[PDF] Top 20 不均一分散・非正規性とOLS 計量経済学 鹿野研究室 note20

... ⊲ 分散の推定方式次第で、標準誤差・ t 値が大幅に変わる。ホワイトの頑健なバージョ ンをレポートすべき。 ( 幸い）この例では、どちらの標準誤差でも全ての係数が統計 的に有意。 ⊲ 均一分散ならば、通常の標準誤差とホワイトの標準誤差にあまり差が出ないはず。 ∴ 標準誤差の比較は、 均一分散の仮定が正しいか否かの簡便なチェ ... 完全なドキュメントを参照

... X ∼ N(µ, σ 2 ) −−−−−−−−−−−−→ 変換 Y = a + bX Y ∼ . (4) ⊲ ∴ 正規確率変数を一次変換 ⇒ 期待値は µ → a + bµ 、分散は σ 2 → b 2 σ 2 に置き換わ るが、分布型は正規分布（左右対称・釣り鐘型）のまま。 ⊲ 注意：期待値の公式・分散の公式（講義ノート #02 ）より、どんな確率変数でも一次 ... 完全なドキュメントを参照

... ), i = 1, 2, . . . , n. (M) ただし u 1 , u 2 , . . . , u n は互いに独立（ 独立標本 の仮定） 。 右辺第 1 項は母平均 µ、観測を通じて一定。 第 2 項は、正規分布に従い確率的に変動するノイズで、 誤差 ... 完全なドキュメントを参照

... 3. 補足：グループ平均による回帰分析のように、不均一因子が定義上確定する場合以外で は、誤ったウェイトによる WLS を実行してしまうリスクがある。場合によっては、誤っ たウェイトは不均一分散を悪化させる。 WLS に代えてホワイトのアプローチが最近好ま れる理由は、ここにある。 （復習問題 #20 も参考。 ） ... 完全なドキュメントを参照

... 一つの母数 θ に対し、複数の不偏推定量が存在する場合は？⇒ そ の中で分散 Var(ˆ θ) が最も小さい ˆ θ を 有効推定量 と呼ぶ。 有効性の意味： θ を軸にしたブレが最も小さく、安定して いる。 ... 完全なドキュメントを参照

... . (20) 注意： u i は観測できないので、 標本共分散 s Xu は 計算できない 。  不偏性： FA1 、 FA2 が成立すれば、 OLS 推定量は β の 不偏推定量 。 E( ˆ β ) = β. (21) ⊲ ∴ 古典的仮定よりかなり 緩い 前提でも、 OLS は不偏性を持つ。 ... 完全なドキュメントを参照

... 1. 通常の OLS の分散推定法は、 誤差項が均一分散である場合のみ正しい。 しかしながら現 実のデータは、均一分散である保証がない。一方ホワイトのアプローチは、誤差項が均一 分散でも、不均一分散でも正しい手法である。このため、実証分析では後者を採用したほ うが良い。 ... 完全なドキュメントを参照

... ∴ Y i の期待値は X i に依存、しかし分散は σ 2 で一定。 ⊲ さらに CA5 より Y i = α + βX i + u i の分布は、 u i ∼ N(0, σ 2 ) を α + βX i だけズラすと Y i ∼ N(α + βX i , σ 2 ). (8) ∴ X i に依存して母平均（重心）がシフトする正規分布。 CA5 が無いと Y i の分布型が ... 完全なドキュメントを参照

... 漸近正規性 標本分布が正規分布で近似 漸近（今回） 漸近有効性 最小分散の漸近有効推定量 漸近（今回） ⊲ 漸近理論では が最も重要・基本 ∴ 小標本の不偏性のような役回り。 ⊲ 漸近正規性により、 誤差項の正規性 u i ∼ N(0, σ 2 ) は不要に。 ... 完全なドキュメントを参照

... 結論： OLS が α、β の不偏推定量・一致推定量となるための条件 は、回帰分析の 根源的仮定 （ fundamental assumptions、FA）。 仮定 2 （根源的仮定） 外生性 : E(u i |X i ) = 0, (FA1) 独立な標本 : 異なる観測 (X i , Y i ) と (X j , Y j ) は互いに独立. ... 完全なドキュメントを参照

... WLS の最大の利点は有効性（推定精度の改善）にあり！ ガウス・マルコフの定理（前期の講義ノート） ：誤差項分散の 均一性は、 OLS が最小分散となるための条件の一つ。 ∴ 誤差項が不均一分散ならば、均一分散に補正することで、 ... 完全なドキュメントを参照

... Remark 1 表 1：古典的仮定の各仮定と、 ˆ β の確率論上の性質・性能。 仮定の追加で、 ˆ β の性質がより具体的に。 仮定 (CA5) によってはじめて、 ˆ β の分布型が正規分布に特定 される。 ... 完全なドキュメントを参照

... 仮定 (CA1) について：なぜ X i を非確率変数とする？ ⇒ 回帰分析 が、実験データ（講義ノート #01）の解析で発展したことに由来。 実験で、分析者が n 通りの X i の値 {x 1 , x 2 , . . . , x n }（例えば薬 品投与量）を被験者 i に与え、それを受けて Y i （例えば血圧） の個体差が生じた状況を想定。 ... 完全なドキュメントを参照

... 任意の回帰直線 Y ˆ i = a + bX i と区別。 OLS 回帰 ˆ Y i による Y i の予測と、その残差（予測誤差）は、い かなる代数的特徴を持つか？ 便利な表現： a ∗ = ¯ Y − b ∗ X を ¯ (1) 式に代入すれば ˆ ... 完全なドキュメントを参照

... 計量分析ソフト gretl について フリーウェアの計量分析ソフト gretl（グレーテル）。 “Gnu Regression, Econometrics and Time-series Library” の略。 計量分析の練習用に開発される。⇒ 練習用のデータを多数 ... 完全なドキュメントを参照

... 引き続き、回帰分析の古典的仮定（講義ノート #08・#09）を仮 定。⇒ これまでと同じ議論より、個々の観測 Y i は正規分布に従う。 Y i ∼ N(α + β 1 X 1i + β 2 X 2i + · · · + β k X ki , σ 2 ). (2) 期待値・分散は ... 完全なドキュメントを参照

... 散布図に最もフィ ットする直線を求める方法 ⇒ 最小 2 乗法 （ ordinary least squares、 OLS ） 。 図 1B・直線 (2)：統計ソフト grel の OLS コマンドで (a, b) を計 算。講義ノート #01 の式と同一。 ... 完全なドキュメントを参照

... が「十分大きいか、それともありふれた値か」を客観的に判断。 Example 1 ある湖に住む魚の体長（ cm）の分布は X ∼ N(20, 5 2 )。A さんは 32cm の魚を釣り上げた。⇒ X = 32 を標準化し、Z ∼ N(0, 1) のス ケールに直せば ... 完全なドキュメントを参照

... 「 (8) 式の結果が観測された」という事実を踏まえると、いかなる p の値が「最も尤もらしい」 （もっとももっともらしい） ？ 現実に起こった、 (8) 式のパターンを高確率で再現する p の値 が「最も尤もらしい」のでは？ ... 完全なドキュメントを参照

... 実験データでは、重回帰（コントロール変数）はそれほど重要で ない。 「単回帰 OLS で係数が統計的に有意」=「因果関係の実証」。 無作為化実験のポイント：説明変数とその他の個人属性に相 関・共変動が存在しないこと。 ... 完全なドキュメントを参照