ランダム曲面モデルの適用

0 5000

0 0.5 1 1.5

λ = 1.24

N= 10⁴

λ 16 x 16 matrix

Frequency 0

1

^st

5×10³

0 0.5 1 1.5

0 5000

0 0.5 1 1.5

λ = 0.96

N= 10⁴

λ 16 x 16 matrix

Frequency 0

2

^nd

5×10³

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0 5000

0 0.5 1 1.5

λ = 0.78

N= 10⁴

λ 16 x 16 matrix

Frequency 0

3

^rd

5×10³

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0 5000

0 0.5 1 1.5

λ = 0.65

N= 10⁴

λ 16 x 16 matrix

Frequency 0

4

^th

5×10³

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

図5.14 各次数でのλ分布（ヒストグラム）

このランダム曲面モデルの応用について考える．曲面の複雑度を，式(5.47)となるように，ラン ダム曲面モデルの大きさ（振幅）と複雑度（次数）を選択する．

ランダム曲面モデル ＞ 実シリコンのシステマティック成分 (5.47)

この条件下で，正常となる設計が施されていれば，実シリコンでのロバスト性が保証される．

Correlation coefficient 1

0 Distance

図5.16 距離と相関係数

G1 ρ12

G2

G1 ρ12

G2 G3

ρ23

ρ31

G1 ρ12

G2 G3

ρ23

ρ13

G4 ρ34

ρ24

ρ41

(a)

(b)

(c)

in

in

in

out

out

out

G1

ρ12

G2 G3

ρ23

ρ13

G4 ρ34

ρ24

ρ41

in out1

G5

A ρ35

ρ25

ρ51

out2

(d)

ρ45

図5.17 ゲート段数と相関係数

一般的なLSIにおいて，個々のパスの論理段数は数十段程度あり，よって考慮すべき相関係数 の数は数百を超えることになる．これは単独の一つのパスに対してであり，二つのパスのタイミ ングを比較するためには，千を越える相関係数を扱う必要が出てくる． また，図5.17(d)のよう に遅延パスに分岐がある場合は，より複雑さが増す．in-out1間およびin-out2間の遅延時間を評 価しようとした場合に，途中の共通部分Aまでの遅延時間を共通に利用できるわけではなく，個 別に全経路の相関係数を考慮して計算し直さなくてはならない．よって，複数の入出力を持つよ

うな，数十段の遅延パス同士のタイミング比較をするような場合には，数千単位の相関係数を扱 う必要が出てくる．

次に本論文の方法について図5.18を用いて説明する．ここでは4段の遅延パスを例にしている．

全体の遅延時間Tpd0は式(5.48)～(5.52)で表せる．

Tpd₀ = Tpd₁ + Tpd₂ + Tpd₃ + Tpd₄ (5.48) Tpd₁ = T_m1 + T_d1 + T_c1 + C₁Z_n(x₁,y₁) (5.49) Tpd₂ = T_m2 + T_d2 + T_c2 + C₂Z_n(x₂,y₂) (5.50) Tpd₃ = T_m3 + T_d3 + T_c3 + C₃Z_n(x₃,y₃) (5.51) Tpd₄ = T_m4 + T_d4 + T_c4 + C₄Z_n(x₄,y₄) (5.52)

(b) Layout image and random curved surface model.

△_Tpd Tpd

(a) Schematic image.

-1

0

1 -1 0

1

x

(x1, y1) y

(x₂, y₂)

(x3, y3)

(x₄, y₄) G1

Tpd1

G2 G3

in out

Tpd2 Tpd3 Tpd4

Tpd0

G4

図5.18 遅延時間モデル

Tm1～Tm4は，各ゲートの絶対平均（ウェハ間，ロット間を含む）である．Td1～Td4はチップ間の ばらつきを示すガウス分布である．この変数は，チップ内において，“相関係数＝1” として扱わ れる．Tc1～Tc4はチップ内の素子間ばらつきを示すガウス分布である．この変数は，チップ内に おいて，“相関係数＝0”として扱われる（素子間で独立なばらつき）．ここまでが従来の基本的考 え方である．さらに本論文では次に示す方法を導入する．

Zn(x1,y1)～Zn(x4,y4) はチップ内の空間相関を表す関数（ランダム曲面モデル）である．Zn(x,y) の nは1～4のいずれかの数値を与え，実際のチップのシステマティック成分と同等以上の複雑度に なるよう，式(5.37)，式(5.44)，式(5.45)，式(5.46)の選択をする．C₁～C₄はゲート種に固有の定数

である．この項の意味は図5.18(b)のように表せる．ある曲面があり，ゲートの座標位置でその値 を選択する．曲面がランダムに変化するならば（図5.10），個々のゲート間の距離に応じて相関 係数が変化する（図5.19(a)）．

(a)

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

1^st 2^nd

3^rd 4^th

0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 1.2

0.8 0.4 0.0 -0.4

Correlation coefficient -0.8

Distance

N= 10⁶

(b)

16 × 16 matrix

(1,1)

(1,-1) (-1,1)

(-1,-1)

x y

図5.19 次数による相関係数の距離特性

図5.19(a)の作成方法について説明する．ランダム曲面モデルをモンテカルロ法によりN=10⁶個

生成し，それぞれの曲面に座標2点を選ぶ（図5.19(b)）．この2点は，区間 [ -1, 1 ] の一様乱数 で決める．この2点の値と距離を10⁶組収集し，距離と相関係数の関係を割り出した．

話を元に戻す．図5.18，図5.19(a)，式(5.48)～(5.52)を議論する．図5.18(b)において，様々な 形状の曲面の生成に対して，回路（図5.18(a)）が正常に動くように設計する．このことは，式(5.48)

～(5.52)において正常に動作するように設計することに等価である．

式(5.49)～(5.52)をZ₁（式(5.44)）の場合を例に展開すると図5.20となる．相関関係が単純なコ ラムになっている．よって，設計上では図5.18(b)（原理図）で考える必要はなく，相関関係の単 純な図5.20の式を考えれば良い．これによって，今まで複雑で処置困難であった，LSIチップ内 の空間相関を，極めて簡素な数式の記述で表現できるようになった．

Tpd₁ = Tm₁ Td₁ Tc₁ C₁a₀R₀(x₁,y₁) + C₁a₁R₁(x₁,y₁) + C₁a₂R₂(x₁,y₁) Tpd₂ = Tm₂ Td₂ Tc₂ C₂a₀R₀(x₂,y₂) + C₂a₁R₁(x₂,y₂) + C₂a₂R₂(x₂,y₂) Tpd3 = Tm3 Td3 Tc3 C3a0R0(x3,y3) + C3a1R1(x3,y3) + C3a2R2(x3,y3) Tpd₄ = Tm₄ Td₄ Tc₄ C₄a₀R₀(x₄,y₄) + C₄a₁R₁(x₄,y₄) + C₄a₂R₂(x₄,y₄)

r_cc=1 r_cc=1 r_cc=1

r_cc: Correlation coefficient + +

+ +

+ +

Absolutely no correlation in horizontal relations

Constant r_cc=1 r_cc=0 + + + + +

+

図5.20 各遅延時間要素の相関関係

ドキュメント内 早稲田大学大学院情報生産システム研究科 (ページ 91-95)