漸近理論の基礎 計量経済学 鹿野研究室 note17

担当：鹿野（大阪府立大学）

2013 年度後期

はじめに

前回の復習

 制約付きの回帰モデルの_OLS推定とカイ₂乗検定。

 回帰係数の均一性の検定。

今回学ぶこと

 漸近理論の基礎：大数の法則と中心極限定理。

 推定量の漸近的性質 ：一致性と漸近正規性、 漸近有効性。

 テキスト該当箇所 ：_p62∼65、_p333∼334。 東大出版会（₁₉₉₁）の₈章も参照。

1 漸近理論の基礎

1.1 漸近理論とは？

 漸近理論：サンプル数nが十分大きい場合の統計的推測を、 と呼ぶ。

⊲ ^{統計量の、} のときに成立する性質を利用。_⇒簡単に言えば、「nが多いと きに許される近似」 のこと。

⊲ ^{例：nが多いならば、自由度}_{m = n − K}^のt^分布T(m)の代わりに標準正規分布_{N(0, 1)} を仮説検定に使える。

⊲ 漸近理論で基幹となる定理 ：大数の法則（たいすうのほうそく） と中心極限定理。

 小標本理論：一方、nが有限に固定された統計的推測を、 と呼ぶ。

⊲ ^{統計量の、n}の大小にを問わず成立する性質を利用。

⊲ ∴ここまで登場した概念のほとんど （不偏性や有効性、 ガウス・マルコフの定理、_t 検定など）は、小標本理論。

 _Remark：近年の計量経済学は、 漸近理論を重視。_⇒そのメリットは？

1. でデータ分析ができる。（誤差項の正規性を置かない、 など。） 1

2. モデルによっては、不偏推定量が存在しない。_⇒ を設け、推 定の性能を議論する必要性。

1.2 大数の法則と中心極限定理

 一次元の独立な標本X_{1, X2}, . . . , Xn^{を考える。（講義ノート}#04^。）

⊲ µ =^{母平均、σ2}=^{母分散と置く。Xiを誤差モデルで表せば}

X_{i = µ + ui, Var(ui) = σ}²_{. (1)}

⊲ ^{標本が独立}_{⇒ ¯}^{Xの期待値・分散は}

E( ¯^X_{) = µ,} Var( ¯^X_{) =} ¹ n^σ

2_{. (2)}

∴分散がnに反比例。

⊲ ^誤差項ui ^{に u}i _{∼ N(0, σ}²) ^{を仮定しない限り、X¯ の分布型は不明。}

X ∼¯ ^？。

⊲ あえて正規性の仮定を置かずに、 何が言えるか考える。

 大数の法則（X¯ の確率収束）：_{n → ∞}のとき、独立な標本の平均X¯ が_µから外れる確率 は、ゼロに近づく。この性質を、 と呼ぶ。

⊲ ^{このとき「X¯ は}µ^{に する」と言い、}

plim ¯^Xn= µ (3)

と表記。（_plim＝probability limit^。）

⊲ ∴サンプルが多ければ、 標本の平均を母平均 （全体の平均） とみなしても良い！

⊲ ^証明（図1^参照）：(2)^式よりE( ¯^X_{) = µ}^{なので、X¯ はいかなるnでも}µ^{を中心に分布。} 一方分散_{Var( ¯}X_{) =} ^σ2

n ^{はnに 。∴X¯ の分布は、}n → ∞^{のとき の周り} に集中。_{⇒ ¯}Xが_µ以外の値をとる確率は、 ほぼゼロ。

⊲ ^{厳密な証明}_⇒^{東大出版会}(1991)^の_p160∼162^参照。

 中心極限定理（X¯の分布収束）：_{n → ∞}のとき、独立な標本のX¯の分布は正規分布_N

µ,^σ_n^2 に近づく。この性質を、 と呼ぶ。

⊲ ^{このとき「X¯ は正規分布に する」と言い、}

¯ X_{∼ N}^a

 µ,^σ

2

n



(4)

と表記。（

∼a ^＝asymptotically distributed^{、 漸近的に分布。）}

⊲ ^{中心極限定理により、 標本でも、X¯ の分布を正規分布で近} 似できる。_⇒非常にムリのある仮定、 誤差項の正規性u_{i∼ N(0, σ}²₎が に！

⊲ 証明：非常に難しいので省略。 東大出版会₍₁₉₉₁₎の_p164∼165参照。_...中心極限定 理は、大数の法則よりもフシギな性質。

0.00.20.40.60.8

µ

図_{1: ¯}Xの分布と大数の法則 （イメージ）

 _Remark：「収束」は「 」。簡単に言えば_...

⊲ 大数の法則（確率収束）：nが大きい_{⇒ µ}をX¯ で近似！

⊲ 中心極限定理（分布収束）：nが大きい_{⇒ ¯}Xの分布を正規分布_N

µ,^σ_n^{2で近似！}

⊲ 「収束」と言うと分かりづらいが、 要は「nが大きいときに許される近似」。

1.3 確率収束の便利な性質

 確率収束の公式：二つの統計量（確率変数）A_{, B}および定数cに関し、 1. plim c = c^。

2. plim(cA) = c · plim(A)^。 3. plim(A^c) = plim(A)^c。

4. plim(A + B) = plim(A) + plim(B)^。 5. plim(AB) = plim(A) · plim(B)^、plimAB



= ^plim(A)_plim(B)^。

 _Remark：確率収束_plim(·)は今後、これまで使ってきた のようなノリで

使う。

⊲ ^{期待値だと一般に} E(A^c)  E(A)^c、E(AB)  E(A) · E(B)^{、EAB E(A)}E(B)^。一方、plim(·) はこれらの計算が許される。∴_plim(·)は_E(·)よりも格段に使いやすい。

⊲ ... 直感的に成立しそうな等号は、たいてい成立_⇒上の公式を ！

2 一致性と漸近正規性、漸近有効性

2.1 推定量の漸近的性質・一般論

 任意の確率モデルについて、 未知の母数を_θ、その推定量を _ˆθと置く。

⊲ ^例：母数µ（母平均）に対し、推定量X¯（標本平均）。

⊲ ^例：母数β（回帰係数）に対し、推定量_βˆ（_OLS）。

⊲ ^{標本が確率変数}_⇒^{標本から求めた}ˆθ^{も、確率変数。}

 _Remark：これまでの推定量の採用基準＝ と （講義ノート_#04）。

⊲ ^不偏性：_{E(ˆθ) = ˆθ}^。ˆθは確率変数なのでブレるが、期待値をとれば_θ。∴_θが出やすい。

⊲ 有効性：不偏推定量のうち、 分散（ブレ）が最小。

⊲ ^{漸近的な採用基準}_⇒一致性と漸近正規性、 漸近有効性。

 一致性：母数_θとその推定量 _ˆθについて

plim ˆθ = θ ⁽⁵⁾

ならば、_ˆθを_θの と呼ぶ。

⊲ 一致性はなぜ望ましい？_{⇒ n}が十分大きければ、推定値_ˆθを未知の_θとみなしてよい。

⊲ 一致性は漸近理論において、 推定量が最低限クリアしないといけない基準。

⊲ ^{例：大数の法則}plim ¯_{X = µ}^{より、X¯ は}µ^{の一致推定量。}

 漸近正規性：一致推定量 _ˆθが

ˆθ_{∼ N}^{a }θ,^c n



(6)

ならば、_ˆθを_θの と呼ぶ。（cは定数。）

⊲ 漸近正規性はなぜ望ましい？_{⇒ n}が大きければ、ムリに分布の仮定を置かなくとも、 標準化

Z = √^{ˆθ − θ}_c /n

∼ N (0, 1)a ⁽⁷⁾

をして_θの_t検定、_Z検定ができる。

⊲ ほとんどの一致推定量は、 漸近正規性も満たす。

⊲ ^{例：中心極限定理X¯}_{∼ N}^{a }µ,^σ_n^{2より、標本平均X¯ は母平均}µ^{の漸近正規推定量。}

 漸近分散と漸近有効性 ：漸近正規統計量の分散を と呼び、

Avar(ˆθ) = ^c_n ⁽⁸⁾

と表記。（_Avar＝asymptotic variance^。）

⊲ ^「nが大きい時の近似」であることを強調するため、_Var(ˆθ)と を区別し て表記。

⊲ ^{定数cは一般に未知}_⇒^{データから計算。}

⊲ ^例：X¯_{∼ N}^{a }µ,^σ_n^{2の漸近分散は}Avar( ˆβ_{) =} ^σ_n^2。σ^{2は未知なので標本分散s2で代用。}

⊲ 最も小さい漸近分散をもつ漸近正規統計量を、 と呼ぶ。∴漸近 有効性は、複数の漸近正規統計量を絞り込む採用基準。

 _Remark：これまで登場した、 推定量の採用基準をまとめると

定義 小標本_or漸近

不偏性 _{E(ˆθ) = θ} 小標本（ノート_#04）

有効性 最小分散の不偏推定量 小標本（ノート_#04）

一致性 plim ˆθ = θ ^{漸近（今回）}

漸近正規性 標本分布が正規分布で近似 漸近（今回） 漸近有効性 最小分散の漸近有効推定量 漸近（今回）

⊲ ^{漸近理論では が最も重要・基本∴}小標本の不偏性のような役回り。

⊲ 漸近正規性により、 誤差項の正規性u_{i ∼ N(0, σ}²₎は不要に。

⊲ 漸近正規推定量が複数ある場合は ？_⇒漸近有効性で勝負。

2.2 さまざまな推定量の一致性

 _Remark：標本平均以外のさまざまな統計量も、 母数に確率収束。

⊲ ^{標本分散と標本共分散} s²_{X =} ¹

n − 1



(Xⁱ_{− ¯}^X)², ^sXY ₌

1 n − 1



(Xⁱ_{− ¯}^X)(Yⁱ_{− ¯}^Y). (9)

⊲ 古典的仮定の下で、 回帰係数の_OLS推定量。

 標本分散・共分散の一致性：X_iの母分散、_{(Xi, Yi)}の母共分散をそれぞれ σ²_{X = Var(X}i_{) = E}

(Xi_{− µ}X)²,

σXY _{= Cov(X}i, Yi_{) = E}(Xi_{− µ}X)(Yi_{− µ}Y) (10) と置くと（_{µX, µY}はX_{i, Yi}の母平均）、

, . (11)

∴nが十分大きければ、s²

X^{をsXY、sXYをσXYと同等に扱ってよい。}

⊲ 証明：今回の補足資料参照。

 _OLS推定量の一致性：単回帰モデルY_{i = α+βXi+ui}について、古典的仮定のうち_CR1∼CR4 が成立が成立するならば、_OLS推定量_βˆは回帰係数_βの一致推定量である。

. (12)

⊲ ∴OLS推定は、漸近的にも優れた性質を持つ。

⊲ ^証明：_CR1∼CR4が成立するとき（講義ノート_#08）

E( ˆβ_{) = β,} Var( ˆβ_{) =} ^σ

2

S_{X X} ⁼ σ² (n − 1)s²X

. (13)

n → ∞^{のときVar( ˆβ}) → ^。∴大数の法則の証明と同様の原理で、_{plim ˆβ = β}。

⊲ ^{誤差項の正規性}CR5は不要である点に注意。

まとめと復習問題

今回のまとめ

 漸近理論：大数の法則と中心極限定理。

 推定量の漸近的な採用基準 ：一致性と漸近正規性。

復習問題

出席確認用紙に解答し （用紙裏面を用いても良い）、 退出時に提出せよ。 1. 大数の法則とはどんな概念か ？簡潔に説明せよ。

2. plim A = −1^、plim B = 4とする。次の演算を実行せよ。 (a) plim^cA_B^{（cは定数）。}

(b) plim(^√B)^。

3. ^ある母数θに対し、複数の漸近正規推定量がある場合、どれを採用すべきか？簡潔に説明 せよ。