災害がれき被害予測モデルの構築

5.1.1.

基礎方程式

本研究で構築 したがれ きの移動予測 モデルの 概要を示す．が れきの 挙動予測 モデルの運動 方程式を 示す．

ρ

_deb

V

_deb

du

_deb

dt =ρV

_deb

du

_f

dt +ρ(C

_M

-1)V

_deb(

du

_f

dt - du

_deb

dt

)

+ 1

2 ρC

_D

A

_deb(u_f

-u

_deb)|u_f

-u

_deb| - f_debb

-f

_debg

-f

_debk

(5.1)

斥力

底面摩擦力 流体力

浮力

斜面方向重力 がれき

重力

ここでu_dev

，

u_fはがれきの 速 度，水の流 速 ，ρ_deb，ρは，がれきの見か けの 密度 ， 水 の 密 度 ，

V

_debは 没 水 部 分 の が れ き の 体 積 ，

A

_debは 流 水 方 向 に 対 す る 没 水 部 分 の が れ き の 投 影 面 積

C

M

,C

D は 付 加 質 量 係 数 お よ び 抗 力 係 数 を 示 す ． ま た

f

_debb

，

f_debg

，

f_debk は が れ き が 受 け る 底 面 摩 擦 ， 重 力 成 分 ， が れ き 同 士 の 斥 力 である．底面 摩擦力と 重力成分は 以 下の式

(5.2)，(5.3)

となる．

f_debb

=μ

_deb(ρ_deb

-ρ)V

_deb

g cos

𝜃_𝑏 u_deb

|u_deb|

(5.2)

f_debg

=(ρ

_deb

-ρ)V

_deb

g sin θ

_𝑏

(5.3)

ここで，

μ

_deb はがれきに 作用する 摩擦 係数，

g

は重力加速度 ，𝜃_𝑏 は地形勾配 を示す．

抗 力 係 数 と 付 加 質 量 係 数 は ， 大 窪 ら （

2004）

¹¹⁾の 既 往 成 果 を 参 考 に し ，以 下の通り設定 した．

log C

_D

=

{

0.25-1.6 log F

_r

for h

_inun⁄

H <1.2 0.55-025 h

_inun⁄

H -1.6 log F

_r

for 1.2< h

_inun⁄

H <2.0

0.05-1.6 log F

_r

for 2.0< h

_inun⁄

H (5.4) C

_M

=1.15+1.15 tanh

_inun{(-2.0+2.5

h

_inun⁄ )π}

H

(5.5)

また，がれき 同士の斥 力については ，ばねモ デルを適用し がれきの 辺の長さと がれき間の重 心の差分 にバネ定数を 乗じた力 を斥力とし， すべての がれきの斥 力の和をf_debkとした．モデ ルの概念図を図 5.2に示す．

図 5.2 斥力の算定概 念図

y

x

がれき0

がれき2 がれき1

がれき2から受ける斥力 がれき1から受ける斥力

がれき0がうける斥力の和fk

5.1.2.

数値計算法

が れ き の 拡 散 に よ る ず れ は ， 拡 散 係 数𝜅0 を 満 足 す る 散 ら ば り と な る よ う に

(0,1)間の 一 様 乱 数 ξ用い て定 め る ．も し ， 時 刻 t

= 0に座 標

X

₀に 存在 し て い た が れきが座標

Xに 移動した ものとすると 式(5.6)

のように計算で きる．

X

_deb=

X

_deb0

+

∫u_deb

dt

t 0

+

∑ √24𝑘₀

∆t

(ξ_k

- 1 2

)

n

k=0

(5.6)

ここでX_deb

, X

_deb0

t=n∆tである．計算 は運動方程式 とがれき の座標算定式 を差分

化して行う ．式

(5.1)，(5.6)の差分式 は，kを時 間ステップ ，jをがれき につけた

番号とすると

u

_deb,j^k+1

= 1

1+μ

[(1-μ)u_deb,j^k-1

+2∆tα

(

du dt

)

j k

+2μu

_j^k

+γ]

(5.7) X

_j^k+1

= X

_j^k

+∆tu

_deb,j^k

+√24κ∆t

(ξ_j^k

- 1

2

)

(5.8)

ここで,μ,α,β,γは それぞれ,

μ =β∆tC

_D^Adeb

V_deb|u_deb

-u

_f| ,

α=

_ρdeb^CM

⁄ρ+C_M-1 ，

β=

¹

2(ρ_deb

⁄ρ+C_M-1)

, γ=-4βΔt

^{fdebb+fdebg+fdebk}

ρ𝑉_𝑑𝑒𝑏

である.

5.1.3.

地形勾配・摩擦係数の扱い

（1） 地形勾配

災害がれきの 運動方程 式（式

5.1～式 5.3）における 底面摩 擦と重力 成分 の地

形勾配

θ

bは， がれき 位置 座標とメ ッシュ の 水深・標高値 より算定 した ．

図 5.3 に算定の概念 図を示す．

x

方向 の勾 配を求める際 には，

x

方向の計算 格子のうち近 傍の２メ ッシュ の値か ら算定し た．がれき 位 置（黒星 印）が

i

メッ シュに含まれ ている場 合， がれき位 置が

i-1

寄りであれば

i

と

i+1

のメッシュ より算定し，i+1より であれば

i

と

i+1

のメッシュで算定 を行って いる ．また

y

方向について も同様に 近傍の２メッ シュの標 高・水深値か ら地形の 勾配を算定 している．

図 5.3 勾配算出の概 要

j+1

j

j-1

i-1 i i+1

計算格子と重心 がれき位置

x方向の地形勾配算定に 用いる計算格子

y方向の地形勾配算定に

用いる計算格子

（2） 静止・動摩擦 係数

通常 流水 中の 物 体は ， 図

5.4

に示 す とお り 流れ が大 きく な るに 従 って ， 底 面を滑る様に 移動する 滑動から回転 しながら 移動する 転動，転動か ら 水中を跳 ねるように移 動する 跳 動というよう に移動形 態が変化する．静止時 は静止摩擦 係数を，滑動 時は動摩 擦係数を与え る．地面 との接地時間 が短くな る転動や跳 動については ，流速の 関数で表現す る方法が 考えられる．

本モデルでは ，式(5.2)の底面摩擦項 の 摩擦係 数

μ

debは，流況に 応じ て変化す る 滑 動 ， 転 動 ， 跳 動 等 の 移 動 形 態 を 表 現 す る た め に ， 流 速 の 関 数 と な る 次 式

(5.10)で示される ． 同 式は菅原 ら

⁴²⁾の 研究 報告に基づき 設定した ．

μ

_deb

=μ

dyn

2.2

β

₀²

+2.2 (5.9)

β

₀²

= u

_deb²

(1-

ρ ρ

⁄ _deb)gH

(5.10)

こ こ で ，μ

dynは 動 摩 擦 係 数 ，

Hは が れ き の 代 表 ス ケ ー ル(本 研 究 で は が れ き の 高

さとしている

)を示 す ．

遅い流れ

速い流れ

さらに速い流れ

滑動移動

転動移動

跳動移動

図 5.4 流速と移動形 態の概念図

ドキュメント内 著者 小園 裕司 (ページ 119-124)