次数と曲面の複雑度

ここまでは4次多項式（15自由度）で説明してきたが，実際のシリコンでのシステマティック 成分はそこまで複雑ではない，あるいはプロセスや設計の進化によってもっとコントロールされ る場合が考えられる．そのような場合は，式(5.37)よりシンプルな形を考えることができる．たと えば式(5.44)～(5.46)のような1次～3次の式である．（4次より上の次数を考えることもできるが 実用的には必要ない．）

Z₁(x,y) = a₀R₀(x,y) + a₁R₁(x,y) + a₂R₂(x,y) (5.44) Z2(x,y) = a0R0(x,y) + a1R1(x,y) + a2R2(x,y)

+ a₃R₃(x,y) + a₄R₄(x,y) + a₅R₅(x,y) (5.45) Z₃(x,y) = a₀R₀(x,y) + a₁R₁(x,y) + a₂R₂(x,y)

+ a₃R₃(x,y) + a₄R₄(x,y) + a₅R₅(x,y) + a₆R₆(x,y) + a₇R₇(x,y) + a₈R₈(x,y)

+ a₉R₉(x,y) (5.46)

式(5.37)（4次）を含めた，それぞれの次数での曲面サンプルを図5.10に示す．係数a₀～a₁₄を σ = 1の独立したガウス分布としてランダムに変化させている．次数が高いほどより複雑な曲面 を表現できる．個々の次数でN=10⁶個のサンプルを生成し，出力波形の σ（σSYS）をヒストグ ラム化した．図5.11にそれを示す．（4次のグラフは図5.8の再掲） 次数が高いほどσSYSの値 は大きくなる（図5.11）．次数とσSYSはほぼ比例関係である（図5.12）．σSYSの分布の広がり（σ

SYSのσ）は，次数よらずほぼ一定である．（表5.1）

1^st-order #1 1^st-order #2 1^st-order #3

2^nd-order #1 2^nd-order #2 2^nd-order #3

3^rd-order #1 3^rd-order #2 3^rd-order #3

4^th-order #1 4^th-order #2 4^th-order #3

-1 0 1

-1 0

1 -6.0-4.5

-1.5-3.03.00.01.5 4.5 6.0

1 0

-1 1 0 -1 -6

0 6

y x

-1 0 1

-1 0

1 -6.0-4.5

-3.0-1.50.01.5 4.53.0 6.0

1 0

-1 1 0 -1 -6

0 6

y x

-1 0 1

-1 0

1 -4.5-6.0

-3.0-1.51.50.0 4.53.0 6.0

1 0

-1 1 0 -1 -6

0 6

y x

-1 0 1

-1 0

1 -12.0-3.09.0-6.06.0-9.03.00.0

12.0

1 0

-1 1 0 -1 -12

0 12

y x

-1 0 1

-1 0

1 -12.0-3.09.0-6.06.0-9.03.00.0

12.0

1 0

-1 1 0 -1 -12

0 12

y x

-1 0 1

-1 0

1 -12.0-3.09.0-6.06.0-9.00.03.0

12.0

1 0

-1 1 0 -1 -12

0 12

y x

-1 0 1

-1 0

1 -16.0

-12.0-4.0-8.08.04.00.0 12.0 16.0

1 0

-1 1 0 -1 -16

0 16

y x

-1 0 1

-1 0

1 -16.0

-12.0-4.0-8.08.04.00.0 12.0 16.0

1 0

-1 1 0 -1 -16

0 16

y x

-1 0 1

-1 0

1 -16.0

-12.0-4.0-8.08.00.04.0 12.0 16.0

1 0

-1 1 0 -1 -16

0 16

y x

-1 0 1

-1 0

1 -20.0

-15.0 -10.0-5.05.00.0 15.010.0 20.0

1 0

-1 1 0 -1 -20

0 20

y x

-1 0 1

-1 0

1 -20.0

-15.0 -10.0-5.05.00.0 15.010.0 20.0

1 0

-1 1 0 -1 -20

0 20

y x

-1 0 1

-1 0

1 -20.0

-15.0 -10.0-5.00.05.0 15.010.0 20.0

1 0

-1 1 0 -1 -20

0 20

y x

図5.10 曲面サンプル（1次～4次）

0 100000

1 11 21 31 41 51 61

σ_SYS=1.253

N = 10⁶

0 1 2 3 4 5 6

σ value 16 × 16 matrix

σ_SYS 0

1×10⁵

Frequency

0 100000

1 11 21 31 41 51 61

σ_SYS=2.120

N = 10⁶

0 1 2 3 4 5 6

σ value 16× 16 matrix

σ_SYS 0

1×10⁵

Frequency

1

^st

2

^nd

0 100000

1 11 21 31 41 51 61

σ_SYS=2.889

N = 10⁶

0 1 2 3 4 5 6

σ value 16 × 16 matrix

σ_SYS 0

1×10⁵

Frequency

0 100000

1 11 21 31 41 51 61

σ_SYS=3.605

N = 10⁶

0 1 2 3 4 5 6

σ value 16 × 16 matrix

σ_SYS 0

1×10⁵

Frequency

3

^rd

4

^th

図5.11 各次数での出力波形の大きさ（σSYSのヒストグラム）

0 1 2 3 4

0 1 2 3 4 5

Order of function σSYS

図5.12 関数の次数に対するσSYSの値

図5.10で，次数による複雑さの違いを視覚的に確認できる．これを何かの指標で客観的に示そ う．ここでは文献[41]にならい，図5.13の方法を用いて自己相関長を求める．同じマトリックス

を図5.13(a)のように重ね，シフト量(x, y)をパラメータに，重なった部分の積和を求める．これを

グラフ化する．図5.13(b)において，λはピーク値からe^-1倍における断面積と等価な面積の円の 直径である．このλを自己相関長と定義する．

x y^{0 -1 -2}

2 1

-2 -0

1.

-0.125 0.000 0.125 0.250 0.375 0.500 0.625 0.750 0.875 1.000

λ

e^-1

16 × 16 matrices (x, y)

0 Shift

0

(The same data)

Auto-correlation coefficient (a.u.)

(a) Basic calculation of

auto-correlation coefficient. (b) Definition of the correlation length, λ.

Multiply and accumulate of overlapped area.

図5.13 相関長(λ)の定義

以上の方法で，各次数（式(5.37)，式(5.44)～(5.46)）でのモンテカルロ法をN=10⁴個実施し，

λの分布をヒストグラム化した（図5.14）．またそれぞれのヒストグラムのλの平均値と次数の 関係を図5.15に示す．これらの図に示されるように，次数が高くなるにつれて自己相関長は短く なる．特にλの逆数は次数とほぼ比例する値を示す．このように式(5.37)，式(5.44)～(5.46)に示 すランダム曲面モデルは，その次数の選択で曲面の複雑度（自己相関長）をコントロールできる．

Order of function

1 1.253 0.654 2 2.120 0.685 3 2.889 0.690 4 3.605 0.687

S Y S

σSYS

σ

σ

表5.1 σSYSの平均値およびσSYSのσ

0 5000

0 0.5 1 1.5

λ = 1.24

N= 10⁴

λ 16 x 16 matrix

Frequency 0

1

^st

5×10³

0 0.5 1 1.5

0 5000

0 0.5 1 1.5

λ = 0.96

N= 10⁴

λ 16 x 16 matrix

Frequency 0

2

^nd

5×10³

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0 5000

0 0.5 1 1.5

λ = 0.78

N= 10⁴

λ 16 x 16 matrix

Frequency 0

3

^rd

5×10³

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0 5000

0 0.5 1 1.5

λ = 0.65

N= 10⁴

λ 16 x 16 matrix

Frequency 0

4

^th

5×10³

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

図5.14 各次数でのλ分布（ヒストグラム）

このランダム曲面モデルの応用について考える．曲面の複雑度を，式(5.47)となるように，ラン ダム曲面モデルの大きさ（振幅）と複雑度（次数）を選択する．

ランダム曲面モデル ＞ 実シリコンのシステマティック成分 (5.47)

この条件下で，正常となる設計が施されていれば，実シリコンでのロバスト性が保証される．

ドキュメント内 早稲田大学大学院情報生産システム研究科 (ページ 88-91)