『新しい計量経済学』鹿野研究室 slide05

(1)

計量経済学_#05

統計的推測 ₍₂₎

鹿野繁樹

大阪府立大学

2017 年 10 月更新

鹿野繁樹 _{(大阪府立大学)} 計量経済学_#05 2017 年 10 月更新 1 / 28

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Outline

1 母数の推定

2 母数の仮説検定

テキスト・参考書。

テキスト：鹿野繁樹 [2015]、第 3.3 章・第 3.4 章。参考書：松原望 et al. [1991]。

前回の復習

1 _{統計的推測} 2 _{標本平均の性質}

(3)

Section 1 母数の推定

(4)

良い推定量をデザインする

ある母集団が持つ未知の母数（パラメータ）を、一般的に_θ（シータ）と表記。_{⇒ 標本 X}1_{, X}2, . . . , Xn^からθ の値を突き止める作業を、母数の推定と呼ぶ。

推定に用いる統計量を推定量と呼び， ˆθ（シータ・ハット）と表記。

例：前回の正規母集団_X_i _{∼ N(µ, σ}

2)。未知の母数 = 母平均 µ、その推定量 = 標本平均 ¯X。

．

(5)

いかなる基準で母数θ に関する推定量 ˆθ をデザインすべき？^：開発者（統計学者）の目線！

「推定量」とは平たく言えば、「推定方式」、「標本の使い方」。推定量 ˆ_{θ は、標本 X}1_{, X}2, . . . , Xⁿから造られるため、ランダムネスを伴う。

∴ ˆθ の確率的な性質に着目 ⇒ 採用基準（良い推定・悪い推定）を規定。

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推定量の採用基準：不偏性と有効性

推定量 ˆ_{θ の期待値が}

E(ˆθ) = θ

を満たすとき、 ˆ_{θ を母数 θ の}不偏推定量と呼ぶ。偏りがない推定。不偏性の意味： ˆθ は確率的に変動しつつも、θ 近辺の値が出やすい。「当たり（母数θ）が出やすいくじ引き」のようなもの。

∴ 不偏性を満たす推定方式は、望ましい！

Example 1

講義ノート#04 より E( ¯X) = µ。∴ 標本平均 ¯X は、母平均 µ の不偏推定量。 ¯X の実現値は、µ ぐらいの値が事前に期待できる。

(7)

一つの母数θ に対し、複数の不偏推定量が存在する場合は？⇒ その中で分散_Var(ˆθ) が最も小さい ˆθ を^{有効推定量と呼ぶ。}

有効性の意味：θ を軸にしたブレが最も小さく、安定している。

有効性は、競合する不偏推定量たちの中から、より優れたものを採用する基準。

Example 2

講義ノート#04 より Var( ¯X) = ^σ_n²^{。この分散は，}µ の不偏推定量中で最小であることが知られている。∴X は、µ の有効推定量。¯

(8)

母数の推定には、良い推定と悪い推定、正解と不正解がある！

Remark 1

標本_X1_{, X}2, . . . , Xn^{による母数}θ の推定量、ˆθ の採用基準。

1 _不偏性_E(ˆθ) = θ：第一関門。未知母数 θ 近辺の値が出やすく、推定結果に偏りがない推定量。⇒ 不偏推定量が複数ある場合は？

2 有効性（最小分散の不偏推定量）：第二関門。_{θ から大きく外} れにくく、結果が安定した不偏推定量。

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Section 2 母数の仮説検定

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仮説検定の目的と考え方

分析者が、未知の母数_{θ に関し事前に}仮説値_{θ = θ}^∗を抱いている場合も。_{⇒ 仮説値 θ}^∗の真偽を統計的に判断する手順が、母数の仮説検定。

「基準値は_{θ = θ}^∗である」、「理論上_{θ = θ}^∗でなければならない」など。

推定と検定の、スタンスの違いに注意！

推定：全く無知・中立的な立場で、母数_θの値を標本から推定。仮説検定：あらかじめ持っている仮説値_θ_{= θ}^∗の妥当性を、標本を使ってチェック。

(11)

以下、正規母集団_Xi _{∼ N(µ, σ}²) の母平均 µ に関する検定法を考える。仮説値は一般に、帰無仮説（null hypothesis）

H⁰ : µ = µ^∗ (1) として宣言。（_H₀ _{: µ − µ}^∗ _{= 0 でもよい。）}

一定の手続きの結果、結果_H0が疑わしいと判明したとき、

「_H₀は棄却される」と言う。

(12)

具体例：工場の品質管理問題。

Example 3

ある工場は、製品重量の基準をµ = 5（グラム）と置いている。 H⁰ : µ = 5.

この仮説値を検定するためn = 16 個の製品 Xⁱ^を抽出。結果、標本平均X = 8、標本標準偏差 s^¯ X = 3 だった。 X と仮説値の差は 8 − 5 = 3。... H¯ ⁰^{は棄却されるべき？}

(13)

母平均µ は未知なので、仮説値との差 µ − µ^∗^{もまた未知}⇒ 標本平均と仮説値の差、 ¯_{X − µ}^∗を見て_H₀の棄却を判断。

X は、µ の周りを確率的にブレる（講義ノート#04）。∴ 幅を¯ 持たせ、推定値と仮説値の差_{X − µ}¯ ^∗が「十分」ゼロから離れたら、_H0 _{: µ = µ}^∗を棄却。

差_{X − µ}¯ ^∗がいくら以上ならば、_H0 _{: µ = µ}^∗をアウトにするか？：客観的な数値基準が必要。

(14)

Z 検定：母平均の仮説検定

正規母集団の標本平均X は、講義ノート#04 より正規分布に従う。¯

⇒ ¯X を標準化（講義ノート#04）すると、標準正規分布に従う X ∼ N¯

µ,^σ

2

n

−−−→標準化 ^{Z =} ^{X − µ}_σ/^¯ √

n ^{∼ N(0, 1)} ⁽²⁾ となる。これを_{Z 統計量}と呼ぶ。

いま問題となっている差_{X − µ}¯ ^∗を上式に換算するれば、_{Z 値} z^∗ = ^{X − µ}^¯

∗

σ/^√n ⁽³⁾

を得る。

(15)

−3 −2 −1 0 1 2 3

0.00.10.20.30.4

z

f(x)

A: Z ~ N(0,1)

0.00.10.20.30.4

z

f(x)

0 z=1.96 α_=0.025 1−^α

α B: ^α=Pr(Z>1.96)=0.025

図 1 : 標準正規分布（再掲）

(16)

Z の 2.5%臨界値は Pr(Z > 1.96) = 0.025（講義ノート#03、図 1）^：Z の尺度で考えれば，^「1.96 ≈ 2」は非常に大きな値。

∴ まず、差 ¯_{X − µ}^∗を(3) 式の Z 値 z^∗^に換算。

|z^∗| > 1.96 ≈ 2 なら「十分離れている」と判断し、帰無仮説 H0 : ¯_{X − µ}^∗^を棄却。

この検定法を_{Z 検定}と呼ぶ。

(17)

Remark 2

帰無仮説_H₀ _{: µ = µ}^∗の_{Z 検定の手順。}

1 母平均の推定値と仮説値の差_{X − µ}¯ ^∗を、_{Z 値 z}^∗に換算。

2 _|z∗| > 1.96 ≈ 2 なら、 ¯X − µ^∗は十分離れていると判断。 H0 : µ = µ^∗^を棄却。

このルールで_H0が棄却されば、「有意水準_{5%の両側 Z 検定} で、帰無仮説_H₀_{µ = µ}^∗は棄却される」と言う。

どうして2.5%臨界値 z = −1.96、z = 1.96 を基準にしているのに「有意水準_5%」？

正の乖離_X¯ _{− µ}∗ _>₀_（_{⇔ z}∗ _>₀_{）と負の乖離}_X¯ _{− µ}∗ _<₀

（_{⇔ z}^∗ _<₀）両方の可能性を考慮しているため。

事前にどちらの方向にズレるか分からないので、両ケース合わせて5%という意味。

(18)

Example 4

（工場の品質管理、続き）サンプル数はn = 16、母集団の標準偏差σ は未知なので、標本の標準偏差 s = 3 で代用。⇒ ¯X − µ^∗ ^{= 3} を_{Z 値に換算すると}

z^∗ = ^{8 − 5} 3/^√16 ⁼

3

3/4 = 4 > 1.96. (4) Z の尺度に直すと、差 ¯_{X − µ}^∗ = 3 は大きな乖離。

∴ 帰無仮説_H0 : µ = 5 は棄却される。品質基準を満たしていると言えない。

(19)

Z 統計量など、臨界値の計算ができる（いくら以上なら「大きい」か判断できる）統計量を検定統計量と呼び、_{S と置く。}

仮説検定のポイント：推定値と仮説値の差 ˆ_{θ − θ}^∗を、適当な検定統計量S に換算し、帰無仮説 H⁰ : θ = θ^∗^をジャ^ッジ。母平均µ の Z 検定に限らず、計量経済学で登場するさまざまな仮説検定に通用する原理。

Remark 3

仮説検定の一般原理（発想法）。 H⁰ _{: θ − θ}^∗ = 0 _{−−−−−−−→}^{推定値で代用} _{θ − θ}^ˆ ^∗

検定統計量 Sに変換

−−−−−−−−−−→ S が十分大きければ H0^棄却. (5)

(20)

t ^検定

上の品質管理の例で行われた「ズル」：未知の_{σ の代わりに、標本} 標準偏差s を使って Z 値を計算。

Z 統計量の σ を s で置き換えた「ニセ Z」

Z = ^{X − µ}^¯

σ/^√n ^⇒ ^ニセ^{Z =}

X − µ¯ s/^√n^. 上式の分子・分母を、本物の_{σ で割れば}

ニセ_{Z =} σ

s

X − µ¯ σ/^√n ⁼

σ s^{Z =}

Z s/σ^. これは本物Z と s/σ の比。

s は標本から求めた確率変数 ⇒ 上式は二つの確率変数 Z と s/σ の比。

(21)

この「ニセ_Z」を_{t 統計量}と呼ぶ。 t = ^{X − µ}^¯

s/^√n ^. ⁽⁶⁾

t 統計量と Z 統計量の違い：前者が偽物 s を、後者が本物 σ を使っている点。

t 統計量はt 分布という、正規分布とは別の分布に従う。 t ∼ T(m), m = n − 1

ここでm = n − 1 は^{自由度、サンプル数}^{n で決まる定数。}

(22)

−3 −2 −1 0 1 2 3

0.00.10.20.30.4

t

f(t) 2.042 3.182

T(3) T(30)

図2 : 二つのt分布_T(3)と_T(30)

(23)

図2：自由度 m が異なる二つの t 分布、T(3) と T(30)。図1の標準正規分布 N(0, 1) とよく似ている！

1 ゼロを中心に左右対称の釣鐘型。

2 およそ_±2の範囲の確率をカバー。 ... T(m) は N(0, 1) の「ニセモノ」。

(24)

t 分布は、自由度 m = n − 1 に依存して分布の広がり（分散）が若干変化し、2.5%臨界値の位置が動く。

テキスト_{p305 の}_{t 分布表}：各m に応じた t 分布の臨界値をまとめた表。

図2の t 分布の 2.5%臨界値は、T(3) が ±3.182、T(30) が

±2.042。

(25)

σ を s に置き換えたならば、Z ではなくt 検定^{で棄却の判断をした} 方が正確。

Remark 4

帰無仮説_H0 _{: µ = µ}^∗の_{Z 検定の手順。}

1 _帰無仮説_H₀ _{: µ = µ}∗を設定。標本平均と仮説値の差を、_t 値に換算。

t^∗ = ^{X − µ}^¯

∗

s/^√n ^.

2 t 分布表（テキスト p305）から自由度 m = n − 1 の 2.5%臨界値、_t0.025_{(m) を求め、|t}^∗_{| > t}0.025_{(m) ならば H}0 _{: µ = µ}^∗を棄却。

棄却の判断材料がZ ∼ N(0, 1) の臨界値から t ∼ T(m) の臨界値に変わっただけ。根底にある原理は_{Z 検定と同じ。}

(26)

Example 5

（工場の品質管理、続き）(4) 式で求めた Z 値は、厳密には t 値 t^∗ = 4 に相当。

自由度m = 16 − 1 = 15 の t 分布の 2.5%臨界値は、t 分布表

（テキスト_{p305）より t}0.025 _{= 2.131。}

t^∗ = 4 > 2.131 より，帰無仮説 H⁰ : µ = 5 は t 検定でも棄却される。検定結果は_{Z 検定と変わらず。}

(27)

今回の復習問題

次の設問に答えよ。各自用意した紙に解答し、退出時に提出せよ。講義名、日付、学籍番号、氏名を明記すること。

1 _{テキスト第}3 章復習問題 3.2。

2 _{テキスト第}3 章復習問題 3.5。

(28)

References

鹿野繁樹. 新しい計量経済学. 日本評論社, 2015.

松原望, 縄田和満, and 中井検裕. 統計学入門. 東京大学出版会, 1991.

『新しい計量経済学』 鹿野研究室 slide05

統計的推測 (2)

Outline

前回の復習

Section 1

母数の推定

良い推定量をデザインする

推定量の採用基準：不偏性と有効性

Example 1

Example 2

Remark 1

Section 2

母数の仮説検定

仮説検定の目的と考え方

Example 3

Z 検定：母平均の仮説検定

Remark 2

Example 4

Remark 3

t 検定

Remark 4

Example 5

今回の復習問題

References

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統計的推測 ₍₂₎

t ^検定