第 7 章 ガウス分布回転体ベースのランダム曲面モデル
7.3 数学的性質
ガウス分布の回転体を並べることにより，ランダム曲面を生成できることを示した．これから このランダム曲面の数学的性質を調べて行く．ただし，話を簡単にするために，1 次元のモデル
（ランダム曲線）で説明する．また実際の話，1 次元のモデルでも十分説明できる．ガウス分布 の回転体の任意の断面はガウス分布であり（図7.4），ガウス分布同士の加算もガウス分布になる．
よって，ランダム曲面（図7.3）の任意の断面はランダム曲線（図7.1）と同じ性質を持つ．ラン ダム曲線は式(7.3)となる．ここでaiはガウス分布に従う独立な乱数である（σ= 1）．積算の範囲 が±∞になっているが，実用的には有限で良い．dはガウス分布の配列間隔である．
} 2 / ) ( exp{
)
( 2
4
i
i x id
d a x
f
(7.3)z
0
0 .0 7 0 .1 4 0 .2 1 0 .2 8 0 .3 5 0 .4 2 0 .4 9 0 .5 6
x
y
0
0
3
-3 0
3 -0.56
図7.4 ガウス分布の回転体の断面
ランダム曲線の観測点の定義をする．図 7.5 にそれを示す．二つの対称点と，一つの非対称点 が定義される．第1対称点はガウス分布にとっての対称点となっている．第2対称点はガウス分 布のアレイとしての対称点である．そしてこれらの中間に非対称点が定義される．以後の分析は，
これらの3点の特性を比較して行く．特にdの大小による特性の違いに着目する． dが大きい場 合，ランダム曲線は荒くなり，一様性が低下する．逆に小さい場合は一様性が良くなる．ただし dを過剰に小さくすると計算量が多大になるので，dの値には適切な範囲がある．
x y
1st symmetry point Asymmetry point
2nd symmetry point d
図7.5 観測点の定義
ランダム曲線のばらつき幅（σ）を観察する．式(7.5)がそれを表す．観測点によってxの値が 変わることに注意が必要である．
) 2 / exp(
)
( 4 d x2
x
f
(7.4)2
0
{ ( )}
i
id x
f (7.5)1st-symmetry point : x = 0 Asymmetry point : x = d/4 2nd-symmetry point : x = d/2
σ0は式(7.5)のばらつき幅（微分0次）を示しているが，ばらつき幅の微分値も観測できる．式(7.7) がそれを示している．nは微分の次数である．
)}
2 / {exp(
)
( 4 x2
dx d x d
f n
n
n
(7.6)}2
) (
{
i n
n f x id
(7.7)1st-symmetry point : x = 0 Asymmetry point : x = d/4 2nd-symmetry point : x = d/2
表7.1にばらつき幅およびばらつき幅の微分値を示す（6次まで）．この表ではd = 0.25で求め ているので，十分に一様性が取れた状態の数値である．上段はσnを表しているが，下段はσn/n! に 変換してある．これはランダム曲線に対する実際の寄与度を表している．よって下段の数値が実 際の評価指標になる．次数0では振幅（σn/n!）が1であるが，次数の増大と共に，振幅は急速に 小さくなって行き，次数6では0.018まで縮小した．よって，高次の次数では波形への寄与度が 非常に小さくなっていることが分かる．
表7.1 ばらつき幅およびばらつき幅の微分値
d = 0.25
0 1 2 3 4 5 6
1 0.707 0.866 1.369 2.562 5.434 12.744 1 0.707 0.433 0.228 0.107 0.045 0.018 σn/n!
σn
n
表 7.1の下段をグラフ化し，d に対する依存性を調べる（図7.6）．グラフの見易さのため，二 つに分けて表示した．dが1を超えるところでは値が乱れて一様性がない．d = 1では実使用上十 分な精度が得られる．実効的な誤差は0.1%以下であった．d = 0.5における振幅は，いずれの次数 においても，ほぼ完全に収束することが確認された．
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2
0 0.5 1 1.5 2 2.5
0 0.1 0.2
0 0.5 1 1.5 2 2.5
d
1st-symmetry point 2nd-symmetry point Asymmetry point n = 0
n = 1
n = 2 n = 3
n = 4 n = 5 n = 6
! n
n
図7.6 ばらつき幅およびばらつき幅の微分値のd依存
次にランダム曲線の微分値間（0次を含む）の相関係数を調べる．次数m（m = 0～6）と次数n
（n = 0～6）の間の相関係数は式(7.9)で表せる．kは微分の次数を示している．表7.2にd = 0.25 の場合の相関係数のマトリックスを示す．
)}
2 / {exp(
)
( 4 x2
dx d x d
f k
k
k
(k=0～6) (7.8)n m
n i
m mn
id x f id x f
) ( ) (
(7.9)
1st-symmetry point : x = 0 Asymmetry point : x = d/4 2nd-symmetry point : x = d/2
表7.2 ばらつき幅の微分値の相関関係 d = 0.25
0th 1st 2nd 3rd 4th 5th 6th
0th 1 0.000 -0.577 0.000 0.293 0.000 -0.147 1st 0.000 1 0.000 -0.775 0.000 0.488 0.000 2nd -0.577 0.000 1 0.000 -0.845 0.000 0.595 3rd 0.000 -0.775 0.000 1 0.000 -0.882 0.000 4th 0.293 0.000 -0.845 0.000 1 0.000 -0.905 5th 0.000 0.488 0.000 -0.882 0.000 1 0.000 6th -0.147 0.000 0.595 0.000 -0.905 0.000 1
表7.2をグラフ化し，dに対する依存性を調べる（図7.7，図7.8）．グラフの見易さのため，二 つに分けて表示している． dが1を超えるところでは相関係数が不安定になり，実用的ではない．
d = 1では実用的な精度が得られる．一部変動の大きいもの（図7.8の*）もあるが，高次の項は
影響が少ないので問題ではない（図7.6の下側）．d = 0.5ではほぼ完全に収束する．
次に自己相関について議論を進める．図7.9に考え方を示す．ランダム曲線上に距離r離れた2 点間a, bの相関が自己相関の距離依存となる．r1のように近い場合は相関係数が1に近づき，r2 のように遠い場合は相関係数が0に近づく．
-1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
0 0.5 1 1.5 2 2.5
1st-symmetry point 2nd-symmetry point Asymmetry point Unstable area
Practical Accurate area
area Correlation coefficient
d
1st-5th 0th-4th
0th-6th
0th-2nd 1st-3rd 0th-1st, 0th-3rd,0th-5th 1st-2nd, 1st-4th,1st-6th
図7.7 相関係数のd依存（1/2）
-1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
0 0.5 1 1.5 2 2.5
1st-symmetry point 2nd-symmetry point Asymmetry point Correlation
coefficient
d
2nd-6th
2nd-4th 4th-6th
3rd-5th 2nd-3rd, 2nd-5th,3rd-4th 3rd-6th, 4th-5th,5th-6th
5th-6th
4th-5th 3rd-6th
*
*
*
Unstable area Practical
Accurate area area
図7.8 相関係数のd依存（2/2）
x y
a b
r r1
r2
図7.9 自己相関の考え方
自己相関の距離依存（ρ(r)）は式(7.11)で与えられる．この式をグラフ化したものを図7.10に示
す．図7.10(a)はd = 2の場合のものであり，観測点により値が変動する．d = 2では一様性がない．
d = 1.5の場合はわずかに揺らぎがある．d = 1では実用上十分な精度（Error < 0.2%）が得られる．
) 2 / exp(
)
(x 4 d x2
f
(7.10)
2 0
) (
) ( )
(
id r x f id x f r i
(7.11)
1st-symmetry point : x = 0 Asymmetry point : x = d/4 2nd-symmetry point : x = d/2 σ0 = 1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
0 1 2 3 4 5
1st-symmetry point 2nd-symmetry point Asymmetry point Correlation coefficient
Ideal curved line d = 2
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
0 1 2 3 4 5
Correlation coefficient d = 1.5
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
0 1 2 3 4 5
Correlation coefficient
r
d = 1 r
r
1st-symmetry point 2nd-symmetry point Asymmetry point
Ideal curved line
1st-symmetry point 2nd-symmetry point Asymmetry point
Ideal curved line
(c) (a)
(b)
図7.10 自己相関の距離依存
式(7.11)には，d → 0における極限値（理論曲線）がある．それを以下に示して行く．式(7.11) の積算区間は±∞であるので式(7.12)に書きなおせる．d → 0, id = t とすると式(7.13)の理論曲線 が得られる．
) ( ) ( )
(r f id f id r
i
i
r id d id
] 2 / } ) ( ) {(
exp[ 2 2
(7.12)dt r
t
t 1 exp[ {( )2 ( )2}/2]
dt r
tr
t 1 exp{ ( 2 2/2)}
dt r
t r
1 exp{ ( /2) }
) 4 /
exp( 2 2
) 4 / exp(r2 (7.13)
最後にこのランダム曲面の応用について提案する．今までランダム曲線で説明してきたが，こ こからはランダム曲面の説明に戻る．ランダム曲面は式(7.2)で表すことができる．この式での，
ガウス分布の回転体（図7.2(a)）の広がりはσ = 1であった．振幅（σ）も1である．この式に対 して，広がりと振幅を自由に設定できるようにする．それは式(7.14)で表される．σが広がりを表 し，Aが振幅を表す．
i j
ij x id y jd
Ad a x
f( ) exp[ {( )2 ( )2}/(2
2)]
(7.14)このランダム曲面には，曲面構成の自由があり，色々な応用を考えることができる．応用例を二 つ示す．図7.11は図7.3のランダム曲面（σ = 1，A = 1）に対し，σ = 0.2，A = 0.2のランダム曲面 を重ね合わせたものである．図7.12は図7.3のランダム曲面の外周部を取り出したものである．
その取り出し方は図7.13の要領で行った．この他にも様々な応用を考えることができる．このよ うな応用は，実際のシステマティックばらつきの様々なケースに対しての検証に有益である．
0 2
4 6
8 100
2 4
6 8
10
- 3 - 2 . 2 5 - 1 . 5 - 0 . 7 5
0
0 . 7 5 1 . 5 2 . 2 5
3
2.25-3 1.5-2.25 0.75-1.5 0-0.75
3
-3 0
z
x
y
図7.11 応用例1
0 2
4 6
8 100
2 4
6 8
10
- 3 - 2 . 2 5 - 1 . 5 - 0 . 7 5
0
0 . 7 5 1 . 5 2 . 2 5
3
2.25-3 1.5-2.25 0.75-1.5 0-0.75
3
-3 0
z
x
y
図7.12 応用例2
x
y d
d d=1
(0, 0)
(10, 10)
回転体あり 回転体なし
図7.13 外周部の取り出し方法
しかし一方で，これらの応用には課題も残されている．実際のシステマティックばらつきの特 性をモデルとどう対応させるかという問題である．実際とモデル，いずれもランダムに変化する もの同士を，どのようにしてその等価性を保証するのか？ 実はこれは難問である．ランダムな もの同士の等価性の証明に関しては，今後の検討を必要とする重要な課題の一つである．