)

における

ξ

_n

× d

_t²の

3

つのラインは

1

本に繋がっているように見える．それゆ

え

Fig. 4.5(b)

に示す通り，

3

つのラインを

1

つに展開することを考える．このとき，横軸は

SWNT

の軸方向と各ボンドとのなす角度

θ

_nであるとすればよい．このとき

θ

_nとカイラル角

θ

_chは

Fig. 4.4

より以下の関係があることが分かる．

θ

₁

= θ

_ch

, θ

₂

= 60

^◦

− θ

_ch

, θ

₃

= 60

^◦

+ θ

_ch

Fig. 4.5(b)

によると，

SWNT

では円周方向に近いボンドほど伸びが大きいことが分かる．

4.2. Brenner

ポテンシャルによる構造最適化

62

ドキュメント内 蜊伜ｱ､繧ｫ繝ｼ繝懊Φ繝翫ヮ繝√Η繝ｼ繝悶髮ｻ蟄舌蜈牙ｭｦ迚ｩ諤ｧ縺ｫ蜿翫⊂縺呎峇邇蠖ｱ髻ｿ (ページ 58-62)