『新しい計量経済学』 鹿野研究室 slide04

計量経済学_#04

統計的推測 ₍₁₎

鹿野繁樹

大阪府立大学

2017 年 10 月更新

鹿野繁樹 _{(大阪府立大学)} 計量経済学_#04 2017 年 10 月更新 1 / 27

Outline

1 統計的推測

2 標本平均の性質

テキスト・参考書。

テキスト：鹿野繁樹 [2015]、第 3.1 章・第 3.2 章。 参考書：松原望 et al. [1991]。

前回の復習

Section 1

統計的推測

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母集団・母数と標本

科学研究の分析対象は、非常に広範。

経済学：「一般家計の消費支出」や「代表的な事業所の生産 技術」。

マーケティング：「潜在的な顧客のニーズ」。 医療：「代表的な患者に対する新薬の効果」。

統計的推測とは？_{⇒ 図1。}

分析対象「全体」を母集団、母集団が持つ数量的な特徴を母 数（パラメータ）と呼ぶ。∴ 分析者の目的_{= 母集団が持つ未} 知母数の値をつかむ。

母集団全体の観測は、物理的・金銭的に不可能。_{⇒ その一部、} 標本（サンプル）を抽出し、標本に基づき母数の値を推測。 コレが統計的推測。

∴ 統計的推測=「一部から全体を知る」。

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図 _{1 :} 統計的推測の全体像

Example 1

「女性の働き方」に関する研究。_{⇒ 母集団=「女性全体」。} 未知の母数：年収の平均・標準偏差や、大卒の割合、週労働 時間と子ども数の相関係数など。

「女性全体」の観測は困難_{⇒ 全国から女性を1000 人ランダ} ムに抽出し標本とする。

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Remark 1

統計的推測：標本から、未知の母数を統計的に推測（図_1）。 母集団_{= 分析対象全体。}

母数（パラメータ）= 母集団の平均や分散など、数量的な特 徴。⇒ これらの値を知りたい。

母集団の全観測は不可能⇒ 標本を抽出し、母数を推測。 確率論の役割：標本による母数の推測なので、統計的推測は 誤差を伴う。⇒ 確率論を応用、誤差の小さい分析を目指す！

統計量による標本の集約

標本平均_{X や標本分散 s}¯ ²のように、標本_X1, X2, . . . , Xn^を一つに

まとめたものを統計量（統計）と呼ぶ。

標本は（事前には）確率変数⇒ 統計量もまた確率変数。 データ分析で得られる分析結果は、統計量の実現値のひとつ に過ぎない！

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標本に頼る以上、統計分析でランダムネスは不可避。

Remark 2

統計のランダムネス。

観測の事前には、標本_X1, X2, . . . , Xn^はn 個の確率変数⇒ ¯X や_s

2

など、標本から作る統計量も、事前には確率変数。

∴ 得られた分析結果は、数ある実現値のひとつに過ぎない。 この認識は，自身の・他者の分析結果を評価する際に重要。

Section 2

標本平均の性質

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母集団モデル

ある母集団全体の平均を母平均と呼び、_{µ と表記。}

分析者にとって、_{µ は未知の母数⇒ 標本 X1, X2}, . . . , Xn^の平

均X を、µ の近似と考える。^¯ µ= ?

全体の平均

⇒ X^¯ = ¹ n

Xi 標本の平均

. (1)

これは、統計的に正しいアプローチか？_{⇒ 確率論的に、標本} 平均X はいかなる性質を持つか？¯

いま、個々の_Xiは次の誤差モデルに従って観測されると仮定。

誤差モデル

標本観測の誤差モデル。

Xi = µ + ui, ui ∼N(0, σ²), i= 1, 2, . . . , n. (M) ただし_{u1, u2}, . . . , unは互いに独立（独立標本の仮定）。

右辺第1 項は母平均 µ、観測を通じて一定。

第2 項は、正規分布に従い確率的に変動するノイズで、^誤差 項と呼ぶ。

誤差のバラつきの大きさを司る母分散_σ

2

も、やはり未知の 母数。

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(M) 式は、標本 X¹, X2, . . . , Xnに現れる個体差・変動を、母平均_µ からの確率的な誤差_uiで表現。

ui^{の意味するところは、}

1 標本抽出の偶然性：多様な母集団から誰が（どれが）抽出され るかは偶然。

2 行動の偶然性：母集団のメンバー（経済主体）は固定されてい

るが、各メンバーの意思決定・行動が偶然に左右され、変化。

3 観測誤差：計測ミスや誤記入など、観測上・記録上の純粋な エラー。

(M) 式のように、（a）未知の母数を含み、かつ（b）標本が発 生するメカニズムを描写した確率モデルを母集団モデルと 呼ぶ。

Xi^{は、正規分布に従う}ui ∼N(0, σ²) を、µ だけずらした確率変 数。⇒ 正規分布の性質（講義ノート#03）より

Xi = µ + ui,

ui ∼N(0, σ²) ^{⇒ Xi ∼N(µ, σ}

2), i= 1, 2, . . . , n. (2)

∴_Xiは正規分布に従う。

統計学では_{(M) 式を}正規母集団と呼ぶ。

誤差項_uiが互いに独立_{⇒ Xi}も互いに独立。社会調査におけ る無作為抽出は、この状況に対応する。

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確率変数としての標本平均

(M) 式の Xi^をX の定義に代入し整理^¯ ⇒ ¯X の^誤差表現 X¯ = ¹

n

(µ + ui) = ¹ n

µ

=n·µ

+¹ n

ui

= ¹

n ^{· nµ+ ¯u}

= µ + ¯u, u¯= ¹ n

ui (3)

を得る。

標本_X1, X2, . . . , Xn^が(M) 式に従って観測されるならば、 ¯X

Remark 3

誤差表現：標本平均と母平均の関係。

標本平均_X^¯ = 母平均 µ + 誤差の平均 ¯u.

誤差項の平均u があるおかげで、一般的に ¯_¯ X = µ。⇒ ¯u の確 率的な性質（期待値と分散）を分析。

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¯

uiの期待値：和の公式（講義ノート#03）を n 次元に拡張すれば、 E(ui) = 0 より

E(¯u) = E^{ 1}

n^{(u1+ u2}+ · · · + un)



= ¹

n^{E(u1+ u2}+ · · · + un)

= ¹

n ^{[E(u1) + E(u2}) + · · · + E(un)]

= ¹

n(0 + 0 + · · · + 0) = 0. (4)

この性質は、_uiが独立でも、独立でなくても成立。

¯

uiの分散：独立な確率変数の公式（講義ノート_{#03）および} Var(ui) = σ^2から

Var(¯u) = Var^{ 1}

n^{(u1 + u2}+ · · · + un)



= ¹

n^{2Var(u1+ u2}+ · · · + un)

= ¹

n^{2 [Var(u1) + Var(u2}) + · · · + Var(un)]

= ¹ n^{2 (σ}

2+ σ²+ · · · + σ²)

=nσ²

= ^σ

2

n ^{. (5)}

この性質は、_uiの独立性が前提条件。

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∴X の期待値と分散は、講義ノート#02 の期待値・分散の公式を^¯ 上記の結果に当てはめれば

E( ¯X) = E(µ + ¯u) = E(µ)

=µ

+ E(¯u)

=0

= µ, (6)

Var( ¯X) = Var(µ + ¯u) = Var(µ)

=0

+ Var(¯u)

=¹

n^σ 2

= ¹ n^σ

2. (7)

公式 _{1 (} 標本平均の期待値と分散 ₎

独立な誤差モデル(M) 式に従うとき、

E( ¯X) = µ, Var( ¯X) = ¹σ². (8)

公式(8) を土台に、標本平均 ¯X の「性能」を考察。

E( ¯X) = µ： ¯X は、事前に母平均 µ ぐらいの値が見込める確率 変数。∴X の実現値で未知の µ を推測するのは、合理的。^¯ Var( ¯X) = _n¹σ^{2： ¯}X の、µ の周りのバラつきが、サンプル数 n に反比例。∴ 観測が多いほど、 ¯_{X の精度が上がる！}

n → ∞^のときVar( ¯X) → 0^{。∴無限の観測に基づく}X^{¯ は、や} がて真の平均・_µに収束。

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Remark 4

公式(8) より、標本平均 ¯X で µ の値を推測するのは合理的。

1 _{標本を集める事前に}X は確率変数だが、ターゲットである µ¯ ぐらいの値が実現値として見込める。

2 _{サンプル数n が多いほど、 ¯}X の精度が良くなる。^（n が十分大 きければ、誤差はほぼ消えてしまう。）

標本平均の分布

標本平均X の期待値・分散はすでに判明¯ ⇒ ¯X が従う分布は？ 正規分布の再生性（講義ノート_#03）より

ui ∼N(0 + 0 + · · · + 0, σ²+ σ²+ · · · + σ²)

−−→整理 ^ui ∼N(0, nσ²). (9)

正規確率変数の一次式の性質（講義ノート_#03）より X¯ = µ + ¹

n

ui ∼N

 µ, ¹

n^2nσ

2



−−→整理 X^¯ ∼N

 µ, ¹

n^σ

2

 . (10) 誤差項の正規性の仮定から、 ¯X も正規分布に従う！

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公式 ₂

誤差項の正規性により，標本平均_{X の分布は}^¯ X¯ ∼N

 µ, ^σ

2

n



. (11)

証明：前段で証明済み．

X の期待値・分散は、公式¯ (8) と同じである点に注意。 誤差項の正規性で付加された新事実は， ¯_{X が正規分布を成} す点。

公式(11) は、仮説検定（次回）で重要な役割。

「標本平均X による母平均 µ の統計的推測」から学ぶべきこと。^¯ 標本_X1, X2, . . . , Xnの発生プロセスと母数パラメータの役割 を結びつける、母集団モデルの重要性。

統計量の性能は一般に、標本の確率的な性質に依存。 もし標本_{X1, X2}, . . . , Xnが、正規分布からかけ離れた歪んだ 分布に従うならば、公式₍₁₁₎は誤り。

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今回の復習問題

次の設問に答えよ。各自用意した紙に解答し、退出時に提出せよ。 講義名、日付、学籍番号、氏名を明記すること。

1 _{あるコインを考える。}

1 このコインが歪んでいるかどうか、統計的推測で確認する方法 を考えよ。

2 この問題における母数パラメータは何か？

References

鹿野繁樹. 新しい計量経済学. 日本評論社, 2015.

松原望, 縄田 和満, and 中井 検裕. 統計学入門. 東京大学出版会, 1991.

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