凸多角形の互いに相似な直角三角形への分割について ： 体論の素朴な図形問題への応用として

凸多角形の互 いに相似な直角三角形へ の

分割 につ いて

一 体論の素朴な図形問題への応用 として一

兵 庫 教 育 大 学 大 学 院 教 育 内容 ・方 法 開 発 専 攻

Nl 1 2 1 4 1 B

学 校 教 育 研 究 科 認 識 形 成 系 教 育 コ ー ス 石

井

聡

目 次

第

1章

1.1 1.2 1,3 1.4 1.5 第

2章

2.1 2.2 2.3 2.4 体 に関す 体 の定義 る基本理論 代数 的 な元 と多項式 体 の拡 大 体 の同型 体 の超越 拡 大 凸 多角形 の三角形へ分割 した ときの座標 問題 提 起 と主定理 分割辺 の傾 き 線 形代数 分割 ′点の座 標 第

3章

有向三角形 に沿 つた積分 と主定理 の証明

3.1

三角形 の向 き

3.2

三角形 の境 界 に沿 つた積 分

3.3

主 定理 の証 明 謝辞 参考 文献

6

6 9 12 16 23

29

29 32 38 41

49

49 55 59 ６     ７ ６     ６

研究

1987年

L,Posaに

よつて 「正方形 は有 限個 の30° -60° -90° の直角 三 角形 に分害1できるか」 とい う問題 が提案 され た。直角 を挟 む

2辺

の比が無理数 √ で あ るこ とか ら、直観 的 に不可能 であ る と感 じるか も しれ ない が、そ の推論は間違ってい る。実際、tan 15°

=2-ν

5で

あるか ら、15°-75° -90° の直角三角形で も直角 を挟む

2辺

の比は無理数 であ るが、図

1の

よ うに 直角三角形 を配置す る と、正方形 は15°-75° -90° の互いに相似 な直角三角 形 に分割 で きる。 つ ま り、正方形 を互いに相似 な直角三角形 に分割す る とき、直角 を挟 む

2辺

の比 が満 たすべ き条件 は無理数性 よ りも弱 い条件 のはずである。 図

1:正

方形 の159-75°-90° の直角三角形べの分害1 上記の問題 の解決 は

1990年

、M.Laczkovicll B]に より得 られてお り、そ の内容 が本論 文のテーマの、有理 凸多角形

Pが

互 いに相似 な直角三角形 に分害1できる とき、直角 を挟む

2辺

の比が満 たすべ き条件 を調べ ること である。結論 としては、次 の定理 が成 り立つ。

′ 「有理凸多角形 を鋭角 αをもつ互いに相似 な直角三角形 に分割 で きる な らば、,cot _αが

_Q上

_{代数的かつ}cot αの

Q上

の最小多項式 の実根 がすべ て正 となる。」 ´

3 実際、cOt 30°

=ν

題であ り、ν

Tの

最小多項式の実根 は 土額 で あるこ とか ら、 この定理 に依れ ば次の結果 が得 られ る。 「正方形 は30°-60° -90° の互いに相似 な有限個の直角三角形 に分害1でき ない。」 この定理 の証明 を行 うことが本論文の 目的であ る。 尚、問題提起 自体 は幾何学的な ものであ るが、結論 を見れ ばわか るよ うに体 の拡大 とい う代数 的な内容 と密接 に関係 してい る。 その証 明 には 大まかに

2つ

の概念 を用い る。

1つ

は体の理論であ り、も う

1つ

は有向三 角形 である。

体 の 理 論

0に よる除法を除く有理数 どうしの四則演算を行つた結果は有理数であ

る。 このように、体 とは四則演算のできる集合のことで、有理数の集合

Qや

実数の集合

Rは

体である。体に関する事項は第 1章 にまとめた。

有理数 α

,bを

用いてα

+颯

だ と表 される数の集合 も体となり、これは

Q

と額 を含む最小の体である。このように体 κ と数 αを含む最小の体を

Kに

αを付加 した体とい う。例えば、″

2+1=0の

解 りを実数体

Rに

付加

した 体

R(を_)を

考えると、

R(づ_)は

複素数体

Cの

ことであることがわかる。

体

Qに

複素数 αを付カロ

するとき、αを解にもつ

Q係

数の方程式が存在

するかどうかで付力日した体の様子は大きく異なる。そこで、そのような方

程式が存在するときαを代数的な数、存在 しないときαを超越数 という。

また体の構造

(カ

ロ

法 と乗法

)を

保つ体の間の写像である同型 も重要で

ある。2つ の体 κ

,五

の間の写像 φ

:κ

→ 五が

Kの

任意の元 α

,bに

つい

て、φ

(α

+b)=φ

(α)十

φ

(b),

φ

(α

×

b)=φ

(乙)×

φ

(b)を

満たす とき、φを

Kか

ら五への中への同型 とい う。 さらにφが全単射のときφを体の同型

とい う。

有 向 三 角 形 有向辺 И

3と

は、線分 の両端点の一方 ス を始点、 も う一方 の

3を

終点 と定 めた線分 の ことをい う。 この とき有向辺 ス

3に

対 して、この"有 向辺 に沿 ァた積うソ

/iB

α″とい うものを定めること1｀ で 育る。

点

A,3,θ

が三角形 の境界上で反時計回 りに並ぶ とき正の向き といい、 計回 りの とき負 の向き とい う。 この よ うに頂 点 の順 序 (円順列

)の

情報 を含 めた三角形 を有 向三 角形 とい う。つ ま り、図形 としては三角形 ス

Bσ

と三角形 スσ

Bは

同 じものだ が、有 向三角形 としては異 な る。 有 向三角形 の境界 は

3つ

の有 向辺 ス

B,3θ

,θス の集 ま りとな る。 この と き

3つ

_{の辺 に沿 つた積分}

五

Bα

″

+I:σ

γα″

+icA

α″ 蕉 △

ABθ

?境

界 に沿 った積 分 といい、そ の値 は △

A3θ

が正 の向 きの とき面積 の

_(-1)倍

とな るこ とがわか る。また有 向三角形 ス

Bθ

の頂点 の座標 が あ る体

F⊂

R

に含 まれ て い る とき、頂 点 の座標 を体 の 同型 φ

:F→

Rで

動 か した有 向三 角形 を △〃3′θ′とす る と、cot(∠A′

)=土

_φ(cot(∠ス_))と な り、符号

は △ス

Bσ

_,△″B′θ′の 向 きで決 ま る こ ともわか る。 上記 の 内容 は第

3章

1節

、

2節

で扱 う。

主 定 理 の 証 明 の概 略

上記の理論や考え方を使って主定理を証明していく。以下その証明の

概略を述べる。

有理凸多角形

Pが

互いに相似な内角αをもつ直角三角形 △

1,△2,∴

・

,△

Ⅳ

に分割されるとする。このときまず、三角形 △

1,△2,…

・

,△

Nの

頂点の座標

が

_Q(COt

α

_)に

含まれることを示すことができる。この内容は2章 で扱 う。

次に、φ

:Q(COt

α

_)→

Rを

中への同型 とする。また、△

1,△2,… ,,△

Ⅳ

及び

Pを

正の向きと定め、o:Q(COt α

)× Q(COt

α)→ R×

Rを

Φ

(",ν

)=

(φ (″),φ(ν))と

定める。このとき、プ

=1,2,…

・

,Ⅳ

に対して、三角形 △プの

頂′

_{点を反時計回 りに、可}

分

,可

ガ

,可

分とするとき、Φ

(可

の

),Φ(何

分

),Φ(可

′

))

をこの順で頂点とする有向三角形をΦ

(△

′

)と

する。

ここで有向三角形の境界に沿った積分 と面積の関係を用いて、Φ

(△1),

Φ

_(△2),… .,Φ (△

N)の

うち

1つ

は正の向きであることを示すことができるし

これをΦ

_(△s)と

する。このとき、△

sと

Φ

(△s)の

内角の関係を考えるj△

s

の内角をα,,一 α,3と しヽΦ

(△

s)?対

応する内角をα

l,βl,γ:と

すると、

5

△

_{s,Φ (△3)の}

向きは共に正であることから、

COt

α

_:=φ

_(COt

α

) COt

_β

_:==φ

_(C9t(3-α

₎₎ COt

_γ

_:=φ

_(COt::) を省

:litT姦

_{ユぶ 罵 長} 与

::ふ

し機

'議

現 場

(蠍

つま りtφ(cot α

)>0と

なる。任意 の同型 φについて、φ(COt α

)>0が

成 り立つ ことか ら、体論 に よつてcot αが代数的な こ と及び 、cot αの共役 が正 であることがわか るのである。

本章では体 (たい

)に

関す る基本的な内容 を用語 の説 明 も交 えなが ら 述べ る。 これ は第

2章

以降のための準備 で ある。体 と￨ま四則演算 ができ る集合の ことである。代数学においては群・環・体 といつた演算 を もつ集 合 を扱 うが、体論 はその中の代表 的な一分野であ る。ただ し、 ここで述 べ るのはその初歩の部分である。 1。

1

体の定義

定義

1.1.1集

合 κ と

K上

の

2つ

の演算 、加 法 “

+"と

乗 法 “×"が あ る と す る。 κ 上 の演算 が以 下 の

6つ

を満 たす とき、κ を体 とよぶ。

1,κ

は加 法 、乗 法 で 閉 じてい る。

2.加

法 、乗法 は可換 で あ る。 つ ま り、任 意 の元 α,b∈ κ につ い て

,

α

tt b=b+α

α×

b=b×

α が成 り立つ。

3.加

法 につ いて も乗法 につ いて も結合律 が成 り立つ。つ ま り、

Kの

元

Qb,cに

≪)い_て、 α十

_(b+C)=(α

tt b)十 C α×_(b×

6)=(α

×b)× C

_

が成 り立つ。

4.加

法_,乗法 につ いて分配律 が成 り立つ。つ ま り、

Kの

元 α

,b,cに

つ い コ〔、 (α tt b)×

C=α

×C tt b× c が成 り立つ。

,第 1章

体 に関す る基本 理 論

7

5,十

に関す る単位 元

0及

び、×に関す る単位 元

1が

存在 す る。つ ま り、

0,1で

表 され る

Kの

元 が あうて、任 意 の κ の元 αについて 、

0+α

=α

+0=α

l× α=α × 1=α が成 り立つ。 また 0≠ 1 で あ る。

6.Kの

す べ ての元 は加 法 につ いて逆元 を持 ち、

Kの

0以

外 のす べ ての 元 は乗 法 につ いて逆元 を持 つ。つ ま り、任意 の

Xの

元 αにつ いて、 あ る κ の元 ―αが あつて、 α

_{+(Tα )=(一}

α

_)+α

=0

が成 り立 ち、

o以

外 の任 意 の元 α∈ κ に対 して あ る

Kの

元

alが

あつて 、 α × α l圭 α l× α=1 が成 り立つ。 有理数 の集合

Qや

実数 の集合

Rは (通

常の加法

,乗

法 に関 して体 の例 となってい る。 補題 1,1。

2κ

の元 αと

Kの

加法 に関す る単位元

0に

おいて、 0× α

=0

である。 証明

Kの

乗法 に関す る単位元

1を

用い る。 α×

0+α

=α

×

0+α

×1

=α

×

₍₀₊₁₎

=α × 1 =α

両辺 に加 法 に 関す る逆 元 (―α)をカロえて (α ×

0+α

)十 (―α

)=α +(―

α) よ り、 α×

0=0

を得 る。 □ 補 題 1。

1.3体

Kに

お い て は 、加 法 の単位 元 も、乗 法 の 単 位 元 も唯 一 で あ る。 証明 α,β を κ 上の乗法の単位元 とす る。α,β は単位元 なので、 α

=α

×β

=β

よって乗法 の単位 元 は唯一である。 γ,δ は κ 上 の加法 の単位 元 とす る。γ,δ は単位元 なので、 γ

=γ

+δ

=δ

よってカロ法 の単位元 は唯一 である。

□ 補題 1。

1.4体

Kに

おいて

Kの

元 αの加法 ,乗法の逆元は存在す るな ら唯 一である。 証明 α,β を κ の元 αの乗法 の逆元 とす る。α,β は逆元 なので、 α

=α

×

1=α

×_{(α ×β}

_)=(α

×α_{)× β}

=1×

β

=β

`

よつて乗法 の逆元は存在す るな ら唯一である。 γ,δ は

K上

の元

bの

加法 の逆元 とす る。 γ

=″

キ

0=γ

+(b tt δ

_)=(γ

+b)+δ

=0+δ

=δ

よって加法 の逆元 は唯一 である。

□

定義

1。

1.5Eを 体とする。Eの部分集合

Kが

Eの 演算

o日

法

,禾

法

)に

関

して体 とな ってい る とき、

Kを

Eの

部分体 とい う。

以下 、本論 文 で は体 とい えば原 則 として

Cの

部 分体 の こ とに限 る。 た だ し、

Cは

複素数全体 の集 合 であ る。また体 の乗法 の記 号 は省 略 して α×b

第

1章

体 に関す る基本理論 1。

2

代数的な元 と多項 式

定義 1.2。

lKを

体 とす る。πを不定元 とす るκ 係数多環式 の集合 を κレ] と表す。 定義

1.2.2体

κ ⊂ C,α ∈

Cに

対 して αを解 とす る κ 係数多項式 がある とき、α を

K上

代数的 とい う。α を解 とす る κ 係数多項式がない ときt α を κ 上超越 的 とい う。 定義 1。

2.3α

∈

Cが Q上

代数的な とき単に代数的な数 とい う。α∈

Cが

Q上

超越的 な とき超越数 とい うも 自然対数 の底

cや

円周率 πは超越数 の例 となってい る。 定義

1.2.4K上

代数的な数 αについて、αを根 とす るκ 係数多票式(≠ 0) の うち、次数が最小のものを αの

K上

の最小多項式 とい う。 定義

1.2,5最

大次数 の係数 が

1の

多項式 を

mOnicで

ある とい う。 本論文では最小多項式 とい うと最小多項式の うち

monicな

もの を さす こととす る。

定義

1.2.6バ

″

_)∈

κ

_[″]と

_する。∫

_(■)が

_{κ上既約であるとは、∫}

_(″)は

T

次以上であり、「

P(■ ),g(″)∈

κ

[″]に

対して∫

(")=P(″

)g(″)な

らば

p(″)

または

9(″)が

定数になる」が成り立つときにいう。

補題 1。

2,7κ

上代数 的な数 αを解 に持つ最小多項式 を ∫_(″)とす る

,こ

のとき、多項式バχ

)は

κ上既約である。

証明

_バ″

)は

既約でないと仮定する。つまり、定数でないκ上多項式

P(χ ),9(″)が

存在し、∫

(″

)=P(“

)g(″)と

なると仮定する。∫

(α)≡

0な

の

で、

p(α )9(α

)=0で

ある。よつて

P(α

)=0ま

たは

9(α

)=0と

なるが、い

ずれにしても∫

(π

)よ

り小さい次数なのにαを解に持つことになり、最小

多項式の定義に矛盾する。よつて、最小多項式は既約である。

□

補題

1。

2.8α

∈Cと し、∫

_(")が

αを根に持つ

K上

既約で

mOnicな

多項式

とすると、∫

(″

)は

αの最小多項式となる。

証明

αのκ 上の最小多項式を

g(″_)と

する。

g(″_)の

次数はバ″

_)の

次数

以下である。このとき、∫

(″)を

θ

(″)で

割った余 りを考えるとく

∫

(″

)=θ

(″)P(″

)+r(″

)

であるので、

∫

(α

)=g(α

)p(α)十 r(9)

となる。このとき、

r(″

_)≠

0で ないとすると、

r(%)は

余 りであるから、

deg g(″_{)>deg r(″ )で}

ある。ノ

_(α

_)=0,g(α

)=0な

ので、γ

_(α

)=0と

なる。

これは

g(″_)が

αの最小多項式であることに矛盾する。よつて、

r(″_{)≡ 0}

であり、∫(")=g(″

)P(″

)で

ある

6∫

(″

)は

既約なので、θ

(")か P(")が

定

数となる。

g(″_)は

αの最小多項式なので、

_P(π)は

定数である。∫

_(″),θ(″)

はmonicよ りP≡ 1で ∫

(″

)=g(π

)と

なる。

□

定義

1。 2。

9α

_,β

∈

Cと

する。あるκ上既約な多項式 ∫

_(″)が

あつて、α

,β

が共にバ″

)=0の

解 となることをα

,β

が

K上

共役であるという

R

次に

K上

既約な多項式は重解をもたないことを示したい。そのために

いくつかの定義や補題を準備する。

定義

1.2.10C[″_]∋

_∫

(χ

)=αれ

″れ

+α

π

l″

れ1+… ・

+αl″

+α

Oに 対 して、

∫

′

(″

)=η

α

れ

″π

1+(η

-1)α

π

_1″

れ

2+…

.+α

l

とおき、∫′

(")∈

CI"]を

∫

(")の

微分という。∫

(″)が

N″

]の

元ならこれは

解析 的な微分 に一致す る。

補題

1.2.11∫

_{(″),g(″)∈}

Cレ

_]に

_対して、

1:(ノ_(π

_)+g(″

_))′

=∫

′

(″)+g′(″) 2.(ノ_{(″)g(″))′}

=∫

′

(″)g(″

)+ノ

(″ )θ

′

(″) が成 り立つ。 証 明 直接 計算 で確 か め る こ とがで きる。

□

第

1章

体 に関す る基本理 論 とくに、補題 1.2.11よ り、 ((″

_α

)2)′ =(″ ―α)′(″ ―α

)+(″

―α)(″ ― α)′

=2("―

α₎

であることがわかる。

′

補題

1.2.12∫

_(″

_)cC回

,α

∈

Cに

対して、∫

(″

)が

(″

―α

)2で

割 り切れ

るとき、∫

(α

)=0,ノ

′

(α

)=0が

成 り立つ。

証明

g(″)∈ CI″]に

対して、

∫

(″

)=(“ ―α

)2g(")

とすると、∫

(α

)=0で

ある。また、

ノ

′

(″

)=2(″ ―α

)θ (″)十 (■

―α

)2θ

′

(″)

となるので、∫′

(α

)=0で

ある。

□

補題

1。

2.13∫

_(″)∈ CI″_l,α

∈

Cに

対して、∫

_(α

)=0,∫

′

_(α

)=0で

あると

き

tバ

″

_)は

_(″

―α

_)2で

害

1り

_切れる

証明

ノ

(α

)=0よ

り、∫

(″

)=(″ ―α

)ん (″)と

なるん

(″

)cC[“

]が

存在する

:

このとき、∫

′

(χ

)=ん

(″)+(″

―α

)ん

′

(″)な

ので、∫′

(α

)=0よ

り、ん

(α

)=0

である。ゆえに、ん

(π)も (″

―α

)で

割 り切れて、∫

(″)は (″

―α

)2で

割り

切れる。

□

定理

1。

2.14∫

_(″)∈

K国

に対して、∫

_(″)が

κ上既約なとき∫

_(″

)は

重解

をもたない。

￨

証明

バ″

)を

ご次多項式とする。仮にノ

(″)が

重解αをもつとすると、補

題

_1,2,12よ

_り、バα

_)=0,∫

′

(α

)=0と

なる。特に、∫

(a)=oか

っバ″

)

はκ上既約なので、補題

1.2.8よ

り、∫

_(″)の

最高次の係数をた

_(≠ 0)と

す

ると、

:∫(″)は

αの最小多項式であ

段し鍵ム

「

菖冒頻侯象

I母

RTF

∫

′

(″)∈

κ

[″]で

あり、ノ′

(″)は

α

-1

島 ノ。

)は

ノ。

)よ

り次数が低く、αを解にもつから、∫

(π)が

最小多項式

であることに矛盾する。よつてバ″

)は

重解をもたない。

□

この節 を終わるまえに、後に使 うユー ク リッ ドの互除法 を応用 した結 果 について述べてお く。

定義

1.2.15∫

_{(″),g(・)∈}

κ回 について、バ″

_)と g(″_)を

両方とも害

1り

切

るmonicな κ上の多項式のうち次数が最大のものを

“

DK(バ

″

_),g(″))

という。

′

ユ ー ク リッ ド互除法 に よ り得 られ る次 の定理 は大変有名 で あ る。証明

は例えば

p]の

p.75を

参照されたい。

定理

1,2.16∫_("),g(π)∈

κ回 であり、σθ

Dκ_{(∫ (″),θ}

_(Z))=α

_(″)と

す

る。このとき、あるα

(″),b(″)∈

κ

[″]が

あつて、バπ

)α (″)+g(″)b(■

)=α

(″)

が成り立つ。

1。

3

体 の拡大

定義

1.3.lEを

体とする。Eの 部分集合

Xが

Eの 演算

o日

法

,乗

法

)に

関

して体 となってい る とき、

Eを

κ の拡大体 とい う。

Kを

Eの

部分体 とす る と、補題 1.1.3よ り、κ と

Eの

加 法 に関す る単 位元 は一致 し、κ とЁ の乗法 に関す る単位 元 も一致す る。 命題 1,3。

2Cの

部分体

Kは

Qを

含む。 証明 κ は

Cの

部分体なので κ の加法に関す る単位元は数

0に

一致す る。 また、κ の乗法 に関す る単位元 も自然数

1に

一致す る。 よつて κ

DO,1

である。κ ∋

0,1よ

り、任意 の η∈

Nに

ついて η圭

1+1+… .+lcκ

である。任意の有理数 "こ

Qに

つい_下″

=:(α

∈Z,b∈

N)と

_{表す ことが} できる。ただ し、

Zは

整数全体の集合であ り、

Nは

自然数全体の集合であ る。 ここで

_"=(土

lαl)×

blで

あ り、lαl,b∈

N⊂

κ であ るか ら ″∈

K

である。ゆえに

Q⊂

κ である。

補題

1,3.3Cの

部分体

K,κ

′についてκ∩κ′も体である。

証 明 κ ∩κ′∋α,bと す る。κ ∋α,ら なので、κ ∋α+0,α

bで

あ る。 ま たK′ Dα,ら なの で、κ ′_∋α tt b,α

bで

ある。 よつて

K∩

K′ ∋α tt b,αbと な る。 つ ま りκ ∩κ′は加法、乗法 で閉 じている。

第

1章

体 に関す る基本理論

13

また κ ∩κ′は

Cの

部分集合だか ら加法 、乗法 にお いて可換 であ り、結 合律 、分配 律 は成 り立つ。 また、

K,κ

′は

0,1を

含 む ので 、κ ∩κ′も0,

1を

含 む。

最後に加法、乗法に関する逆元の存在を示せばよい。κ∩

K′

∋

cと

する。

(c≠

0)こ

のとき、

c 1,一

cを

考える

:κ

,κ

′

は体なので

c 1,一

ccκ

,κ

′

である。よつて

c 1,一c∈

κ∩κ′

である。以上よりκ∩κ′は体である。

□ 上記 は

2つ

の体 κ,K′ の共通部分 を考 えたが

C内

の無 数 の部分 体 の族

ヤ亀

lα

∈五

}に

ついても∩α∈

A Kα

はCの 部分体となる。′

このことから

次 の定義 を考 え る。 定義 1。

3.4Cの

部 分 体

Kと

al… .α

"∈

cを

考 え る。κ と αl_,α

mを

含むすべての体の族ヤ

t(α

∈劫

}に

ついて、その共通部分∩α∈

4

καを

K(α_{l.,,αれ)と} 表 し、

Kに

αl… .αれを付加 した体 とい う。 定義か らK(α_{l.… αれ)は κ とα}l・ …αれを含む最小 の体 とい うことができ る。次に体 κ に元 を付カロした体を具体的な集合 として表す ことを考 える。

印

={粥

FO,ク

0∈

証明

まず

印

⊃

_{粥

_FO,gO∈

K回

,gO≠

0}

を

示

す

。

そ

の

た

め

に

_帰げ

0,90∈

KDを

考

え

る

。

補 題

1.3.5体

κ ⊂ れ る。 とす る と、

Cに

α ∈

Cを

付加 した体 κ(α

)は

以 下 の よ うに表 さ (1,1) ノ

(Z)=α

o+…

・+αれ″π(αづ∈κ) g(χ

)=bO+・

…

+bm″

m(bづ ∈」

r)

∫(α

)=α

o+…

・+αれα η g(α

_)=bo+・

…

+輛

m

ヽ ｔ ｒ リ ０ ≠ α θ ″ ヽ κ

とな り、κ(α)は κ の元 とαを含み和 と積で閉 じているので、∫(α),g(α)は

Koに

含 まれ る。

KOは

体であ 味 ズ→ ≠

0な

ので

帰

=胴

ズ

04

も κ_{(α)に 含 まれ 、(1.1)が}成 り立つ9

こ こ で 、

E={粥

_いθ

O∈

K回

,gO≠

0}

とお く。 もしも

Eが

体であれば、K(α_)は

Kと

α を含む最小の体 なので、 K(α_)⊂

Eと

な り、K(α

)=Eで

ある。 よって、

Eが

体で あることを示す。

Eの

元

妾

器

争器けし

て

ヽ

器

キ

器

=重

重二整

Jl告tJ譜

;量

生些立

器器

=士

蹴〓

と

」

こ

Fg稚

退

羹

象

月

邸

飛

曇

客

采

″

:ヵ

、

:￨ま

暑

暮

層

F巽

よ

晟二Ъ

立

つ

こ とは 明 らか で あ り、

0=:, 1=:

を含み、カロ

法に関する逆元を含む。乗法に関する逆元は、∫

(α)≠

0の

と

き

★針

が

妾器

の逆元となぅ。積の逆元は

0以

外の任意の元に村して

の

み考えるのでこれでよい。以上より

Eは

体である。

□

定理

1.3.6α

∈

Cを

K上

代数的とする。αの

K上

の最小多項式

′

をノ

(″)

とし、∫

(″)の

次数をηとする。このとき、

K(α

_)={bo+blα

+…

・十硫

_lα

π

llら

を∈Й

]

とな る。 証明

Z={bo+blα

+,…

+硫

lα

η

llbを

∈κ

_} とす る。κ(α

)は

Kと

αを含 む最 小 の体 なので κ(α)⊃ んで あ る。 一方 、ι⊃ κ

,L∋

αは明 らかだか ら、

Lが

体 で あれ ば κ(α)⊂

Lと

な

。 り、

K(a)=五

とな る。 以下 、

Lが

体 であ る こ とを示す。

第

1章

体 に関す る基本理論

15

五が和 で 閉 じて い る こ とは明 らか なので 、まず

Lが

積 で 閉 じて い るこ とを示す。五の任意 の元 は、η

-1次

以下 の κ 上 の多項式P(″ ),9(″)を 用 いて_{P(α ),c(α)と 表 され る。,(″ )g(π)を ∫(")で}害1っ て、 p(″_)g(″

_)=∫

_(")g(″)十r(″_{) (1.2)}

とおく。ただ し

g(″_)が

商で

r(■_)が

余 りである。このとき、多項式の割 り

算の性質か ら、θ

(″),r(″)は

κ 上の多項式で

r(")の

次数はη未満である。

(1.2)に

αを代入すると、

P(α)g(α

)=ノ

(α)g(α)十 r(α)

となり、∫

(α

)=0よ

り

P(α )9(α

)=r(α

)

を得る。

T(α_)∈

Lな

ので、

Lは

積で閉じている。

五⊂

Cで

あるか ら、カロ

法、乗法で可換であり、結合律、分配律が成 り

立つことも明らかである。

0,1∈

Lよ り、単位元も存在する。加法に関す

る逆元が存在することも明らかなので、最後に乗法に関する逆元が存在

することを示す。

0で ない任意の

Zの

_{元βに対して、η}

-1次

以下の

g(″_)∈

κ回 があつ

て、β

=θ

_(α)と

表される。∫

(″)は

αの最小多項式なので既約である。ま

た、

g(″_)は

∫

_(″)よ

り次数が低いから、θ

O駆

∫

_("),g(″

))=1に

なる。よつ

て適当なバ″

),3(″ )∈

κ

[″]を

用い、ス

(″)∫(″)十 B(″)g(″

)=1と

なるよ

うにできる。β

(″)を

バ″

)で

害

1っ

て、

B(■

)=∫

(″)σ(″)十 D(″ )と

する。

(deg D(″)≦

η-1)∫

(α

)=0よ

り、

1=バ

α

_)バ

α

_)十 (∫ (α)σ(α)十 '(α))θ(α)

=D(α

)g(α)

となる。よつてθ

(α)の

逆元は

'(α)と

なり、逆元が五に含まれる。

ゆえに、

Lは

体となり、

K(α

_)={bo+blα

+…

・

+わ

れ

lα

π

llろ

を∈κ

_}と な る: □

定理

1.3。

7α ∈

Cと

する。αの κ 上の最小多項式を∫

_{(■),degノ(″}

)=η

とする。このとき、κ

(α)の

任意の乖はα

O_,α

π∈

Kを

用いて、α

O+αlα

+

・…

+α

η

_lα

れ

1と

意

的 に表される。

証明 _β∈κ(α),αじ∈K,bを ∈κ とす る6 β

=α

o+α

l α

+…

・

+α

π_lα れ1 β

=bO+blα

十・・_・十bり lαれ 1 と

2通

りの方法で表せ る と仮定す る。 この とき、

0=α

O―

bO+(al一

bl)α

+…

・十_{(απ l― 硫}_1)αつ1 を考 える と、αO一bO,・ _…,απ_1-bれ 1の 中に

0で

ない ものが あれ ば αを解 に 持つ η次未満 の κ 上 の多項式 が存在す ることにな り、∫(″)が 最小多項式で あるこ とに矛盾す る。よつて、κ(α)の任意 の元は α。+αl α

+…

・+αれ_lα n_1 と一意 的 に表 され る。 □

1.4

体 の 同型

体 は加 法 、乗法 の

2つ

の演 算 を持 つ集 合 なので 、体 の間 の写像 と して

'

これ ら

2つ

の演算 を保 存す るよ うな写像 が重 要 とな る。

'

定義

1.4.lκ

,五 を体 とす る。写像 φ

:κ

→ 五 が任 意 の α,￨∈ κ につ い 口〔、

φ

(α

+b)=φ

(α)十

φ

(b)

、

φ

(乙

×

b)=φ

(α)×

φ

(b)

を満たす とき、φを

Kか

ら

Lへ

の体の準同型または中への同型 という。

また、ψが全単射のときφを体の同型または上への同型とい う。

定義

1,4。

2κ

,Lを

体 とする。K,ル の2つ の体が同型であるとは、κ

,L

の間に同型な写像が存在するとい うことである。

Kと

五が同型であるこ

とをκ

tt Lと

表す。同型写像の合成や同型写像の逆写像 も同型写像であ

るので体の同型 αは同値関係である。

補題

1.4。

3φ が体 κ から五への準同型であるとき次の4つ が成 り立つ。

1・

φ

(0)=0で

ある。

2.φ

_(1)=0ま

_{たは φ}

_(1)=1が

成 り立つ。

第

1章

体 に関す る基本理論 3.φ

_(1)=0な

らば、任意のα∈κ についてφ

(α

)=0で

ある。

4.φ

_(1)=1な

らばφは単射である。つま り、α

,b∈

Kに

ついて φ

(α

)=

φ

(b)な

らば α

=bで

ある。

証明

1.φ

(1)=φ

(0+1)=φ

(0)+φ

(1)で

あり、両辺か らφ

(1)を

引い

.て

_、φ

_(0)=0を

_得る。

2.φ

_(1)=φ

_(1×

1)=φ

_(1)×

φ

(1)な

ので φ

(1)(φ

(1)-1)=0と

なる。

よつて φ

(1)=0ま

たは φ

(1)=1と

なる。

3.α

=1×

αよりφ

_(α

_)=φ

_(1)×

_φ

_(α

_)で

ある。いま、φ

_(1)=0な

ので

φ

(α

)=0

4.ま ず、φ(1)=1,φ (0)=φ

(1+(-1))=φ

(1)十

φ(-1)よ り、

φ

(-1)=-1 (1.3)

である。いま、φ

(α

)=φ

(b)と

仮定すると、φ

(α

)+φ

(-1)φ

(b)=0な

のでφ

(α

―

b)=0で

ある。いま仮にα≠

bと

すると、

φ

(1)=φ

((α

―

b)(α

―

b) 1) .

=φ

(α

―

b)φ((α

―

b) 1)

=0×

φ

((α

一

b)丁 1)

=0

で矛盾す る。 ゆえに α―

b=0と

な り、φは単射 とな る。 □ 以上の ことか ら、φ

(1)=0と

す る とφは 自明な写像 になって しま うの で、体 の準 同型 φ:κ _→

Zの

定義 に φ

(1)=1と

い う条件 をカロえるものと す る。 この ことか ら、特 に体の準同型 は常 に単射 となる。 定理 1.4。

4κ

,Lを

Cの

部分体 とす る。写像 φ:κ →

Zが

体 の同型 な ら

ば任意のα∈

Qに

おいてヽφ

(α

)=α

となる。

証

明

φ

(0)=0,φ

(1)=1よ

り

、

φ

(η

)=η

(η

∈

N)で

あ

う

。

(1・

3)よ

り

、

任

意

罐数祠こ

つ

い

て

_まφ

O=η

で

あ

乙ば

⇒

=く

り

α

〉バ

⇒

=

Lべ

→

=η

よ

り

次

わ

=れ

≠

の

で

あ

乙よ

つ

て

、

備の

里∈

Qに

つ

η

いて φ

(讐

)=讐

といえる。

□

17

例

1.4。

5準

同型である写像φ

:Q(v5)→

Cは

2つ

しかない。

証明

/5は

Q上

代数的な数なので定理

1.3.6よ

り、

_Q(ν

5)に

含まれる任

意の元は有理数α

,bを

用いて、α

tt b、

落 と表せる。このとき、

φ

(α

+bν

5)〒

φ

(α)十

φ

(b)φ(ν

τ

)=α

tt bφ

(V5)

となる。また、φ∝仁

)φ

6層

)=φ

(3)〒

3で

あるから、φ←層

)≡

土√ であ

る必要がある。

、

1・

φ←層)=ャ

Cの

とき

φ

(α

+れC)=φ

(乙)十

φ

(b)φ

(√)=α

+^だ

となり、φは恒等写像と

なる。よつてこの場合のφは一つに決まり、φは準同型となる。

2.φ

_←編

_)=―

_{ντのとき}

φ

(α

+仏

月

)=φ

(α

)+φ

(b)φ

64)=α

一れ

Cと

なり、この場合もφ

は一つに決まる。このときのφが準同型となることを示す。

Q(ν

τ

)

に含まれる任意の2元 、

p十

_ぃだ

_,r十

_{ぉん に対して、}

φ

((P tt gV5)十

(r+sャ

4))=φ

((P+r)十 (9+S)ν

5) =P tt r一

(g+s)ντ

φ

(P tt gν

3)+φ

(γ

+Sν 3)=(p―

gν3)+(γ

一

Sν

τ

)

=p+r―

(g+s)ν写

なので、

:

φ

((P tt gャ

ξ

)+(r+SVτ

))=φ

(p+gV5)+φ

(γ

+Sν短

)

`

である。また、

φ

(0+9ν

億)(r+Sν5))=φ

((pr+3gs)+(gr+pS)ν

τ

)

=pr+39s―

(gr+PS)V写

φ

((p+9V5)φ

(γ

+SV5))=(p―

し

ν

5)(r_sν

3)

=pr+395-(gr+PS)桁

なので、

φ

((P tt gVτ

)(r+sv値 ))=φ

((ρ

+gντ

)φ

(r+Sν

5))

である。また、φ

(1)=1で

あることから、φは準同型である。

第 1章

体に関する基本理論

19

よって準同型であるφ

:Q(ャ

6)→ Cは

ちようど2つ 存在する。

□ 上 の例 の考 えを一般化 す る と次 を得 る。 補 題 1.4。

6α

∈

Cを

Q上

代数 的 な数 とし、αの最 小 多項式 の次数 を ηと す る。 この とき、Q(α

)か

ら

Cへ

の準同型 の個数 は、η個以下であ る。 証明

Q上

代数的 な数 α の最小多項式 を

g(")=″

つ_+αη_1″れ

1+…

。十αl“ 十αO(αO,1-,αれ_1∈

Q)

とす る。特 に、deg g(″

_)=η

とす る。

/

ここで、定理 1.3.6よ り任意のz∈ Q(α

)は

、

z〒

CO+Cl α

+…

・+Cη二lαり1

と一意的に表せる。いま、φ

:Q(α

_)→

Cを

準同型とすると、定理

1,4,4よ

り、任意のα∈

_Qに

対してφ

(α

)=α となる。φ

(α

)=β

とおくと、準同型

の性質から、

φ(Z)=Co+Clβ 十・…

+%_lβ

れ

1

となり、βの値でφは決まってしまう。いま、

g(α

)=0な

ので、

φ

(g(α

))=φ

(α

)n+α

れ

lφ (α)π

1+…

_・

+αlφ

(9)+α

o=0

である。よつてφ

(α

)は

θ

(χ

)=0の

解である。ゆえに、φ

(α)の

取 りうる

値βは高々η個であり

(φ

の個数も高々η個である。

□ 次 に、補題 1.4.6の 準 同型 φは実際 η個存在す る こ とを示 したい。 その た めに次 の定理 1.4.7を 用 意す る。 次 の定理 1,4・

7で

は、

Cの

部分体 ではな く、抽象 的 な体 と して拡 大体 を 構成 す る。(実際 には、

C自

体 も

Rか

らこの よ うに抽 象的 に構成 され た も ので あ る。

) .

定理

1.4.7Kは

体、″を不定元、∫

(″)を

κ 上既約なη次多項式 とする。

このとき、

L平

_{α

π

_1″

れ

1+・

…

+αl″+αOlα

パ κ

_} とす る。つ ま り、

Lと

は η次未満 の κ 上の多項式 の集合 である。 この

L

上 に次 の よ うに演算 を定めると

Lは

体にな る。p(″ ),9(″)∈

Zに

対 して、

1・ _P(″

)+g(")∈

Lを

_,(″)と _9(″)の 和 とす る。 2,P(″_)9(・

_)を

_∫

_(″

_)で

_害

1っ

て

' P(")g(π

_)=∫

(″)g(″)十r(″)(た

だし

deg(r(″

))<η

)

となるとき余りの

r(“_{)をP(“)と} g(″_)の

積とする。

証 明 和 につ いて可換性 、結 合律 、単位 元 の存在 、逆元 の存在 は 明 らか で、積 につい て可換性 、単位 元 の存在 は明 らかであ る。まず積 の結 合律 に つ いて述べ る。α(″),b("),C(″ )∈

Zに

つい て、「α(″)と b(″)の積 」 とc(π) の積 をs(″_)とす る と、∫_(π)で害1る多項式 の害1り 算 が

2つ

成 り立 ち、

α

_(″)b(κ

_)=∫

_{(″)gl(″)+rl(″})

:

_γ

l(″ )C(″

)=∫

(π)g2(″)+S(″)

となるので、

α

(″)b(")C(″

)=∫

(π)gl(″)C(″

)+∫

(″)g2(″

)+S(・

)

=∫

(″){gl(″)C(")+g2(π

)}+S(″

)

となる。つまり、

s(″_{)は (α (″)b(″))C(″)を}

∫

_(“

_)で

害

1っ

_{た余 りである。}

α

_{(″),b(・ ),C(″)∈}

Lに

ついて、α

(″)と

「

b(″)と C(″)の

積

Jを

す

(″)と

す

ると、ノ

(″

)で

害

1る

多項式の害

1り

算が

2つ

成 り立ち、

b(″ )C(″

)=∫

(″)g3(")+r2(χ) r2(″_{)α (″}

_)=∫

_{(")g4(″)十}j(″₎ となるので、

α

_{(χ)b(″)ι (″)三}

_∫

_{(″)g3(″)α (″)十}

_∫

(″)g4(″)十t(α)

=∫

(″){■(″ )α (″)十

θ

4(π)}十

ι

(“)

となる。つまり、

t(″_)は

α

_{(″)(b(")C(″))を}

∫

_(″

_)で

割った余 りである。

よって、

s(″_)と

ι

_(″)は

どちらもα

_{(″)b(″)C(")を}

∫

_(″

_)で

害

Jっ

た余 りとな

り、結合律 が成 り立 つ。 次 に積 の逆 元 につ い て考 える。 任 意 に

0で

ないP(″)∈ 五 を一 つ とる。

∫

(″)は

既約で、

P(")は

バ″

)よ

り次数が低いから、

P(″)と

∫

(κ

)は

互いに

素 とな り、定理 1.2.16に よ り、

ρ

(″)g(・)十

∫

(″)ん (″

)=1

第

1章

体 に関す る基本理論

となる

g(″_),ん(″

_{)∈ κ回 が存在するも}

_9(″

_)を

∫

_(″

_{)で 害}

1っ

て、

9(χ

)=

∫

(″)g5(″)十r3(″)と

する。 このとき、

′

P(″)(∫(″)g5(″)+r3(″

))+ノ

(・)ん (π

)=1

とな り、変形すれば、

P(χ )r3(″

)=∫

(″)(一 P(″)g5(") ん(″

))+1

となるから、

P(″)と r3(″_)の

積は 1で ある。

最後に分配法則について示す。α

("),b(″ ),C(″)∈

五について、α

(z)c(π), b(・ )C(″)を

∫

(″

)で

割つた商、余 りを

α

_(″)C(″

_)=∫

_(χ)g6(″

_)+鶴

_(") b(″ )C(″

)=∫

(″)g7(π

)+υ

(″)

とお くと、

(α(%)十 b("))C(")=ノ(″)(g6(″)十

ル

(″))十

七

(″

)+υ

(″)

である。このとき、

deg(z(″ )十

υ

(■))≦

η

-1な

ので、υ

(■

)+υ

(″)が

余

りとなる。よつて、α

(″)十 b(")と C(″)の

Lで

の積はじ

(″)十

υ

(")で

ある。

以上より

Lは

体である。

□

系

1.4.8α

∈

Cを

κ上代数的、αのκ上の最小多項式をノ

(″)と

するι

このとき、∫

(″

)か

ら定理

1.4.7の

五を構成すると、

K(α)笠

五となる。

証明 deg∫

(・

)=η

とする。φ

:L→

K(α )を

次のように定める。

P(■)∈

五

に対して、φ

(P(χ

))=P(α

)と

する。このときφが体の同型であればょい。

まず φ

(1)=1は

明らか。

p(π_),9(%)∈

五に対し、

_{P(")と 9(″)の}

Lで

の和

を

s(“_)と

おくと、

S(″

_)=P(″

_)+9(″

_)で

あるから、

φ

(P(″)+9(″

))=ψ

(S(″)) =S(α) =P(α)十g(α)

=φ

O("))十

φ

(9(″)) 21

となる。次に、

P(″)と 9(")の

んでの積を

r(″_)と

お くと、

いて、

P(″

)g(")=ノ

(")t(″)+r(″)と

表せる。このとき、

P(a)9(α

)=∫

(α)ι(a)十 r(α) =r(α ) あ る ι(″)を用

である。よつて、

φ

(r(″

))=r(α

)=p(α

)g(α

)=φ

(P(″ ))φ (9(″ )) とな るか ら、φは体 の準 同型である。あ とは φが全射 であれ ばよいが、任 意 の α

O+α

l α

+…

・+αη_lα π l∈ _K(α

)に

対 して、

P(")=α

o+α

l″

+…

.十 απ-1■れ1∈

Lと

す る と、φ(P(″))〒 α

o+…

・+αれlαれ

1で

あ る。 よつて φ は全 射 で あ る。 ゆ えに、K(α_{)と んは同型 で あ る。} □

系

1.4。

9α

_,β

∈

Cが

Q上

共役なとき、

_Q(α

)2Q(β

_)⊂

Cで

あるど

証明

α

,β

の最小多項式を∫

(π)と

する。このとき、補題

1.2.7よ

り∫

(″)

は既約なので、バ″

)か

ら定理

1.4.7の

体 五を構成することができる。系

1.4.8よ

_り、

_Q(α)蟹

ι

_{,Q(β )蟹}

んなので、

Q(α)α Q(β )と

なる。このと

き、

_{Q(α )壁 Q(β)を}

示す同型写像はαをβに移す。

□

系

1.4。

10Q上

代数的な元 α∈

Cの

Q上

の最小多項式を ∫

_(″)と

したと

き、

Q(α

)か

ら

Cの

中への同型の個数は ∫

(")の

次数に等 しい。

証明 degノ

(″

)=η

とする。すると、∫

(″

)=0の

解 α

l… .α

れが存在する。

このとき、定理

1.2.14よ

_り、∫

_(″

_)は

重解をもたないので、α

l…

・αれは全

て異なる。

Q(α)∼ Q(α

づ

)⊂

Cよ

り、φ

:Q(α

)→

Cで

φ

(α

)=α

jと

なる

ものが存在する。

ゆえに、φは少なくともη個存在するから、補題

1,4.6よ

り、ちょうど

η個存在する。

□

系 1,4.1l Q上 代数的な元α∈

Rの

最小多項式を∫

(″)と

したとき、

Q(α

)→

Rの

_同型は∫

_(″

_)=0の

実解の個数に等しい。

第

1章

体 に関す る基本理論

23

証明

Rは

Cの

部分体だか ら、 φ:Q(α

_)→

R⊂

C

と考 えれ ば、Q(α

)か

ら

Rへ

の準同型 φは

Cへ

の準同型 と考 えることも できる。 ゆえに、系1.4.10の準同型の うち像 が

Rに

含 まれ るものの個数 に等 し いので主張は明 らかに正 しい。 □

1.5

体 の超越拡大

この節では超越数を

Qに

付加 した場合 どうなるのかを考えたい。

定義

195。

1″ を不定元として、

Q上

の有理式の集合

QO={粥

_FO,gO∈

Q即

,し

0≠

o}

ゲえ

,。

こ

の

と

き

、

QO∋

粥

,帰

けし

て

ヽ

バ

→

ノ

0=ノ

リズ

→

の

と

き

は

、

;静

￨

夕

静

￨ とい うよ うに同 じ有理 式 と考 える。

補題

1.5。

2α

_{(″),b(″ ),C(″),α(″)∈ Q[″]、} b(・_)≠ 0、

ご

_(″

)≠

9に

対して、

Qし

)の

2元

釜霧

と

袋審

の不

日と積を

器十

器

=塑

鵠譜塑

南

器×

器

=誌

_粥

面

と定めたときこれらは

wel卜

deinedで

あり、

Q(″

)は

体となる。

証 明 まず、式(1.4)と 式 (1.5)が well―

deinedで

あ る こ とを示す。 α_(%) α′_(") b(″

)

夕_(″) C(″

)

σ_(″)

. d(″ )♂

(″) つ ま り、 α_(")b′(″

_)=α

′_(″)b(″

) (1・

6) C(″_)αl(″

)=び

_{(″)α (″}

) (1,7)

な らば、 α_{(″)α (″)十b(″ )C(・}

_)α

′_(″)α′_(″)+b′(″)C′(・) b(″_{)α (″}

) b′

_{(″ )α}′_(″) α_(″)C(″

₎

α′_(″)C′(″) b(″_{)α (″}

_{) b′}

_(″)♂(") つ ま り、 (α(″ )α(")十 b(■ )C(″))b′ (″ )α ′ (″

)=(α

′ (″ )α ′ (″)+b′(″)ご(″))b(″)α (″) α_{(″)C(″)b′(″)α}′_(″

_)=b(″

_{)α (″ )α}′_(″)C′(″)

であることを示せばよい。

式

(1.6)よ

り、

α

_(″)b′(″ )α (・ )α

′

(″

)=α

′

(″)b(″)α (″)♂

(Z) (1.8)

である。また、式

(1.7)よ

り、

, b(″

)b′(″)C(″)α

′

(″

)=b(″

)b′(″)C(″)α (π

) (1,9)

である。式

(1.8)と

式

(1.9)の

両辺をたして、

(α (″)α (″)+b(″)C(″))b′ (χ )α ′ (″

)=(α

′ (″ )d′ (″)十 b′_{(ケ)C′(″))b(″)α(1)} とな るので、 α_{(″)α (″)+b(″)C(π}

)α

′(″)α ′ (″)+b′(″)Cl(″) b(″_{)α (″) b′(″)α}′_(π)

第

1章

体 に関す る基本理論

25

で あ る。 ま た、式 (1,8)と 式 (1.9)の 両辺 をか けて、 α_{(″)b′(″ )ι (生 )α}′_(″

_)=α

′_(″)b(″)C′(・ )α (″) とな るので、 (α (″)C(″))(b′(")α′(″))=(α ′ (″)C/(″))(b(・)a(Z)) で あ る。 よつて、

α

_O)∝

_→

_″し

_)σ

_O)

bO)<→

υ

_O)♂

_(→

であ る。ゆえに、式 (1.4)と式 (1.5)がwell―de■

nedで

あるこ とが示 され た。 次 に 単位 完 を考 え 乙 事

:∈

。 → 猪 える と ０ 一 １ １ 一 １

+器

=・

半鵠静響

=器

×

_器圭

_姜器〒

_器

よ り加法、乗法の単位元が存在す る。 また、

(器

十

器

)十

需

=

α_{(″ )α (″)十 b(″ )C(″)} b(→

α

_し

)

十

_テ

::

となるか ら、

器

+(器

十

需

)=

加 法 の結合律 は成 り立つ。

(器

×

器

)×

需

=

器×

(器

×

需

)=

α

(″)α (″)バ

″

)十b(″)C(″)∫(")十 b(″)α (″ )θ(")

bO)<→

_ノ

₀₎

器十

塾鵠寄塑

α

_{(・)ご (″ )∫ (″)+b(″)C(″)∫}(″

)+b(″

)α (″)C(・)

∝→

<→

∫

0)

さらに、

器需×

需

αし

)∝

″

)θ(→ b(")α_{(″)∫(″)}

器

×

誌 器

α

_O)∝

_→CO)

b(″_{)α (“)∫(″)}

とな るか ら、乗法 の結合律 が成 り立つ。 また、

(器

年

器

)×

需

=∠

幾畿器塑×

需

α_{(″)d(″)C(″)+b(″)C(・)C(″})

×

_テ

_:;=誌

_器十

_誌器

α(″)d(π)0(″)+b(″)C(″ )C(・) b(″_{)α (″ )∫ (″)} よ り、分酉己律 が成 り立つ。 最後 に逆 元 を考 える。

器×

テ

:;十

器

器十

評

α(″)b(")一 α(″)b(″)

∝″

)2 ０ 一 １ 〓 よ り、加 法 に関す る逆元 は存在す る。

器×

器

=

である。

以上より、

Q(″

)は

体である。

補題

1,5。

3z∈

Rを

Q上

超越的 と

Q(″

)か

らの写像 φ

:Q(■

)→

Q儘

)を

対 して、

器≠

0?と

き

く

→

α

_(″)∝

″

)1

α_(・)b(″

_{) 1}

≠0な ので、

□ し、″を不定元 とす る。有理 式 の体 需 ∈

QOげ 0,gO∈ Qり

に

φ

(多

券

￨)=粥

とおくと、φは体の同型である。

証

明

ま

ず

φ

が

写

像

で

あ

る

こ

と

を

示

す

。

∫

(“),g(″)∈

Q回

(θ (″)≠ 0)に

対

し

て

、

し

は

超

越

的

な

の

で

、

go≠

0と

な

る

こ

と

か

ら

、

粥∈

Qoで

あ

る

。

ま

た

、

_器

,帰

∈

。

→に

対

し

下

、

_需二

_帰め

と

き

ヽ

バ

→

貞

→

=

ノ

′

(χ )θ (χ

)で

あ

る

。

よ

つ

て

∫

(し)g′

(Z)=∫

′

(し)g(鶴

)で

あ

る

。

g′_{(υ),g(Z)≠ 0}

第

1章

体 に関す る基本 理論

27

なので、 需

=器

で あ る。 ゆ えに、夕 ま臀 か 呼写像 と して定義 され てい る。

次に、φが体の準同型であることを示す。α

(″),b(″),C("),α(″)∈

Qレ

]、 b(″_)≠ 0、

α

_(″)≠ 0と

したとき、

φ

_(器

_す

_器

_)=φ

_(塑

_器黒響

2).

α_{(%)α(し)+b(%)C(鶴)} b(し_)α(%)

〒

_器

+器

,(器

)+φ

(器

)

が成 り立つ。また、

φ

(:::×

器

)=φ

(器

)

α(鶴)C(包) ヽ b(Z)α_(し)

=器

×

_器

=φ

(:::)×

′

(::3) ￨

も

成

り

立

ら

_。

_す

た

、

_■

=:=l毒

r亀

雀

l.:.∫

fal厖

識

F[S(b

最後に、φが全射であることを示

1

に

つ

い

て

、

α

=器

と

表

チ

こ

と

が

で

き

る

。

こ

の

と

き

、

β

=粥

∈

Qり

とおくと、φ

(β

)=α

である。よつて、φは全射である。

ゆえに、φは体の同型である。

′

□

定理

1.5。

4Q上

超越的な実数α

,β

に対して、

φ

:Q(α

_)→

R

という中への同型でφ

(α

)=β

となるものが存在する。

証明

φ

:Q(α

_)→

_{Q(β )と}

い う体の同型で φ

_(α

_)=β

となるものがあれば

よ い 。

実際、補題

1.5.3よ

り、″を不定元とすると、体の同型

φ

l:Q(″

)→

Q(α)

φ

2:Q(″

)→

Q(β)

でφ

l(″

)=α

,φ2(″)〒

βとなる体の同型があるから、φ

2・

_「

φ

1:Q(α

)→

Q(β )も

体の同型で、φ

2・

_「

φ

1(α

)=β

となる。

□

29

第

2章

凸多角形の三角形へ分割

した ときの座標

「正方形 は有限個 の30° -60°・90° の直角 三角形 に分割 で き るか」 とい う 問題 が あ る。 直角 を挟 む

2辺

の比 が無理数 で あ る こ とか ら、直観 的 に不 可能 で あ る と感 じるか も しれ ないが 、そ の無理数 性 は不 可 能 の根 拠 とは な らない。 実 際 、正方形 を互 い に相似 な直 角三角 形 に分割 す る とき、三 角形 の直角 を挟 む

2辺

の比 が満 たすべ き条件 は無 理 数性 よ りも弱 い条件 なので あ る。 本 章 で は 、そ の条件 を調 べ るた めの準備 として 、有理 凸 多角形 を三角 形 に分害」した ときの分割 点 の座標 が、有理 数 に各 三 角形 の 内角 の余正接 を付カロした体 に含 まれ る こ とを示 九

2.1

問題提起 と主定理

以 下、凸多角形 は頂 点 、辺 と内部 を合 わせ た平 面上 の集 合 と考 え る。 定義 2.1。

1座

標 平 面

Nに

お いて 、″座標 、ν座標 が共 に有 理数 の 点 を有 理 点 とい う。 また 、頂 点 が有理 点 の凸多角形 を有 理 凸 多角 形 とい う。 定義 2。

1.2凸

多角形

P,三

角形 △

1._△

Nに

対 して 、

Pが

△1.… △Ⅳに分 割 され る とは、以下 の

2つ

の条件 が成 り立 つ こ とと定義す る。

1,P=△

1∪ …・∪△

N

2.1≦

を

<ノ

≦Ⅳ の任意の △を

,△

」に対 して、△を∩△′は △を

,△

プの境

界に含まれる。つま り、2つ の三角形は辺、頂点の一部 しか共有し

ない。￨

今回は「

Pが

△

1,…

△Ⅳに分害

1さ

れる」 とい うとき、「

Pや

△をどうし

で辺を共有 しなければいけない」とは仮定 しない。だから例えば、図

2,1

の △

_1,△

_2の

ように辺の言部のみを共有 しているものも許容 される

`

図 2.1:辺 を共有 しない例

1987年

L,Pogaに

よつて 「正方形 は有限個 の30° -60° -90° の直角三角形 に分害Jできるか」 とい う問題 が提案 され た。直角 を挟む

2辺

の比 が無理 数 √ であることか ら、直観 的に不可能であると感 じるか もしれ ないが、 その推論 は間違 ってい る。実際、半角公式 か ら、 l l cos30° cos2 15° == sin2 15°

=ギ

よ り、

であ り、

2 ν写十 νり 桁 ― ψ cos 15°

=

sin 15°

=

=2-ν

ξ

4 tan 15°

=

sin 15° cos 15° となる。つ ま り、15°-75° -90° の直角三角形 でも直角 を挟 む

2辺

の比 は無 理数

2-√

であるが、図2.2の よ うに、この三角形 の斜辺 を底辺 におき、 斜辺 の長 さを1と _{した ときの高 さは、面積}のう考察か ら、cos 15° sin 15°

=:

である。 よって、図2.3の よ うに直角三角形 を配置す ると、正方形 は15°― 75°-90° の互 い に相似 な直角三角形 に分割 で きるこ とがわか る。つ ま り、 正方形 を互い に相似 な直角三角形 に分割す るとき、直角 を挟 む

2辺

の比 が満 たすべ き条件 は無理数性 よ りも弱い条件 のはず であ る。 本論文 のテーマは、有理 凸多角形

Pが

互いに相似 な直角 三角形 に分害1 で きるとき、直角 を挟む

2辺

の比が満たすべ き条件 を調べ ることである。 つま り、有理凸多角形

Pと

正 の実数 αに対 して、直角 を挟 む

2辺

の比が αとなる有 限個 の直角三角形 に

Pを

分割 できるとき、αの満 たす 条件 を 調べ た。 自然 に考 えれ ば、αの条件 は

Pに

依存す る と思 われ るが、実は

Pに

依 らない条件 を αは満 たす必要がある。つま り、次が成 り立つ。

第

2章

凸多角形 の三角'形へ分割 した ときの座標

sin 15。

図 2.2:15°-75° -90° の直 角三角形

図 2.3:正方形 の15°-75° -90° の直 角三角形 へ の分割

定理

2.1.3有

理 凸多角形

Pが

直角三角形 △ と相似 な三角形 に分害1でき るな らば、△ の直角 でない内角 αについてcot αが

Q上

代数的かつcot α の最小多項式 の実根がすべて正 となる。 cot 30°

=√

であ り、√ の共役 な数 は 一√ で あるこ とか ら、 この定 理 に依れ ば次の結果 が得 られ る。 系

2.1.4正

方形 は30°-60° -90° の互いに相似 な有限個の直角三角形 に分害1 できない。 以下 、定理 2.1.3の 証 明 を行 うこ とが本論 文 の 目的 であ る。証明 はFlの もの を参考 に したが 、その内容 は とて も一般化 され た内容 となってお り、 初 学者 に向 けた書 き方 とはなって い ない。 ここで は頂 点 の座標 が有理数 の凸多角形 を相似 な直角三角形 に分割す る場 合 に限定 して整理す る。 尚、 問題 提 起 自体 は幾何 学 的 な もので あ るが 、結論 を見れ ばわ か るよ うに体 の拡 大 とい う代数 的 な内容 と密接 に関係 してい る。

2.2

分割辺の傾 き

有理凸多角形 が三角形 に分割 され るときの分割辺 の傾 きについて調べ る。実際、分割辺 の傾 きは各三角形 の内角 の余正接 と有理数 を用 いて四 則演算で表す こ とができる。 定義

2.2.1線

分 の両端点の二方 を始点、他 方を終 点 と定 め るとき、線分 に向 きを定め る といい、向きを定 めた線分 を有向辺 とい う。 また、有向 辺 ス

Bと

書 くときは ス を始点、β を終点 とす る。 有 向辺

ABに

対 し、 浦 〒_{(r cos} θ_{,r sin} θ) となる

r>0,θ

∈

Rを

選ぶ とき、θを有向辺 ス

Bの

偏角 とい うことにす る。 ただ し偏角 は2π の整数倍 のあいまい さを もつ。 補題

2.2.2多

角形

Pは

三角形 △1,… .,△Ⅳ に分割 され る とす る。

Pの

一 つの辺 に向きを定めた有向辺 を ∫とし、△J(1≦ J≦ Ⅳ)の

1つ

の辺 に適 当 に向きを定 めた有 向辺 をcと_{す る。 この とき、(cの 偏角)―} (∫ の偏角)は △1,… .,△

Nの

い くつかの内角の和 である。

第

2章

凸多角形 の三角形へ分割 した ときの座標

図

2.4:△_1,…

・

,△

続のとり方

証明

図

2,4の

ように、△

1,… .,△

Nの 中の三角形の列△

1,… .,△

れで次を

満たすものがとれることは直観的に明らかであろ う。

1.ノ

は△

_1の

辺を部分 として含む。

2.eは

_{△親の辺である。}

3.△

_:と

△

_:+1は

辺の一部を共有する。

△

_:と

△

_:+1が

一部を共有する△

:の

辺の向きを適当に定めてその偏角を

αことする。また、∫の偏角をα=α

O、

Cの 偏角をβ=αれとする。

まず

1つ

の △

_:に

注 目して、

αづ一 αを_1が △_:の内角 のい くつ かの和 とな る

_●・

1) こ とを示す。△:の 偏角 αこの辺 と △:の偏角 α。

1の

辺 の共有頂点 を

Sと

し、偏角 αづの辺 をSび、偏角 αづ1の 辺 を

STと

す る。辺 の向きを変 える と、偏角は π変化す るが、△:の内角の和 は

7な

ので、辺 の向きを適 当に 定めて_{(2.1)を示せ ば十分である。そ こで、}

Sを

αを,αを

1の

始点 と して示 す。 この とき、以下の

2通

りが考 え られ る。

1,S,T,び

が △_:のまわ りに時計回 りに並ぶ とき_{(図 2.5)} 図

2.5:S,T,Uが

時計回 りの とき 図を見てわか るよ うに、 αづ

α

づ_1=7「

+∠ T十

∠υ である。