伝達関数の各特性

以下では，図3-3に示す伝達関数を構成する各特性について述べる．

3.3.2.1 スラスト力とナセルピッチ角度の関係

上述の伝達関数を表現するための仮定(d)で記載したように，ナセルピッチ角度の回転中心（メ タセンター）はナセルピッチ角度の変化に関わらず一定を保持することを想定する．この回転中 心に対するナセル代表点の変化を1次の振動モードと仮定し，この振動を2次の応答特性で表現 する．なお，ナセル代表点とはタワー中心を通る軸とハブの回転軸が交差する点と定義する．

𝐹𝐹_𝑇𝑇𝐿𝐿=𝑀𝑀𝜃𝜃̈+𝐷𝐷𝜃𝜃̇+𝐾𝐾𝜃𝜃 …式(3-1)

𝐺𝐺𝑊𝑊𝑇𝑇1(𝑠𝑠) = 𝜃𝜃(𝑠𝑠) 𝐹𝐹𝑇𝑇(𝑠𝑠) =

𝐿𝐿

𝑀𝑀𝑠𝑠²+𝐷𝐷𝑠𝑠+𝐾𝐾 …式(3-2)

ここで，𝐿𝐿は回転中心からナセル代表点までの距離，𝑀𝑀は2次の応答特性のモーダル慣性，𝐷𝐷は2 次の応答特性のモーダル粘性係数，𝐾𝐾は 2 次の応答特性のモーダル弾性係数，𝑠𝑠はラプラス演算 子，である．なお，式(3-2)は式(3-1)をラプラス変換することで得られる．

2次の応答特性の各係数は下記にて演算する．発電運転から発電を停止するシャットダウンの シミュレーション結果から求める．具体的には，定常風速での運転を所定時間継続した後，シャ ットダウンさせるシミュレーションを実施する．シャットダウンの直前のスラスト力とナセルピ ッチ角度より，下式にてモーダル弾性係数を演算する．

𝐹𝐹_{𝑇𝑇𝑆𝑆𝑆𝑆}𝐿𝐿=𝐾𝐾𝜃𝜃𝑆𝑆𝑆𝑆 …式(3-3)

図3-3. 定常条件での発電機回転速度とナセルピッチ角度の間の特性を表すブロック線図：

浮体動揺制御未適用時

𝐹𝐹_𝑇𝑇−𝜃𝜃relation 𝐺𝐺𝑊𝑊𝑇𝑇1 𝑠𝑠 𝛽𝛽-𝐹𝐹𝑇𝑇relation

+ +

𝑠𝑠 𝐺𝐺𝑊𝑊𝑇𝑇3 𝑠𝑠

𝐺𝐺_{𝑊𝑊𝑇𝑇4} 𝑠𝑠 𝜔𝜔 𝑠𝑠

− 𝜃𝜃 𝑠𝑠

Thrust force 𝐹𝐹_𝑇𝑇

Blade pitch angle 𝛽𝛽 Nacelle

pitch angle

𝜃𝜃̇-𝜔𝜔relation Generator speed+

𝐺𝐺𝑊𝑊𝑇𝑇2 𝑠𝑠

Variable speed control (VSC) 𝐺𝐺𝐶𝐶1 𝑠𝑠 𝜔𝜔-𝐹𝐹𝑇𝑇relation

なお，シミュレーションデータは応答の非線形性があることから，スラスト力はシャットダウン 後，所定期間の平均値を利用し，ナセルピッチ角度もシャットダウン後の所定期間を利用して演 算する．

𝐹𝐹_{𝑇𝑇𝑆𝑆𝑆𝑆} =�^{𝑇𝑇𝑆𝑆𝑆𝑆} 𝐹𝐹𝑡𝑡(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑡𝑡

𝑇𝑇_{𝑆𝑆𝑆𝑆}−𝑇𝑇_{𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎} − �^{𝑇𝑇𝑎𝑎𝑒𝑒𝑒𝑒} 𝐹𝐹𝑡𝑡(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑡𝑡

𝑇𝑇_{𝑎𝑎𝑒𝑒𝑒𝑒}−𝑇𝑇_{𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎}

…式(3-4)

𝜃𝜃_{𝑆𝑆𝑆𝑆}=�^{𝑇𝑇𝑆𝑆𝑆𝑆} 𝜃𝜃(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑡𝑡

𝑇𝑇𝑆𝑆𝑆𝑆−𝑇𝑇𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎

− �^{𝑇𝑇𝑎𝑎𝑒𝑒𝑒𝑒} 𝜃𝜃(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑡𝑡

𝑇𝑇_{𝑎𝑎𝑒𝑒𝑒𝑒}−𝑇𝑇𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎

…式(3-5)

ここで，𝐹𝐹_{𝑇𝑇𝑆𝑆𝑆𝑆}はシャットダウン直前のスラスト力，𝜃𝜃𝑆𝑆𝑆𝑆はシャットダウン直前のナセルピッチ角

度，𝐹𝐹𝑡𝑡(𝑡𝑡)はシャットダウンシミュレーションのスラスト力の時系列データ，𝜃𝜃(𝑡𝑡)はシャットダウ ンシミュレーションのナセルピッチ角度の時系列データ，𝑡𝑡はシミュレーションでの時刻，𝑇𝑇𝑆𝑆𝑆𝑆は シャットダウン時刻，𝑇𝑇𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎はシャットダウン直前の値（平均値）を演算するための時間，𝑇𝑇𝑎𝑎𝑒𝑒𝑒𝑒は シミュレーション終了時刻，である．

モーダル慣性は，2次の応答特性が持つ下式の特性より得られる．

𝑀𝑀= 𝐾𝐾

2𝜋𝜋𝑓𝑓_𝑃𝑃 …式(3-6)

ここで，𝑓𝑓𝑃𝑃はナセルピッチ角度の固有周波数，である．ナセルピッチ角度の固有周波数は，シャ ットダウン後のナセルピッチ角度の応答の周波数特性より取得する．

モーダル粘性係数は，同様に2次の応答特性が備える下式より得られる．

𝐷𝐷= 2𝜁𝜁𝑀𝑀× 2𝜋𝜋𝑓𝑓_𝑃𝑃 …式(3-7)

ここで，𝜁𝜁は2次の応答特性の減衰比，である．減衰比はシャットダウン時のオーバーシュート 量𝑂𝑂𝑠𝑠を利用して，下式より得ることができる．

𝜁𝜁=� (𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑂𝑂_𝑠𝑠)²

𝜋𝜋²+ (𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑂𝑂_𝑠𝑠)² …式(3-8)

また，回転中心からナセル代表点までの距離𝐿𝐿は発電時のシミュレーション結果（図 3-4）よ り取得する．具体的には，変動風速を想定したシミュレーションを実施し，ナセルから浮体最下 部までに設定された代表点の，絶対座標系の前後方向と垂直方向の位置をプロットする．なお，

垂直方向は水面位置（Mean sea level，MSL）が0 mを示す．浮体式洋上風力発電システムが最 も前（Front）側に位置する際でのナセルピッチ角度の変動範囲を点線（Front 1およびFront 2）

で示し，2つの交点（Point A）が前位置でのナセルピッチ角度の回転中心とみなせる．同様に後

（Back）位置でのナセルピッチ角度の変動範囲を破線（Back 1およびBack 2）で示し，2つの交 点（Point B）から後位置でのナセルピッチ角度の回転中心位置を得る．得られた2 つの交点位 置の垂直位置の平均値と，水面からのハブ高さに基づき，ナセル代表点からナセルピッチ角度の 回転中心までの距離を決定する．

3.3.2.2 発電機回転角速度とスラスト力の関係

本関係は，シミュレーションから得られる定常特性に基づいて決定する．図 3-5に，発電機回 転角速度とスラスト力の関係をプロットした結果を示す．本関係は，発電機回転角速度の最小値 より大きく，最大値よりも小さい範囲のデータを2次曲線で近似し，その傾きを利用することで 決定する．上記2次曲線を下式で定義する．

𝐹𝐹_𝑇𝑇=𝑎𝑎_𝑔𝑔ω²+𝑏𝑏_𝑔𝑔𝜔𝜔+𝑐𝑐_𝑔𝑔 …式(3-9)

ここで，𝑎𝑎_𝑔𝑔，b_𝑔𝑔，およびc_𝑔𝑔は発電機回転角速度とスラスト力の関係を近似した2次曲線の係数で ある．得られた2次曲線を利用し，本関係の伝達関数を下式で定義することで，発電機回転角速

図3-4. 浮体式洋上風力発電システムに設定した代表点の位置変化

(a) 浮体式洋上風力発電システム (b) 陸上風力発電システム

図3-5. 定常シミュレーション結果に基づく，定常条件での発電機回転角速度とスラスト力の

関係

Point A

Point B

Generator fore-aft position [m]

Global vertical position (MSL) [m]

Node 1 (MSL+53.8m)

Node 19 (MSL+12m)

Node 25 (MSL 0m)

Node 38 (MSL-26m)

Node 51 (MSL-50m)

Node 64 (MSL-76m)

Back2 Front2

Front1

Back1

Front Back

Mean sea level (MSL)

Generator speed [rpm]

High Low

Rotor thrust force [kN]

High

Low

𝐹𝐹𝑇𝑇= 0.003𝜔𝜔²+ 0.1844𝜔𝜔 −69.656 𝐹𝐹𝑇𝑇= 0.0028𝜔𝜔²+ 0.032𝜔𝜔 −4.4566

Generator speed [rpm]

Low High

Rotor thrust force [kN]

High

Low

度の変化からスラスト力の変化を得る．

𝐺𝐺_{𝑊𝑊𝑇𝑇2}(𝑠𝑠) =�2𝑎𝑎_𝑔𝑔𝜔𝜔_{𝑟𝑟𝑎𝑎𝑡𝑡}+𝑏𝑏_𝑔𝑔�𝐿𝐿 …式(3-10)

ここで，ω𝑟𝑟𝑎𝑎𝑡𝑡は発電機回転角速度の定格値である．

3.3.2.3 ブレードピッチ角度とスラスト力の関係

本関係も，シミュレーションにて得られる定常特性に基づいて決定する．図3-6に，ブレード ピッチ角度とスラスト力の関係をプロットした結果を示す．本関係はプロット結果を2次曲線で 近似し，その傾きを利用して決定する．この2次曲線を下式で定義する．

𝐹𝐹_𝑇𝑇=𝑎𝑎_𝑏𝑏𝛽𝛽²+𝑏𝑏_𝑏𝑏𝛽𝛽+𝑐𝑐_𝑏𝑏 …式(3-11)

ここで，𝑎𝑎𝑏𝑏，b𝑏𝑏，およびc𝑏𝑏はブレードピッチ角度とスラスト力の関係を近似した2次曲線の係数，

𝛽𝛽はブレードピッチ角度，である．得られた2次曲線を利用し，本関係の伝達関数を下式で定義 する．

𝐺𝐺𝑊𝑊𝑇𝑇3(𝑠𝑠) =�2𝑎𝑎𝑏𝑏𝛽𝛽𝑟𝑟𝑎𝑎𝑟𝑟+𝑏𝑏𝑏𝑏�𝐿𝐿 …式(3-12)

ここで，𝛽𝛽𝑟𝑟𝑎𝑎𝑟𝑟は想定した風速で平均的に利用されるブレードピッチ角度である．

3.3.2.4 ナセルピッチ角速度と発電機回転角速度の関係

本関係の導出方法を以下に示す．ただし，ナセルピッチ角度によって発生する風速がすべてロ ータパワーへ変換されることを仮定する．風力エネルギーからロータが得るパワー（ロータパワ ー）は下式にて演算できる．

𝑃𝑃=𝑞𝑞𝜔𝜔=1

2𝜌𝜌𝜌𝜌𝐶𝐶𝑟𝑟𝑣𝑣³ …式(3-13)

ここで，𝑃𝑃はロータパワー，𝜌𝜌は空気密度，𝜌𝜌はロータ面積，𝐶𝐶𝑟𝑟はパワー係数，𝑣𝑣は風速，𝑞𝑞は発 電機トルク，である．ただし，発電機回転角速度と風速はナセルピッチ角度の微小変化が発生し た場合の微小変化分とする．上式を微分することで下式が得られる．

𝑑𝑑𝑞𝑞

𝑑𝑑𝑡𝑡 𝜔𝜔+𝑞𝑞𝑑𝑑𝜔𝜔 𝑑𝑑𝑡𝑡 =1

2𝜌𝜌𝜌𝜌𝑑𝑑𝐶𝐶𝑟𝑟

𝑑𝑑𝑡𝑡 𝑣𝑣³+3

2𝜌𝜌𝜌𝜌𝐶𝐶𝑟𝑟𝑣𝑣²𝑑𝑑𝑣𝑣

𝑑𝑑𝑡𝑡 …式(3-14)

ここで，上記仮定(d)に基づき，パワー係数は時間に応じて変化せず一定であること，および定 格条件での発電機トルクが一定であると仮定すると，下式が得られる．

𝑑𝑑𝜔𝜔

𝑑𝑑𝑡𝑡 =3𝜌𝜌𝜌𝜌𝐶𝐶𝑟𝑟𝑣𝑣² 2𝑞𝑞

𝑑𝑑𝑣𝑣

𝑑𝑑𝑡𝑡 …式(3-15)

また，ロータに流入する風速（ナセルピッチ角度変化で発生する風速）とナセルピッチ角度に は下式の関係が成立する．

𝑣𝑣=−𝐿𝐿𝑑𝑑𝜃𝜃

𝑑𝑑𝑡𝑡 …式(3-16)

上式を微分すると下式を得る．

𝑑𝑑𝑣𝑣

𝑑𝑑𝑡𝑡 =−𝐿𝐿𝑑𝑑²𝜃𝜃

𝑑𝑑𝑡𝑡² …式(3-17)

式(3-15)に式(3-17)を代入すると，下式が得られる．

𝑑𝑑𝜔𝜔

𝑑𝑑𝑡𝑡 =−3𝜌𝜌𝜌𝜌𝐶𝐶𝑟𝑟𝑣𝑣²𝐿𝐿 2𝑞𝑞

𝑑𝑑²𝜃𝜃

𝑑𝑑𝑡𝑡² …式(3-18)

上式をラプラス変換することで下式が得られる．

𝜔𝜔(𝑠𝑠) =−3𝜌𝜌𝜌𝜌𝐶𝐶𝑟𝑟𝑣𝑣²𝐿𝐿

2𝑞𝑞 𝑠𝑠𝜃𝜃(𝑠𝑠) …式(3-19)

上式からゲインのみ取出すと，本関係の伝達関数が得られる．

𝐺𝐺_{𝑊𝑊𝑇𝑇4}(𝑠𝑠) =3𝜌𝜌𝜌𝜌𝐶𝐶_{𝑟𝑟𝑟𝑟𝑎𝑎𝑟𝑟}𝑣𝑣_{𝑟𝑟𝑎𝑎𝑟𝑟}²𝐿𝐿 2𝑞𝑞𝑟𝑟𝑎𝑎𝑟𝑟

…式(3-20)

ここで，𝑣𝑣𝑟𝑟𝑎𝑎𝑟𝑟は本関係を記述する際の代表風速（本報告では14 m/s），𝐶𝐶_{𝑟𝑟𝑟𝑟𝑎𝑎𝑟𝑟}は代表風速における

パワー係数，𝑞𝑞𝑟𝑟𝑎𝑎𝑟𝑟は代表風速における発電機トルク，である．

3.3.2.5 可変速制御（VSC）の特性

VSCは比例積分制御（Proportional-Integral control，PI control）に基づいて特性を決定する．

𝐺𝐺_𝐶𝐶1(𝑠𝑠) =𝐾𝐾_𝑃𝑃+𝐾𝐾_𝐼𝐼1

𝑠𝑠=𝐾𝐾_𝑃𝑃+𝐾𝐾𝑃𝑃

𝑡𝑡_𝐼𝐼 1

𝑠𝑠 …式(3-21)

ここで，𝐾𝐾𝑃𝑃は比例ゲイン，𝐾𝐾𝐼𝐼は積分ゲイン，𝑡𝑡𝐼𝐼は積分時間，である．

ドキュメント内 浮体式洋上風力発電システムの運転制御に関する研 究 (ページ 54-58)