ネストを集計した場合

131

= (

γkDexp (

V_Dk^O + ˆV_k^O ))_1/µD (expV_D^′O)1/µD =

∑

o∈OHoQˆ^o_k(D)

∑

o∈OHoP_D^o (7.34)

と等価である．式(7.34)について対数を取り，1/µ_Dで除すことにより，

V_Dk^O =V_D^′O−Vˆ_k^O+µ_Dln

( ∑

o∈OH_oQˆ^o_k(D) (∑

d∈Dγkd

)1/µD∑

o^′∈OHo^′P_D^o′ )

(7.35) を得る．これらの式のうち，式(7.29)，(7.31)，(7.34)が，GNL モデルにおける出発地側の満た すべき集計ルールとなる．

出発地，目的地あわせ，式(7.27)–(7.29)，(7.31)，(7.32)，(7.35)が全体として満たすべき集計 ルールである．

においてはV_j^′，V_jk に分離することとなる．そして，最後のV_jk についてはモデルにより加わる 項が異なる．この事実から，さらにネストを重ねたモデルや GNL モデルにさらにネストを付加 したもの (高橋・大野，2001 [116]；Koppelman and Sethi，2005 [67]) では，この項のみが変化 するものと容易に推測できる．これは，NL，GNL モデルの Vjk に関する条件に含まれるV_j^′ に ついてその集計ルールの条件を代入し，整理すると，異なるのが最後の項(Υ) のみとなる．

次に，集計により各確定的効用項がどのように変化するのかを示そう．どのモデルにおいても，

V˜J については，Sweet でいうセントラル・ログサムにあたる．従がって，Sweet の式(12) と同 様に，

minj∈J

V˜j ≤V˜J ≤max

j∈J

V˜j (7.36)

となる．V˜_J^′ についても同様に，

minj∈J

(V˜_j+V_j^′

)−max

j∈J V_j^′ ≤V_J^′ ≤max

j∈J

(V˜_j+V_j^′

)−min

j∈J V_j^′ (7.37)

を得る．V_{J k} については，V_J^′ は式(7.37)に示すとおりであり，Vˆ_k は集計と無関係であるため定 数である．従がって，V_{J k} の上限，下限は最後の項Υに左右される．Υは，P_k|j をP_j で重み付 けしたものを µj 乗したものを，γ_kJ で除し，対数をとったものである：

Υ = ln (

∑ 1

j∈Jγ_kj (∑

j∈jP_k|jP_j

∑

j^′∈JP_j′

)µj)

. (7.38)

ここで，式(7.9)，(7.10)より，

0≤∑

j∈J

γ_kj =γ_kJ ≤1 (7.39)

である．

133

表7.3:MNL,NL,GNLモデルにおける集計ルール：ネストjを集計する場合 Model˜VJV′ JVJk    MNL˜VJ=ln∑ j∈Jexp˜Vj—VJk=ln∑ j∈JexpVjk−ln∑ j∈Jexp˜Vj−ˆVk    NL˜VJ=ln∑ j∈Jexp˜VjV′ J=ln∑ j∈Jexp( ˜Vj+V′ j) −ln∑ j∈Jexp˜VjVJk=V′ J−ˆVk+µJln(P j∈JPjPk|jP j′ ∈

JPj′)    GNL˜VJ=ln∑ j∈JexpˆVjV′ J=ln∑ j∈Jexp( ˜Vj+V′ j) −ln∑ j∈Jexp˜VjVJk=V′ J−ˆVk+µJln(P j∈JPjPk|j (P j∈Jγkj)1/µJP j′ ∈ JPj′

)   

表7.4:MNL,NL,GNLモデルにおける集計ルール：選択肢kを集計する場合 ModelˆVKVjK    MNLˆVK=ln∑ k∈KexpˆVkVjK=ln∑ k∈KexpVjk−ln∑ k∈KexpˆVk−˜Vj    NL∗ˆVK=µjln∑ k∈K

( expˆVk)1/µj VjK=µjln∑ k∈K(expVjk)1/µj −µjln∑ k∈K

( expˆVk)1/µj    GNLˆVK=µjln( 1 γKj∑ k∈K( γkjexpˆVk)1/µj) VjK=µjln( 1 γKj∑ k∈K(γkjexpVjk)1/µj) −µjln( 1 γKj∑ k∈K

( γkjexpˆVk)1/µj)    ∗ Ivanovaをはじめ，既存研究では，NLモデルにおいて選択肢を集計した場合を求めているものはない．今回はGNLモデルの場合と同様に 求めた．

135 一般的にγ_kJ が大きい場合，つまり多くのネストを束ねた場合，Υはマイナスになりやすくなる．

また，式(7.8)，0≤P_j ≤1，0≤P_k|j ≤1より，

0≤ (∑

j∈JP_jP_k|j

∑

j^′∈JP_j′

)µj

≤1 (7.40)

である．一般的にP_k|j が大きい場合，つまりネストj に属する選択肢が魅力的な場合，Υはプラ スになりやすくなる．最終的な Υの正負は式(7.39)，(7.40)の大小で決まる．しかし，Υの最大 値，最小値は決めることはできず，VJ k についても同様となる．

最後に，各モデルの選択確率(Wen and Koppelman) と，各モデルのネストの集計ルールにお ける条件間は整合的であることを示そう．µ_J →0とすると，NLモデルの場合の Vˆ_{J k} に関する条 件は，

V_{J k|NL} =V_J^′−Vˆ_k = ln∑

j∈J

expV_jk−ln∑

j∈J

exp ˜V_j −Vˆ_k =V_{J k|MNL} (7.41) となり，NL モデルの条件はMNLモデルのそれに帰着する．同様に，γ_kj →1とするとGNL モ デルにおける Vˆ_{J k} に関する条件は，

V_{J k|GNL} =V_J^′−Vˆ_k+µ_Jln





∑

j∈JPjP_k|j (∑

j∈J1

)1/µJ∑

j∈JP_j





=V_J^′−Vˆ_k+µ_Jln (∑

j∈JPjP_k|j

∑

j∈JP_j )

=V_{J k|NL} (7.42)

となり，GNL モデルの条件は NL モデルのそれに帰着する．VJ 及び V_j^′ に関する条件はNL モ デルとGNLモデルで同じであるため，各モデルにおける選択確率の関係性と，ネストの集計ルー ルの条件の関係性は整合的であるといえる．