第 5 章 ロックボルトで支保されたトンネルの簡便力学モデル
5.2 簡便力学モデルを用いたトンネル安定性簡易判定手法
5.2.1 必要支保内圧と有効支保内圧
第 5 章 ロックボルトで支保されたトンネルの簡便⼒学モデル
=൬
ഥ
o−݇ݍ
௨+ ܿ
∗1 −݇ζ
൰
(1 +ߟ
)1−݇ζ+݇ݍ
௨+ ܿ
∗1 −݇ζ
となる．ここで，ロックボルト長݈をトンネル半径ܽで除した無次元量をロックボルト長係数 として次のように定義する．
ߟ
= ݈ܽ
式(5.9)で定義される支保内圧
をロックボルト全長すべて塑性域に含まれる場合のト ンネル安定に必要な支保内圧とする．
ൌ ഥ
o(1 +ߟ
)ͳെ݇Ƀとなり，原点を通る直線となる．このことは，先に考察した図-2.25を裏付けるものでもあ る．
つぎに各実験ケースについて理論線との比較から検討する．まずロックボルト長 5cm で は実験値すべて
ߚ
=0.2～0.5程度の必要支保内圧となっている．すなわち，付着度を最大限 発揮（ߚ
=1.0）させなくても，十分に必要支保内圧を満たしていることを意味する．付着度 係数は地山－ロックボルト間に期待される付着度に関する安全率の逆数との見方もできる．ߚ
=1.0 の必要支保内圧は，地山－ロックボルト間の付着抵抗が最大限発揮されるとした場 合の最低の必要支保内圧を意味し，安全率は1.0となる．たとえば(d)では，載荷圧200kPa 時にはߚ
=0.2線と交わるので付着度の安全率は5.0（=1/0.2）に，同じく300kPa時にはその 安全率は2.0（=1/0.5）となる．一方，ロックボルト長3cmの場合，特に(b)のケースに着目すると，載荷圧約120kPaまで は
ߚ
=1.0 の必要支保内圧を満たしているが，それ以上の載荷圧ではその必要支保内圧に達 していない．すなわち，付着度係数を最大限見込んだとしても，載荷圧120kPa以上ではこ（5.9 ’）
0 5 10 15 20 25
0 50 100 150 200 250 300
トンネル壁面からの距離
(cm)
半径方向応力
(k P a)
p
i= 0 (kPa) p
i=50 p
o= 100 (kPa) p
o= 200 (kPa) p
o= 300 (kPa)
3
図-5.2 地山内半径方向応力の理論値（有孔無限媒体）
横軸 3 および 5 は，それぞれボルト長 3 および 5cm の挿入位置を示す．
第 5 章 ロックボルトで⽀保されたトンネルの簡便⼒学モデル
の打設パターンでは必要支保内圧を満たすことができないことになる．
（2）地山－ロックボルト間の付着抵抗によって発揮される有効支保内圧
本実験に先立って実施された引抜き試験結果から，地山－ロックボルト間の粘着力およ び摩擦角が得られている．これらの物性を用いれば式(5.3)によって地山－ロックボルト間 の付着抵抗を求めることができる．塑性リング形成時に，この付着抵抗がロックボルト全長 にわたって作用しているものと考えれば，この付着抵抗をボルト全長にわたって積分する
図-5.3 載荷圧と必要支保内圧との関係
0 50 100 150 200 250 300 0
20 40 60 80 100
載荷圧 po 必要支保内圧pr
50 100 150 200 250 300
載荷圧 po
50 100 150 200 250 300 0
20 40 60 80 100
載荷圧 po 必要支保内圧pr
50 100 150 200 250 300
載荷圧 po 1.0
0.5 0.2
(kPa)
(kPa) (kPa)
0.2 0.5 1.0
(a)033025
1.0 0.5
0.2 0.2
0.5 1.0 1.0 (kPa)
(b)033040
(c)053025 (d)053040
=0.1
=0.1
=0.1 =0.1
実験値
近似線（実験値）
実験値
近似線（実験値）
実験値
近似線（実験値）
実験値
近似線（実験値）
(kPa)
（a）033025 （b）033040
（d）053040
（c）053025
ことによりトンネル壁面におけるロックボルト頭部軸力ܨ 求めることができるから，
ܨ=නା
ߚ݈
ܾ߬
݂݀ݎ
=නା
ߚ݈
ܾቀܿ
݂+ ߪ
ݐtan ߶
݂ቁ݀ݎ
ここで
ߪ
௧ については別途求めておかなければならない．式(5.7)の境界条件と同様の，ݎ=ܽ+݈：
ߪ
ݎ=
തതതതoݎ=ݎ+݈：
ߪ
ݎ= ߪ
ݎを適用すれば，式（5.9）と類似の次式が得られる．
ߪ
=൬
ഥ
o−݇ݍ
௨+ ܿ
∗1 −݇ζ
൰൬
ܽ+ݎ ݈൰
1−݇ζ+݇ݍ
௨+ ܿ
∗1 −݇ζ
したがって，式（5.14）を式(5.2)に代入すれば
ߪ
௧ を求めることができる．以上から，式（5.12）をロックボルト全長にわたって積分すれば，
ܨ=
ߚ݈
ܾ݈
ቈܿ
݂+
ቊ1
݇ζቆതതത−୭ ݇
ݍ
ݑ+ ܿ
ܾ∗1 −݇ζ ቇ(1 +
ߟ
݈)− 1(1 +
ߟ
݈)ିଵ +݇ݍ
ݑ+ ܿ
ܾ∗1 −݇ζ ቋ
tan ߶
݂を得る．
ܨ
がベアリングプレートを介して支保内圧にすべて換算されるものとすれば次式 が成り立つ．= ܨ
ܵ
ݖܽ߮
ここで，
ܵ
௭ܽ߮
はロックボルト１本当たりが負担するトンネル壁面の面積である．式（5.16） によって与えられる支保内圧を，ロックボルトの付着抵抗によって発揮される有効支保内 圧とする．図-5.4は式（5.16）で定義される有効支保内圧の理論値を，載荷圧と付着度係数の関係か ら求めたものである．本図より，付着度係数が大きいものほど同じ載荷圧でも発揮される支 保内圧が大きいことがわかる．また，ロックボルト長5cmのケースは3cmのケースに比べ て縦軸切片値が大きく，理論直線の傾きはロックボルトの打設間隔に依存することも読み
（5.12）
（5.13）
（5.14）
（5.15）
（5.16）
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とれる．これらの理論直線で表される現象は，載荷圧増加にともなって頭部軸力（＝みかけ の支保内圧）が線形増加する実験結果を再現している．図中に実験値（○印）およびその線 形近似線（破線）を図-5.3 と同様に示している．実験値において載荷圧がある段階に達し ないと支保内圧が現れない現象については先に述べた理由と同じである．
各ケースの近似線は，載荷圧の増加にともなって
ߚ
の大きな理論直線に向かっていく様 子がわかる．すなわち，載荷圧増によってつり合いを保つように付着度を発揮する．ただし，0 50 100 150 200 250 300 0
20 40 60 80 100
載荷圧 po 有効支保内圧pb
50 100 150 200 250 300
載荷圧 po 0.5
0.2 0.1
(kPa) (kPa)
0.5
0.2 0.1
50 100 150 200 250 300 0
20 40 60 80 100
載荷圧 po 有効支保内圧pb
50 100 150 200 250 300
載荷圧 po
(kPa) (kPa)
0.5
0.2 0.1
0.5 0.5
0.2
0.1
(a)033025 (b)033040
(c)053025 (d)053040
(kPa)
実験値
近似線（実験値）
実験値
近似線（実験値）
実験値
近似線（実験値）
実験値
近似線（実験値）
=1.0
=1.0
=1.0
=1.0
図-5.4 載荷圧と有効支保内圧との関係
（a）033025 （b）033040
（d）053040
（c）053025
いずれのケースも実験値近似線勾配は
ߚ
=0.4 の理論直線勾配とほぼ等しいことから，いく ら載荷圧を増しても付着度係数は0.4を越えることはない．この
ߚ
=0.4 の値そのものの物理的意味については次の２点を念頭に置かなければならな い．第一に，有効支保内圧理論値の算定にはロックボルト引抜き試験の付着特性が用いられ ていることである．引抜き試験の地山はほぼ等方側圧下にあり，トンネル周辺地山のように 劣化してはいない．つまり，引抜き試験で得られた付着特性から有効支保内圧を算定すると 過大な値を与えることになる．本研究の理論展開では塑性後の強度劣化を考慮していない が，実験では強度劣化が生じているものと推定できる．このことから，地山劣化時の付着特 性を用いれば，図-5.4 で与えられた各理論線の勾配は小さくなり，載荷圧を増していくと 各近似線はߚ
=1.0に漸近していく挙動となると考えられる．第二に，ロックボルト打設パターンにかかわらず近似線勾配が同一付着度係数
ߚ
=0.4 の理論線勾配と一致することから，
ߚ
はロックボルトの寸法や打設パターンといった幾何学的 条件には依存せず，地山とロックボルト間の付着抵抗あるいはベアリングプレートのトン ネル壁面における設置状況などの力学的条件に依存すると推定できる．図-5.4 で示した結 果はいずれも周方向打設間隔30°であるため，ベアリングプレートの設置個数すなわちトン ネル壁面に占めるベアリングプレートが同一である．したがって，ベアリングプレートがト ンネル壁面に占める割合もߚ
を特定するひとつの要因になるものと推察される．このことを 示唆する興味深い事例がある．鄭ら 2) はロックボルトとベアリングプレートに関する模型 実験において，ベアリングプレートを大きくすることによってロックボルト頭部軸力が大 きくなることを示し，さらに軸力の最大値がロックボルト頭部側に移行することを示して いる．この現象については斉藤ら3)も数値解析で示している．これらの知見によれば，ベア リングプレートの占める割合が増加するとロックボルト全長に生じる軸力が増すのに加え，最大軸力がトンネル壁面に移行することから，たとえばベアリングプレートがトンネル壁 面を覆うような状況にあれば
ߚ
が1.0の完全一体化となることも推察される．便宜的には，ロックボルトとベアリングプレートあるいは地山との不完全な一体化は付 着度係数