結言

2nd 2.13 2.19 2.00 3rd 2.66 3.05 2.77

表D.4 MAC値(同定結果と解析値) Order Initial Estimated

1st 0.770 0.800 2nd 0.870 0.853

3rd 0.934 0.958

付録 E 条件数に関する定理

3.3.6項で述べた，行列Hの条件数とH^-1もしくはH⁺の条件数が等しくなることについて，

ここで証明する．

(1) Hが正方行列の場合 Hを固有値分解すると

[ ][ ][ ] Φ Λ Φ

^H

=

H

(E.1)

ここで[Λ]は対角成分に固有値が並ぶ行列で，Hの条件数は次式で得られる．

( ) λ λ

_m

κ H =

₁ (E.2)

ここでλ₁はHの最大固有値，λ_mはHの最小固有値である．

そしてHの逆行列は次式で表される．

[ ][ ] [ ]

^{1 H}

1

= Φ Λ

⁻

Φ

H

− (E.3)

[Λ]は対角行列なので，[Λ]⁻¹は以下の様に表される．

[ ]

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

= Λ ⁻

λ

m

λ

1 1 ₁

1 O ^(E.4)

ただし，Hの最大固有値は1/λ_m，最小固有値は1/λ₁なので，H^-1の条件数は次式となり，H の条件数に等しい．

( ) H κ ( ) H λ

λ λ

κ

⁻

= λ = =

m

m 1

1 1

1

1

(E.5)

(2) Hが長方行列（縦長）の場合 Hを特異値分解すると

(E.6)

[ ] [

^H

1 H

m 1

n

1

v v

0 u

u V S U

H O L

L

⎥ ⎥

⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎢ ⎢

⎣

⎡

=

=

s

m

s

]

ここで最大特異値s₁，最小特異値s_mを用いてHの条件数は次式で得られる．

( ) H = s

₁

s

_m

κ

(E.7)

そしてHの擬似逆行列は次式で表される．

[ ] [ ]

^H

1

1 1

n 1

m

1

u u

0 v

v

H O L

L

⎥ ⎥

⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎢ ⎢

⎣

⎡

+

=

s

m

s

(E.8)

ただし，H の最大特異値は 1/s_m，最小固有値は 1/s₁なので，H⁺の条件数は次式となり，H の条件数に等しい．

( ) H κ ( ) H

κ

⁻

= = =

m m

s s s

s

₁

1 1

1

1

(E.9)

付録 F H

_v

推定法による動質量推定

構造物の実験モード解析において，多点加振を行なうのは系の正確な特性を把握するた めに必要であり，多点入力のFRF推定法にはいくつかの方法が知られている^[56]．ここでは，

入力信号と出力信号の両方の予測誤差を最小化することで動質量を推定する手法（H_v 推定 法）について述べる．

次式で表される動質量行列Gについて考える．

x y

G =

(F.1)

G ： 動剛性行列（m x n）

y ： 変位応答のフーリエスペクトルベクトル（n x 1）

x ： 加振力のフーリエスペクトルベクトル（m x 1）

( ) ( )

( )

( )N ^{i i i}

N i

i

x x

g Y x g y

y

=

⇔

⎥ ⎥

⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎢

⎣

⎡

⎪ =

⎭

⎪ ⎬

⎫

⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎧

T T 1 1

M

M

^(F.3)

Y ： 変位応答のフーリエスペクトル行列（N x n）

gi ： 動剛性行列のi行目から成るベクトル（m x 1）

xi ： N回の試行による加振力ベクトルのi行目から成るベクトル（N x 1）

計測において入力と応答に誤差が含まれると仮定し，式(F.3)に誤差スペクトルベクトル u と語誤差スペクトル行列Vを導入することで次式になる．

( )

_i

i

u Y V g

x − = −

(F.4)

ここで，入力信号と出力信号に含まれる誤差の総和μ

( ) ( )

2 2

,

∑

∑∑ ⁺

=

ⁿ

i i

n

i m

j

V

i j

u

μ

(F.5)

を最小にする動剛性giを求める．まず，次のスペクトル行列Gzzを定義する．

(F.6)

[ ]

_⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

=⎡

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

=⎡

i i

i i

i x Y f x

x Y Y x Y

x Y

G Y _H

i H

H H

H H zz

このとき，誤差 μ を最小にするg_iは，行列G_zzの最小固有値に対応する固有ベクトルを として，以下のように求められる．

φ1

(F.7)

{ } ⎭ ⎬ ⎫

⎩ ⎨

⎧

= −

1

1

c g

i

φ

ここで式 (F.6) において，複数の加振点を加振したときの入力と応答のスペクトル行列G_zz を平均化する．

⎥ ⎦

⎢ ⎤

⎣

= ⎡

⎥ ⎥

⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎢

⎣

⎡

⎥ ⎦

⎢ ⎤

⎣

= ⎡

i i i

i

ik i

ik i

k

x x Y x

x Y Y Y x

Y x Y x x

Y

G Y

_{H H}

H H

k 1 1 H H

1

H H

1

zz

k

1 k

1 M M

L

L

_(F.8)

動剛性は式 (F.7) と同様にして得られる．

Gzzには，異なる単位を持つ物理量が混在するため，適切なスケーリングを施す必要がある．

一般的には入力と応答に含まれる誤差の分散を等しくする方法が用いられる．

付録 G 平板加振試験におけるアクセレランス

2.5 節の平板を用いた加振試験で得られるアクセレランスを図 G.1に示す．ただし，6 点 の計測点における駆動点アクセレランスのみを記している．

図G.1 加振点1の駆動点応答アクセレランス

-180180-90900

Phase [deg.]

50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 10^-2

10⁰ 10² 10⁴

Frequency [Hz]

Gain [(m/s2)/N]

-180180-90900

Phase [deg.]

50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 10^-2

10⁰ 10² 10⁴

Frequency [Hz]

Gain [(m/s2 )/N]

-180180-90900

Phase [deg.]

50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 10^-2

10⁰ 10² 10⁴

Frequency [Hz]

Gain [(m/s2)/N]

-180180-90900

Phase [deg.]

50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 10^-2

10⁰ 10² 10⁴

Frequency [Hz]

Gain [(m/s2)/N]

-180180-90900

Phase [deg.]

50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 10^-2

10⁰ 10² 10⁴

Frequency [Hz]

Gain [(m/s2)/N]

-180180-90900

Phase [deg.]

50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 10^-2

10⁰ 10² 10⁴

Frequency [Hz]

Gain [(m/s2)/N]

図G.2 加振点2の駆動点応答アクセレランス

図G.3 加振点3の駆動点応答アクセレランス 図G.4 加振点4の駆動点応答アクセレランス

図G.5 加振点3の駆動点応答アクセレランス 図G.6 加振点4の駆動点応答アクセレランス

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第 1 章

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