第 8 章 ランダム曲面モデルの空間相関表現と LSI デザインへの応用
8.5 実データの特性
これより，実際の素子の特性（相関係数の距離依存）を観察する．観測の手順を以下に示す．
まず測定データ（図 8.6(a)：このデータはチップ内平均値に対する差分のみを示す）に4次多項 式（式(8.35)）をフィッティングし，ばらつきのシステマティック成分（図8.6(b)）を得る．
Z(x,y) = a0 + a1 x + a2 y + a3 x2 + a4 xy + a5 y2 + a6 x3 + a7 x2y + a8 xy2 + a9 y3 + a10 x4
+ a11 x3y + a12 x2y2 + a13 xy3 + a14 y4 (8.35)
データの対称性を確保するために，図8.6(b)の値を反転させたデータ（図8.6(c)）を生成させる．
次にこれらの配列（図8.6(b)，図8.6(c)）を正規化する（図8.7(a)）．この正規化した測定データ に対し，2点の組を多数サンプリングする（図8.7(b)）．サンプリング点数はチップ毎に5千点と した．データの正転，反転，チップ数から，全サンプリング数は51万点となる．この51万の距 離と値の組から，相関係数の距離依存が求まる．
0
1 5
0
1 5
- 1 - 0 .7 5 - 0 .5 - 0 .2 5
0
0 .2 5 0 .5 0 .7 5
1 0
1 5
0
1 5
- 1 - 0 .7 5 - 0 .5 - 0 .2 5
0
0 .2 5 0 .5 0 .7 5
1
x Variation(a.u.) y 0
15 15
x 0 Variation(a.u.) y 0
15 15
0
(b) フィッティング結果 (a) 測定データ
0
1 5
0
1 5 - 1
- 0 .7 5
- 0 .5
- 0 .2 5
0
0 .2 5
0 .5
0 .7 5
1
x Variation(a.u.) y 0
15 15
0 (c) 反転データ
× (-1)
図8.6 測定データの処理
(a) 正規化 (b) サンプリング
(1,1)
(1,-1) (-1,1)
(-1,-1)
x y
16 × 16 matrix
x y
図8.7 データの正規化とサンプリング方法
実データを観測する前に，リファレンスとなる図を用意する．図 8.8 にそれを示す．このデー タは図8.2と同じ方法で導出したものである．ただし式(8.31)～(8.34)から0次の項（a0R0(x,y)）を 省いてある．測定データがチップ平均からの差分であることに合わせて，ランダム曲面モデルも チップ内平均が 0になるようにした．サンプル数も107個に上げ，結果のデータにスムージング 処理をしてある．図中の数字は関数の次数を示す．このデータをリファレンスとして，個々の素 子の相関係数の距離依存を重ね書きする．これから示すグラフの“点付き太線”が素子のデータ である．
-1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 1.2
0.8 0.4 0.0 -0.4 -0.8
Correlation coefficient -1.2
Distance
N= 107
1 2
3 4 1
4
図8.8 リファレンスデータ
実データの観測結果を図8.9に示す．順次各特性を議論して行く．
・図8.9(a)：第2配線層の最小ピッチ配線の容量
主に隣接配線間容量を表している．距離が短いところでは3次の線に近く，
長い部分では2次の線に近い．
・図8.9(b)：第2配線層と第1配線層の間の容量
主に層間容量を示している．図8.9(a)とほぼ同様の特性傾向である．
図8.9(a)，図8.9(b)のような特性が観測されるのは，これらの測定データに図8.10(a)のような形
状が多く見られるためである．全体的に2次関数に近い形状を持ちながら，外周付近でやや急な カーブを描いている．
・図8.9(c)：第2配線層と第3配線層の間の容量
主に層間容量を表している．比較的1次の線に近い特性傾向を示している．
・図8.9(d)：MOS構造のゲート入力容量
図8.9(c)と同様に，1次の線に近い特性傾向を示している．
図8.9(c)，図8.9(d)のような特性が観測されるのは，これらの測定データに図8.10(b)のような形
状が多く見られるためである．曲面成分の少ない平面的な形状である．
・図8.9(e)：第2配線層の最小ピッチ配線の抵抗
図8.9(a)と同様の特性傾向を示す．
・図8.9(f)：第2配線層の幅広配線の抵抗
2次の線に近い特性傾向を示す．
・図8.9(g)：nMOSのIds
3次あるいは4次の線に近い特性傾向を示す．
(g) IDS (nMOS L/W = 90nm/1.5μm)
(d) C (nMOS L/W = 90nm/1.5μm)
(e) R (Metal-2 line and space) (f) R (Metal-2 wide line) (c) C (Metal-2 to Metal-3)
(a) C (Metal-2 line and space) (b) C (Metal-2 to Metal-1)
-1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 1.2
0.8 0.4 0.0 -0.4 -0.8
Correlation coefficient -1.2
Distance
N= 5×105
-1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 1.2
0.8 0.4 0.0 -0.4 -0.8
Correlation coefficient -1.2
Distance
N= 5×105
-1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 1.2
0.8 0.4 0.0 -0.4 -0.8
Correlation coefficient -1.2
Distance
N= 5×105
1 2
3 4 1
4
1 2
3 4 1
4
1 2
3 4 1
4
-1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 1.2
0.8 0.4 0.0 -0.4 -0.8
Correlation coefficient -1.2
Distance
N= 5×105
-1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 1.2
0.8 0.4 0.0 -0.4 -0.8
Correlation coefficient -1.2
Distance
N= 5×105
-1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 1.2
0.8 0.4 0.0 -0.4 -0.8
Correlation coefficient -1.2
Distance
N= 5×105
1 2
3 4 1
4
1 2
3 4 1
4
1 2
3 4 1
4
-1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 1.2
0.8 0.4 0.0 -0.4 -0.8
Correlation coefficient -1.2
Distance
N= 5×105
1 2
3 4 1
4
図8.9 実データ（素子）の特性評価結果
(c) Sample 3
(a) Sample 1 (b) Sample 2
-1 0 1
-1 0
1 -1.0-0.8
-0.5-0.30.00.3 0.80.5 1.0
1 0
-1
1 0 -1 -1
0 1
x y
-1 0 1
-1 0
1 -0.8-1.0
-0.3-0.50.50.30.0 0.8 1.0
1 0
-1
1 0 -1 -1
0 1
x y
-1 0 1
-1 0
1 -0.8-1.0
-0.3-0.50.50.30.0 0.8 1.0
1 0
-1
1 0 -1 -1
0 1
x y
図8.10 測定波形サンプル
図8.9(g)のような特性傾向は，元の測定データにおいて，ランダム成分が支配的（図8.10(c)）な
場合に生じる固有な現象である．（この現象は第5章2節「4次多項式近似と擬似システマティッ ク成分」の図5.2に示されている，擬似システマティック成分の発生原理と同じである．） 実デ ータの評価時において，ランダム成分が支配的な場合は，真のシステマティック成分がランダム 成分に埋もれて，検出が難しくなるので注意を要する．
表8.1に観測結果をまとめる．多くの観測データは，やや2次の傾向を含む1次の特性傾向か，
やや3次を含む2次の特性傾向を示した．しかしながら，この観測結果は，ある1枚のウェハ上 の 51チップを評価したに過ぎず，実際の LSI製品の一般的傾向を示しているものではない．よ り多くのサンプルを評価すれば，様々な特性傾向が観測されると予想される．
表8.1 観測結果のまとめ
Here, “~” means “lesser tendency.”
Drain current Wiring resistance
Wiring capacitance
Metal-2 line and space Between metal-2 and -1 Between metal-2 and -3 Gate
capacitance
Metal-2 line and space Metal-2 wide line nMOS L/W = 90nm/1.5μm nMOS L/W = 90nm/1.5μm
Tendency
Item Structure of curved
surface
1nd (~2nd) 2nd (~3rd) 2nd (~3rd)
3rd (~4th) 2nd (~3rd) 2nd (~3rd) 1nd (~2nd)