お 10

、..，..;

〉、

. . . . .

，  

ω  C :  

n 

g 1 ^ぴ

‑・圃圃・・

z  ω 

1 0  

1 0   100 

Number o f  C12PPy l a y e r s  

Fig.5.7  The  dependence  of  second‑harmonic  intensity  of  hetero‑Y type  C12PPy LB  films  on  number of  dcposited C12PPy monolayers. 

‑104 ‑

5.  3  フ ェ ニ ル ピ ラ ジ ン 誘 導 体 非 対 称Langmuir‑Blodgett膜 を 用 い た 導 波 路 デ バ イ ス の 設 計

5.  3.  1 mラ イ ン 法 に よ る 屈 折 率 の 評 価

導 波 路 デ バ イ ス の 設 計 を 行 う 上 で 、 導 波 路 と な る 薄 膜 の 屈 折 率 の 異 方 性 や 波 長 分 散 を 正 確 に 評 価 す る こ と が 必 要 不 可 欠 で あ る 。 こ こ で は 、 実 際 に 非 対 称LB膜によ り 導 波 路 を 作 製 し 、 プ リ ズ ム カ ッ プ リ ン グ に よ り 導 波 路 に 導 波 光 が 励 起 さ れ る 際 の 際 の 導 波 光 の 導 波 次 数 と 入 射 角 と の 関 係 か ら 屈 折 率 を 求 め た (mライン法)。

ま ず 光 導 波 路 の 理 論 に つ い て 簡 単 に ふ れ た 後 、 具 体 的 な 測 定 法 に つ い て 述 べ る 。

光 導 波 路 の 理 論6‑9) 

Fig.5.8に 示 す よ う な ク ラ ッ ド 層 / 導 波 層 / 基 板 か ら な る ス テ ッ プ 型 二 次 元 導 波 路 を 考 え る ( こ こ で は 導 波 層 膜 厚 をWと し て い る ) 。 導 波 路 上 下 の 境 界 面 で 光 が 全 反 射 す る 臨 界 角

e

^cお よ び

e

^aはスネルの式から以下のように表すことができる。

。

^{c=sin‑1(nc/nf) (5.1)} 

。

日

^{=sin‑1(n自/nf) (5.2)} 

一般に nc 

< 

n aなので

e

^c 

<  e 

^aで あ る 。 こ の 臨 界 角 を 基 準 と し て 、 入 射 角 0のとる 値は1)θa

<  e  < 

90^0、

2)e

c

<e<e

a、3)

e  <  e 

cの3つに分けられる (Fig.5.9)。

e 

^a 

<  e  < 

90⁰で は 、 光 は 上 下 の 境 界 面 で 全 反 射 を 繰 り 返 し ジ グ ザ グ 経 路 を 通 り 導 波 路 内 を 伝 搬 す る 。 こ れ が 、 光 が 導 波 路 層 に 閉 じ 込 め ら れ 伝 搬 し て い く 導 波 モ ー ド

(guided  mode)である。また、

。

^c

^{<  e}

^く

^e

^aの 場 合 に は 光 は ク ラ ッ ド 層 と の 境 界 で は 全 反 射 す る が 基 板 と の 界 面 で は 全 反 射 は 起 こ ら ず 一 部 光 が 基 板 側 へ 漏 れ る こ と に な

る 。 こ れ を 基 板 放 射 モ ー ド (substrateradiation mode)という。

e <  e 

^cの 場 合 に は 両 方 の 境 界 面 で 全 反 射 は 起 こ ら ず 光 が 漏 れ る こ と に な り 、 基 板 ー ク ラ ッ ド 放 射 モ ー

ド(substrate‑clad radiation  mode)と呼ばれる。

導 波 路 内 を 伝 搬 す る 光 の 波 動 ベ ク ト ル kn fは、 X方向 Z方 向 そ れ ぞ れ の 伝 搬 方 向 成 分kx = k 0 n f cos 

e

とkz = k 0 n fsin 

e

に分けられる。とこで、 kzは 導 波 路 内 を 伝 搬 す る 光 の 進 行 方 向 の 伝 搬 定 数 O^{に対応しており、} N= n fsin 

e

は 導 波 光 に 対 す る そ の 媒 体 の 等 価 屈 折 率(effectiveindex)と し て 定 義 さ れ る 。 入 射 角 0に対する 波 モ ー ド の 存 在 範 囲 を こ の N を用いて表すと、

naくNく nf _(5. 3)  と な る 。 一 方 、 放 射 モ ー ド は N

< 

n aの時に生じる。

‑105 ‑

x 

ミ4

。

^n ( .r ) 

上部クラ ソド層 (nc ) 

¥ 

︑.B ' ' '

‑r'‑n一︐

︐ ︐

E︑ ︑

戸

層 一

式 以

一

j 

E

一

上W了l

)J~ t反(n5 ) 

-w~ 一一一ー

Fig.5.8  Two‑dimensional  waveguide 

nて

n( 

a)  guided mode θ聞く B

< 

90⁰ 

れ_ぞ

!l， 

'J 

︑

︐ ︐

L'

. ︐ ︐  

b)  substrate  radiation mode  B c 

< 

Bく O^目

‑f l 

︐

︐ ︐

 

ll( 

月5

c)  substrate‑clad  radiation  mode θ<θc 

Fig.5.9  Light wave in  a)  guided  mode.  b)  substrate radiation  mode  and  c)  substrate‑clad  radiation  mode. 

‑106 ‑

次 に 、 マ ッ ク ス ウ エ ル 方 程 式 を 解 く こ と に よ り 導 波 条 件 を 表 す 固 有 値 方 程 式 を 導 く 。 等 方 的 で 無 損 失 な 誘 電 体 媒 体 で の マ ッ ク ス ウ エ ル 方 程 式 は

δ E   ijxE= 

一

μ

。 一 一 一

δ t   δ E   ijxH=εo n ² 一 一 一

δ t  

(5. 4) 

(5. 5) 

となり、 εO 、μ。は真空中の誘電率と透磁率であり、 nは誘電体の屈折率である。

光 波 の 伝 搬 方 向 を z軸 に と り 、 伝 搬 定 数 をOとし E 

= 

^{E (X. Y) exp i} (ωt ‑s Z)  H 

= 

^{H (X. Y) exp i (ωt‑βZ)} 

(5.6)  (5. 7)  なる平面波を考える。 Fig.5.8の よ う な ス ッ テ プ 型 二 次 元 導 波 路 の 場 合 、 電 磁 界 成 分 はy方 向 に は 一 様 で あ り xのみの関数となる。よって、 δ/ot=iω、o / o  

z = i s、δ / δ y = oとし、式 (5.6)(5.7)を式 (5.4)(5.5)に 代 入 す る と 以 下 の 式 が得られる。

δ Ey δ Hx 

= μ

。

(5.8) 

δ z δ t   δ Hy  o E x 

=一

εon 2 

δ z   δ t   δEx  δ Ez 

‑ μ

。

δ z   δ x   o H x  δ Hz 

=εo n 2 

o z  δ x  

δ Ey 

。

Hz

=一

μ

。

δ z   δ七

δ Hy δ Ez 

=ε o n 2 

δ z δ t  

(5. 9)  δHy  (5.10)  δ t  

δEy  (5.11)  δ t  

(5.12) 

(5.13)  上式からわかるように、 Ey、Hx、Hzの 成 分 か ら な る も の と Ex、Hy、Ezの成分 か ら な る も の 互 い に 直 交 す る 電 磁 界 が 存 在 す る 。 前 者 を T Eモ ー ド と い い 、 後 者 を T Mモ ー ド と い う 。 式(5.8)‑"(5.13)か ら 、 そ れ ぞ れ の モ ー ド に 関 す る 波 動 方 程 式 が 得られる。

T Eモードに関しては、

‑107 ‑

a 

2 E y  2  2  2 

+(kon  ‑s ) E y = 0  (5.14)  δ x2 

Hx=一

。

Ey  (5. 15) 

ωμ

。

l 

a 

E y 

Hz=一 (5.16) 

1ωμ

。

δ x  

であり、 T Mモードに関しては、

δ2Hy  2 2  2 

+(kon  ‑s  ^)Hy 

。

(5.17)  δ x2 

Ex= ‑

。

Hy  (5. 18)  wεo n ² 

1 

a 

^H y 

E_z= 一 (5.19)

iωεo n 2 δ x  

で あ る 。 各 領 域 に お け る こ れ ら の 波 動 方 程 式 の 解 を 求 め 、 x=0お よ びx = ‑ wでの 境界条件から、 T Eお よ びT Mの固有値方程式を得ることができる。

T Eモ ー ド に つ い て 波 動 方 程 式 か ら 各 領 域 に お け る Ey (X)の解を求めると、

ー'? ‑ ?  ‑r、、

しー」ー に 、

Ey= Ecexp(ー γ x )， X>O (クラツド層)

E y = E f COS ( k x x +φc)，  ‑W<X<O(導波層) (5.20) 

2  2 1/2  2  2 1/2  2  2 1/2 

γc=ko(NL-n~) 、 kx^{= ko(n~-N 、) γs= ko(N‑‑ns) (5.21)}  で あ る 。 境 界 面 に お い て 電 磁 界 成 分 Eyと Hzが連続であることから、 x=0で

〔

「

^EL

^い

^{C戸 =E f ω}  

tan φc=yc/kx  (5.22)  x = ‑ wで、

〔

「

^EL

^{レ 一}

^{S戸λ =E 山 山 山fCfバ川川川Cωω州Oω州O S叫((k x}

t

切an川(kxW一φc)=ys/ kx (5.23) 

と い う 境 界 条 件 が 得 ら れ る 。 こ れ ら の 条 件 よ り 、 以 下 に 示 す 導 波 モ ー ド の 固 有 値 方 程式が得られる。

2 k 0 n f W cos 

e  ‑

2φ f'C ‑2φ f's=2mπ  (5.24)  ただし、 2φ ^f'Cお よ び2 φ mは ク ラ ッ ド 層 お よ び 基 板 境 界 で の 反 射 に 伴 う 位 相 の ず れ

‑108 ‑

を表す項であり、

φPC = tan‑1 (y x/ k C)  (5.25)  φP S = ta n ‑1 ( Y x / k S)  (5. 26)  である。また、 mは 導 波 光 の モ ー ド 番 号 で 0以 上 の 整 数 で あ る 。 こ の 式 (5.24)は導 波 光 が 存 在 す る 条 件 を 示 し て い る 。 定 性 的 に 見 て み る と 、 こ の 式 は 導 波 路 内 を 光 が x方 向 に 1往 復 し た 際 に 位 相 が2mπ だ け ず れ る 、 す な わ ち x方 向 に 定 在 波 を つ く る 条件であり、言いかえれば、 x方 向 に 定 在 波 を つ く る 場 合 に は 導 波 光 が 存 在 で き る が 、 定 在 波 を つ く ら な い 場 合 導 波 路 内 の 光 は 打 ち 消 し 合 い 消 滅 し て し ま う こ と を 示

している。

各 層 の 屈 折 率 と 導 波 路 膜j享Wが 与 え ら れ る と 、 式 (5.25)より kxが 求 め ら れ 、 式 (5.22)より導波モードの等初日照折率Nを 計 算 で き る 。 ま た 、 導 波 路 内 に は n聞く N<

nfを 満 た す 範 囲 に お い てmの 値 に 応 じ て0次、 1次、 2次 … … と い く つ か の 導 波 光 が 存在可能である。 1'"'‑'3次 数 の 導 波 モ ー ド の 電 界 分 布 Ey (X)を Fig.5.10に示す。

T Mモ ー ド の 場 合 に も 同 様 の 手 順 で 波 動 方 程 式 を 解 く こ と が で き 、 得 ら れ る 固 有 値 方 程 式 は φPCとφFSの 値 が 異 な る だ け で 式 (5.25)と 全 く 同 じ 形 式 と な る 。 こ の 場 合φPCとφFSの値は、

φFc=tan‑1(n;y y/n:k c)  (5.27)  φF S = ta n ‑1 ( n Sγx/n:k s)  (5.28)  である。

TE

.l 

TE

^， 

Tl( 

丸，

れs

Fig.5.10  Mode distribution function  in  three‑layer waveguide. 

‑109 ‑

こ の 実 験 で は 、 プ リ ズ ム カ ッ プ リ ン グ に よ り 導 波 モ ー ド が 励 起 し 、 導 波 モー ドが さ れ る 入 射 角 か ら 伝 搬 定 数 Gを 求 め る 。 こ の 0の 値 を 用 い 式 (5.24)に基づきニュー

ト ン ・ ラ プ ソ ン 法 な ど の 数 値 計 算 に よ り 屈 折 率 お よ び 膜 厚 の 値 を 決 定 す る 。

Fig.5.11に 示 す よ う に 、 基 板 と 導 波 層 か ら な る 2層 型 の 導 波 路 に プ リ ズ ム に よ る カ ッ プ リ ン グ で 導 波 光 を 励 起 す る 場 合 を 考 え る 。 外 部 か ら プ リ ズ ム に 光 を 照 射 す る と 、 光 は 屈 折 角 epで プ リ ズ ム 底 而 に 達 し そ こ で 全 反 射 す る 。 反 射 す る 際 、 光 は プ リ ズ ム 底 面 に お い て エ バ ネ ツ セ ン ト 波 と し て 外 部 に か な り し み だ し て い る 。 プ リ ズ ム

と 導 波 路 と の 間 の 距 離 を 波 長 オ ー ダ ー 以 下 ま で 小 さ く す る と 、 こ の エ パ ネ ッ セ ン ト 波 は 導 波 路 内 ま で 十 分 に し み だ す こ と に な る 。 こ の と き 、 エ パ ネ ツ セ ン ト 波 のz方 向 へ の 伝 搬 定 数 s^pが 導 波 光 の 伝 搬 定 数 Oと一致 し て い る と 、 光 は 導 波 路 ヘ 移 行 し 導 波 光 が 励 起 さ れ る こ と に な る 。 こ こ で spは

。

p=s=konpsinθp ^(5. 29)  で あ る 。 よ っ て 、 プ リ ズ ム に よ る カ ッ プ リ ン グ で 導 波 光 を 励 起 し 、 そ の 際 の

e

^pから

0を 知 る こ と が で き る 。 最 低 次 の 導 波 モ ー ド (m=0)だ け で な く 、 高 次 の 導 波 モ ー ド に 関 す る 日 の 値 を 2つ以上得ることができれば、 2変 数 数 値 計 算 に よ り 屈 折 率 と 膜 厚とを同時に決定できる。

ドキュメント内 九州大学学術情報リポジトリ (ページ 109-115)