基礎方程式

一般的に津波 の波長は 数

km

から数 百

km

と ，海域の水深（ 数

m～ １ｋｍ程

度，平均水深

3.8km），に対して 非常に 長い ． 例えば， 気象庁 （ 2011）の報告

によれば ，

2011

年東北 地方太平洋沖 地震津波 の津波波源域 は南北方 向に

550km，

東西方向に

200km

で あり，海域の 平均水深 と比べて非常 に長かっ たことがわ かる．

こ の よ う に 水 深 に 対 し て 波 長 の 長 い 波 の 運 動 は 非 線 形 長 波 理 論 に よ っ て 表 すことができ る ．非線 形長波 理論で は，波高 と波長の比 ，及び ，水 深と波長の 比がいずれ も小さい も のとして導 かれる （ 長 波近似 ）．このと き， 圧力は静水 圧分布となり ，水平流 速 は鉛直方向 には一様 に分布する．海底から 水面までを 鉛直方向に積 分した 非 線形長波 理論 式 は次の ようになる．

【 連続の式 】

∂η

∂t + ∂M

∂x + ∂N

∂y =0 (3.1)

【 運動方程式 】

∂M

∂t + ∂

∂x

(

M

²

D

)

+ ∂

∂y

(

MN

D

)

+gD ∂η

∂x + gn

²

D

^{7 3⁄}

M

√

M

²

+N

² = 0

(3.2)

∂N

∂t + ∂

∂x

(

MN D

)

+ ∂

∂y

(

N

²

D

)

+gD ∂η

∂y + gn

²

D

^{7 3⁄}

N

√

M

²

+N

²

=0 (3.3)

ここに，x,y：水平座 標，

η：静水面からの 水位, ｇ

：重力加 速度 ，D：全水深

（＝静水 深

h+

水位

η），n：マニングの粗 度 係数，M,N： x ，ｙ

方 向の単位幅当 りの流量（＝ 水平流 速

u,v ×全水深 D）

なお，式

(3.2),(3.3)の中の非線形項 （第 2，3

項）は差分式で 表し た場合に

も運動量が保 存される ように，保存 系表示を とっている．

図

3.1 記号の説明

ただし，同 式は，海底 から水面まで を鉛直方 向に積分した モデルで あり，流 速は平均流速 を，圧 力 は静水圧とし て仮定し ている．そ のため ，鉛 直流れや鉛 直方向の流速 分布，ま た，動圧等 を求める こ とはできず ，これら に 起因する現 象（例え ば

3

次元的 な 流れが卓越す る場合） を対象とする ことはで きない．

市街地の津波 流れは現 象として

3

次 元的な 流れが生じる こともあ り，本来 であれば３次 元計算 を する必要があ る．しか しその 現象（

3

次元性 ）は局所的 であり，本研究 が対象 とする広域か ら市街地 における津波 伝播や遡 上浸水によ る浸水範囲や 津波高を 算定して比較 する場合 においては

, 2

次元の 計算で十分 であると考え られる ．

 (水位）

h (静水深）

u (流速）

uD M

X

3.2.2.

数値計算法

前節で述べた 基礎方程 式を，時間方向 につい ては

Leap-frog

法のス キームを 用 い て ， 空 間 方 向 に つ い て は ス タ ガ ー ド 格 子 を 用 い て 差 分 化 す る ．

Leap-frog

法では ，下式 に示 すよ うに水位

η，流 量 M，N

の計算 点を 空間 ，時間 的に

1

／2 格子分ず らして配 置す る（図

3.2，図 3.3

参照）．以下 の差分 式の表示で は ， 座 標 （x，y，

t） に 対 応 す る 離 散 化 量 を 表 す 添 字 と し て （ i，j，k） を 用 い

る ． 連 続 の 式

(3.1)の 差 分 式 を 考 え る と 中央 差 分 を 用 い て 式 (3.4)

～(3.6)の よ う になる．

∂η

∂t = 1

Δt (η

_i,j^k+1

-η

_i,j^k

) (3.4)

∂M

∂x = 1

Δx (M

_i+1/2,j^k+1/2

-M

_i-1/2,j^k+1/2

) (3.5)

∂N

∂y = 1

Δy (N

_i,j+1/2^k+1/2

-N

_i,j-1/2^k+1/2

) (3.6)

k

時点 での水位 ，

k+1/2

時点での線流 量

M ， _N

が既知で あるとす ると，次 に求めるべ き

k+1

時点 での水位 は式

(3.7)

のようになる．

η

_i,j^k+1

=η

_i,j^k

- Δt

Δx (M

_i+1/2,j^k+1/2

-M

_i-1/2,j^k+1/2

)- Δt

Δy (N

_i+1/2,j^k+1/2

-N

_i-1/2,j^k+1/2

) (3.7)

次 に ，

x

方 向 の 線 形 長 波 の 運 動 方 程 式(3.2)に つ い て は ， 点 （

i+1/2，j， k）

を中心に考え ると，k－1/2 時点での線流 量

M

^ｋ-1/2，ｋ時 点での 水位

η

^kより，

次に求め る

k+1/2

時点 での線流 量

M

^ｋ+1/2は 式

(3.8)のようになる．

M

_i+1/2,j^k+1/2

=M

_i+1/2,j^k-1/2

-gD

_i+1/2,j^k

Δt

Δx (η

_i+1,j^k

-η

_i,j^k

) (3.8)

D

_i+1/2,j^k

=h

_i+1/2,j

+ 1

2 (η

_i+1,j^k

+η

_i,j^k

) (3.9)

同様に，

y

方向 の運動 方程式(3.3)は，

N

_i+1/2,j^k+1/2

=N

_i+1/2,j^k-1/2

-gD

_i+1/2,j^k

Δt

Δy (η

_i,j+1^k

-η

_i,j^k

) (3.10)

D

_i,j+1/2^k

=h

_i,j+1/2

+ 1

2 (η

_i,j+1^k

+η

_i,j^k

) (3.11)

Leap-frog

法で は式(3.7)，

(3.8)及び(3.10)

を時間ステップ

△ t

毎に 交互に解く ことにより， 線形長波 の計算 を行う ．

非 線 形 長 波 理 論 式 に お い て は ， 計 算 の 安 定 性 を 確 保 す る た め に 移 流 項 （ 式

(3.2)，(3.3)の第 2

項 ，第

3

項 ）の取り 扱 いに風上差分 を用い， 運動方程式の

差分式は次の ように表 される．

𝑀𝑖+12,𝑗 𝑘+12 = 𝑀

𝑖+12,𝑗 𝑘−12 −𝛥𝑡

𝛥𝑥 [

λ₁₁

(𝑀𝑖+32,𝑗 𝑘−12)

2

𝐷𝑖+32,𝑗

𝑘−12 + λ₂₁

(𝑀𝑖+12,𝑗 𝑘−12)

2

𝐷𝑖+12,𝑗

𝑘−12 + λ₃₁

(𝑀𝑖−12,𝑗 𝑘−12)

2

𝐷𝑖−12,𝑗 𝑘−12

]

−𝛥𝑡 𝛥𝑦 [

β₁₁

(𝑀𝑖+12,𝑗+1 𝑘−12 ∙ N

𝑖+12,𝑗+1 𝑘−12 )

𝐷𝑖+12,𝑗+1

𝑘−12 + β₂₁

(𝑀𝑖+12,𝑗 𝑘−12 ∙ N

𝑖+12,𝑗 𝑘−12 )

𝐷𝑖+12,𝑗 𝑘−12

+ β₃₁

(𝑀𝑖+12,𝑗−1 𝑘−12 ∙ N

𝑖+12,𝑗−1 𝑘−12 )

𝐷𝑖+12,𝑗−1 𝑘−12

]

−𝛥𝑡 𝛥𝑥g𝐷

𝑖+12,𝑗

𝑘 (𝐻_𝑖+1,𝑗^𝑘 − 𝐻_𝑖,𝑗^𝑘)

− Δt 𝑔𝑛² (𝐷𝑖+12,𝑗

𝑘−12)

7/3

(𝑀𝑖+12,𝑗 𝑘+12 + M

𝑖+12,𝑗 𝑘−12 )

2 √(𝑀

𝑖+12,𝑗 𝑘−12)

2

+ (𝑁𝑖+12,𝑗 𝑘−12)

2

(3.12)

𝑁𝑖,𝑗+1 2 𝑘+1

2 = 𝑁

𝑖,𝑗+1 2 𝑘−1

2 −𝛥𝑡 𝛥𝑥 [

λ₁₂

(𝑀𝑖+1,𝑗+1 2 𝑘−1

2 ∙ N

𝑖+1,𝑗+1 2 𝑘−1

2 )

𝐷𝑖+1,𝑗+1 2 𝑘−1

2

+ λ₂₂ (𝑀𝑖,𝑗+1

2 𝑘−1

2 ∙ N

𝑖,𝑗+1 2 𝑘−1

2)

𝐷𝑖,𝑗+1 2 𝑘−1

2

+ λ₃₂

(𝑀𝑖−1,𝑗+1 2 𝑘−1

2 ∙ N

𝑖−1,𝑗+1 2 𝑘−1

2 )

𝐷𝑖+1,𝑗+1 2 𝑘−1

2

]

−𝛥𝑡 𝛥𝑦 [

β₁₂ (𝑁𝑖,𝑗+3

2 𝑘−1

2)

2

𝐷𝑖,𝑗+3 2 𝑘−1

2

+ λ₂₂ (𝑁𝑖,𝑗+1

2 𝑘−1

2)

2

𝐷𝑖,𝑗+1 2 𝑘−1

2

+ λ₃₂ (𝑁𝑖,𝑗−1

2 𝑘−1 2)

2

𝐷𝑖,𝑗−1 2 𝑘−1

2

]

−𝛥𝑡 𝛥𝑥g𝐷

𝑖,𝑗+1 2

𝑘 (𝐻_𝑖,𝑗+1^𝑘 − 𝐻_𝑖,𝑗^𝑘)

− Δt 𝑔𝑛² (𝐷𝑖,𝑗+1 2 𝑘−1

2)

73

(𝑀𝑖,𝑗+1 2 𝑘+1

2 + M

𝑖,𝑗+1 2 𝑘−1

2)

2 √(𝑀

𝑖,𝑗+1 2 𝑘−1

2)

2

+ (𝑁𝑖,𝑗+1 2 𝑘−1

2)

2

(3.13)

N

i+1 2,j k-1

2

<0, β

₁₁

=1,β

₂₁

=-1,β

₃₁

=0 M

i,j+1 2 k-1

2

<0, λ

₁₁

=1,λ

₂₁

=-1,λ

₃₁

=0

N

i+1 2,j k-1

2

≥0, β

₁₁

=1,β

₂₁

=1,β

₃₁

=-1 M

i,j+1 2 k-1

2

<0, λ

₁₁

=0,λ

₂₁

=1,λ

₃₁

=-1

N

i,j+1 2 k-1

2

<0, β

₁₂

=1,β

₂₂

=-1,β

₃₂

=0 M

i,j+1 2 k-1

2

<0, λ

₁₂

=1,λ

₂₂

=-1,λ

₃₂

=0

N

i,j+1 2 k-1

2

≥0, β

₁₂

=0,β

₂₂

=1,β

₃₂

=-1 M

i,j+1 2 k-1

2

<0, λ

₁₂

=0,λ

₂₂

=1,λ

₃₂

=-1

図 3.2 空間における 変数 配置

図 3.3 時空間におけ る変数 配置 j

y

x

1

j 

s

1

i i i1

2 / 1

2 / 1 ,

 k

j

Ni 1 ,

 k

j

i 2 / 1

2 / 1 ,

 k

j

Ni

2 / 1

, 2 / 1

 k

j

Mi

1 j

2 / 1

, 2 / 1

 k

j

Mi

j+1

j-1 j

i+1 i i+1

Δx

j

y

x

1

j 

s

1

i i i1

2 / 1

2 / 1 ,

 k

j

Ni 1 ,

 k

j

i 2 / 1

2 / 1 ,

 k

j

Ni

2 / 1

, 2 / 1

 k

j

Mi

1 j

2 / 1

, 2 / 1

 k

j

Mi

j

y

x

1

j 

s

1

i i i1

2 / 1

2 / 1 ,

 k

j

Ni 1 ,

 k

j

i 2 / 1

2 / 1 ,

 k

j

Ni

2 / 1

, 2 / 1

 k

j

Mi

1 j

2 / 1

, 2 / 1

 k

j

Mi

j

y

x

1

j 

s

1

i i i1

2 / 1

2 / 1 ,

 k

j

Ni 1 ,

 k

j

i 2 / 1

2 / 1 ,

 k

j

Ni

2 / 1

, 2 / 1

 k

j

Mi

1 j

2 / 1

, 2 / 1

 k

j

Mi

j

y

x

1

j 

s

1

i i i1

2 / 1

2 / 1 ,

 k

j

Ni 1 ,

 k

j

i 2 / 1

2 / 1 ,

 k

j

Ni

2 / 1

, 2 / 1

 k

j

Mi

1 j

2 / 1

, 2 / 1

 k

j

Mi

y

x

k

x

 s



1

i i i



1

k j i1,



1 ,

 k

j



i

2 / 1

, 2 / 1

 k

j

M

i



1

k M

_i^k_^₁¹_/^/₂²_,j

 t

k j



i,



_i^k_1,j

Δx

t

3.2.3.

境界条件および初期条件の設定方法

（1） 境界条件の取 り扱い

【沖側境界条 件】

津波浸水シミ ュレーシ ョンでは，有限 の 計算 領域 縁に到達 した波が 反射する ことなく透過 させる必 要がある ．図

3.2

の空間配置で示し た通り，領域端では 線流量

Q

を設定す る 必要がある．そこで ，進行性の長波 の速度√ghとすると境 界における流 量は 次式 で求めること ができる ．

Q= √ _M

²

_+N

²

_=± √ ghη (3.14)

上記の

η

は，沖 側境界 の

1

個内側で あり，符 号は波の進行 方向に応 じて設定 している ．式(3.14)で 算定した 線流量 を境界 端の 線流 量とし て与え ることで ， 波が透過する 様に計算 する．なお，本計 算で は，津波のみを 対象と して，風向・

潮汐は本計算 時間内に は変動しない ものとし た．

【越流条件】

越流条件とは ，堤防等 における越流 量の算出 方法のことで ある．越 流条件に つい ては ，一 般的 に 本 間の 越流 公式 が使 用 さ れて いる ．図 3.4 に 越流 公式と その概念図を 示す．

図 3.4 越流公式と概 念図

堤防天端 h1

h2

q

1

1 2gh

h q



1 2



2 2

'h gh h

q 

1

2 3

2h h 

1

2 3

2h h 

（完全および不完全越流）

（潜り越流）





0.35, '2.6 g

ここに, ,重力加速度

【陸上遡上境 界】

陸 上 へ の 遡 上 を 扱 う 場 合 に は ， 岩 崎 ・ 真 野 （

1979

）²³⁾の 方 法 を 用 い た ． こ れは ，図

3.5

に示 す よう に ， 津波 先端 部 で の地 形を 格子 間隔 幅 の 階段 状に近 似し，計算過程 で時刻 ステップ毎に 階段上に 水があるか否 かを判別 する方法で ある．計算の 具体的な 要点は次のと おりであ る．

 津波の先端は，水位と 格子境界（4 辺）での 最大静水深の 和が正の 格子 とゼロまたは 負の格子 の境界にある ．

 線流量を計算 するため の格子境界で の全水深 は，両側の 格子の高 い 方の 水位と格子境 界での静 水深の和とし て求める ．

 水 の な い 格 子 中 点 と そ の 背 後 格 子 の 水 位 を 結 ぶ 直 線 が 水 面 勾 配 の 一 次 近似であると して線流 量を計算する ．全水 深 がゼロまたは 負の場合 には 線流量をゼロ とする．

 全水深がゼロ に近づい た場合には移 流項を省 略する．

図 3.5 遡上境界条件



i

h

i





1



i

^

^i2

 s ^{波 先}

 1

i i _{i  1 i  2}

1

 0



D

i

D

_i

 0 D

_i1

 0 D

_i2

 0

1

 0

i

M M

_i

 0 M

_i1

 0

⊿ x

（2） 計算領域の接 続方法

広域で発生し た津波を 沿岸域で高精 度に計算 を行うために は，計算 格子を細 かく配置する ことが望 ましい．し かし，効率 や精度の観点 から，す べての計算 対象領域に計 算格子を 細かく配置す ることは 現実的ではな い．通常 津波計算で は，計算を 効率的に 行 うため，広 域では大 き い格子を配置 し，沿 岸 域に細かい 格子の配置を 行い ，計 算格子間隔の 異なる領 域を接続する「ネ ステ ィング手法 」 を用いて計算 を行う ．以下では「ネステ ィン グ手法」の概要に つい て示す（ 図

3.6

参照）．

 大格子領域で 計算され た流量を補間 して小領 域に与える．

 小 格 子 領 域 で 計 算 さ れ た 水 位 の う ち ， 大 格 子 領 域 の 中 心 に 相 当 す る 位 置 の 値 を そ の ま ま 大 格 子 に 与 え る ． 厳 密 に 値 が 一 致 し な い 場 合 （ 図

(b)

の様に２分割 の場合 ） は補間により 与える．

 大小領域間の 補間値を 与える格子点 として ， 図 3.6 のように，小 領域 では

1

格子 余分に設 定 する．

(a) 1/3

ネスティング の場合

(b) 1/2

ネスティング の場合

図 3.6 領域接続の格 子点配置

i - 1 i i + 1 j + 1

j

j - 1 大領域

大領域の線流量を補間し て小領域に与える

計算線流量を大領域から小領域に与える位置 計算水位を小領域から大領域に与える位置

大領域 小領域

小格子領域の計算水位を，大格 子領域の中心に相当する位置の メッシュに水位の値を与える．

i - 1 i i + 1 j + 1

j

j - 1

大領域の線流量を補間し て小領域に与える

小領域

小格子領域の補間した計算水位

（４点補間）を，大格子領域の中心 に相当する位置のメッシュに水位

の値を与える．

計算線流量を大領域から小領域に与える位置 計算水位を小領域から大領域に与える位置

（3） 初期水位の設 定方法

津波数値計算 の初期条 件としては，地 震断層 モデルを用い て計算さ れる海底 地殻変動の鉛 直成分を 海上面に与え る方法を 用いた．

地殻内部に蓄 積された 歪みが，ある限界 に達 すると亀裂（断層 ）が 生じ，こ れに沿って両 側の地殻 が急激にずれ る．この 現象が断層運 動であり ，断層面が 食い違う際に 地震動が 生じる．海底下 で断層 運動が起こる と海底に 鉛直方向の 隆起・沈降が 生じ津波 の原因となる ．断層運 動自体は 非常 に複雑な 過程を持つ が，断層 運動全体 を巨 視的に見ると 簡単なモ デルで 表現す ることが できる ．図

3.7

は断層運動 をモデ ル化したもの である．長さ

L

fau，幅

W

fauの矩 形の断層面 が平面的に

U

fau すべ り量（食い 違い量） だ け互いにず れるもの と 考える．典 型的なものと しては， 図 3.8 から図

3.9

に示すように， 水平方向 にずれる横 ずれ断層（右ず れ・左 ずれ）や鉛直方 向にず れる縦ずれ断 層（正・逆断層）が ある．断層の 幾何学的 特性は，すべ り方向

λ

f au，断層の走向

φ

fau， 断層面の傾 斜角

δ

fauによって 表さ れる．以上の

6

個が最 も簡単な断層 パラメー タで，地震 波解析により 推定され る．これらに断 層の位 置情報を加え た断層モ デルのパラ メータ一覧を 表 3-1に示す．

断層パラメー タから断 層近傍におけ る地表面 の鉛直分布は ，弾性論 を基礎と

Mansinha and Smylie（1971）

²⁴⁾の方 法や

Okada(1992)

²⁵⁾の方法 により計算 する こと がで きる ． 図

3.7

に例を 示す ． 海 底に おけ る地 殻の 鉛 直 変位 が海面 に即時に伝わ ると仮定 すると，鉛直 地殻変動 量が津波の初 期波形と なる．

図 3.7 断層モデルと パラメータ の 概要 ²⁶⁾

図 3.8 断層のタイ プ ²⁶⁾

図 3.9 断層運動と地 表変位の概念 図

走行φ 食い違いU

食い違いの 方向λ

長さL 断層面 幅W

傾斜方向

傾斜角δ

下盤

上 北

fau

fau fau

fau

fau

fau

表

3-1 断層モデルの パラメータ

基準点位置： 緯度

N

， 経度

E

断層面の位置 を示す． 断層面の位置 を手 前に傾き下が るように 置いた場合， 左上 に位置する端 点を断層 基準点と定め ，そ の緯度

N

，経 度

E

，深 さ

d

fauを示す．

断層面上縁深 さ：dfau

断層長さ：

L

fau

断層面の大き さを示す ． 断層幅：

W

fau

すべり量：

U

fau

走向：𝜑fau

断層が水平方 向でどの 方角に伸び ているかを示 す．

断層面の向き を示す．

傾斜角：δfau

断層が水平方 向でどの 方角に伸び ているかを示 す．

すべり角：

λ

fau

断層がどの方 向に動い たかをしめ す．

ドキュメント内 著者 小園 裕司 (ページ 51-63)