1̲銑 )

第

2章  

凸多角形 の三角形へ分害^1した ときの座標 43

図 2,11:y3θ を頂点とする三角形

〜

この両辺 の値 は 包―

2で

^{あるか ら}

0で

_{な く、(″}

1‑ν

l),(Zl二 ″1)は 共 に正 となるため、き,tは同符号 となる。 よつて、^1.の とき主張が成 り立つ。

(こ の ときは η

=772=1で

ある。)

"2."が成 り立つ とき

7を

通 りν軸 に平行 な △′の辺 を延長 した部分 にも

Pの

分割線 は続 く

可能性がある。出来る限り長く分割線上に延長した線分をι ^=″

1×

レ

,d とす る。

Pが

凸 で あ り、″

1は Xの

最小値 ,最 大値 で ないか ら、ιの両^llllに

ι 上に辺を持つ三角形が

("1,b)か

ら

_(″1,c)ま

ですきまなく並ギ。

(図 2.12 を参 照。₎

ι の左側の三角形を下から△

1,… .,△

れとおき、ι の右側の三角形を下から

△れ

+1,,・

・

,△

π

ttmと

おく。△をの頂点を

(πl,zづ 1),(″1,Zを),(ν

を

,α)と

おく _(j=

1,,…

η

_)。

△れ 十たの頂点を

(■1,υ

た

^̲1),(″1,υ

ん

),(Zた,Z力)と

おく

_(た =1,.・

・

^m)。

(図 2.13を

参照のこと。 _)た だし、

b=鶴0<し 1<…

^・

^<%れ =C

b=υ O<υ l<…

^・

^<υ

れ

=C

とする。 このとき、

鶴づ― Z̲̀1 =(%を

一α

)十 (α

―

^Zを̲1) υづ― ν:

(″

1‑ν

^j)十

甕 ^し を

1(″

図

2.12:"=″ _1上

第

2章  

凸多角形 の三角形へ分割 した ときの座標

lX l ui)  (X lVk)

でぁ

2。 Zj―

α

,Zじ

1‑例 は△ じ の辺の傾きなので、鶴 ^{j α} ―γ を 1‑α

″

1‑銑  

^″

1 銑        

^″

1‑銑  

^″

1 ν

づ

を

^sこ

とおくと、定理

^2.2.3よ

り、

^sづ

∈ Fと なる。このとき、五。一しづ 1>o

● 1‑ν

̀>0よ ^り、

^sづ

>0で ある。

45

にkZl)

(ylyF)

(Xl ui̲1) (Xl Vk̲〕

図 2.13:△ を,△れ+た の頂 点座標 同様 に、

       '

υ れ

+た υ

れ

+た

‑1=(υ れ

+た

一

^Z力_{)十 (Zカ}

ーυ η 十 た

¹⁾

=響 け 0+轡 ^偽 a

=(轡 +得 )け a

なの で、嘔 十

Zl υ

_た

1=ι

んとお く と、定理 2.2,3よ り、ιん∈

Fと

Zた ″

1 れ ― ″1

なる。 また、ιん

>0で

ある。 いま、

C―

b=Σ 色―銑 ^1)=Σ 島 01‑"

t=1

=5ン

(υれ十ん^T鋳汁た

‑1)=Σ

_ィ^ιた(Zた 一″₁₎

ん=1

かつ νを

<π

_l,zた

>π

_{l,島 ∈二}tた ∈二 St>0,tた

>0で

あるの で、主 張 が示 され た。

'       

_□

定理 2.4.2有 理凸多角形 Pは △

_1.…

△Ⅳに分割されるとし、△プの内角を αル島

^{,飾(プ =1・}

…Ⅳ

_)と

する。このとき、

F=Q(COt  αl,cotβ l,COt■ ,… ,,COt αⅣ,cotβⅣ,COt 7Ar)

とお くと、△ぅの頂点の座標 は

Fに

_{含 まれ る。}

証明

 

三角形 △1,… .,△

Nの

頂点の ″座標 を小 さい順 に並べ、π

O<…

^・<″_P

とす る。ν座標 について も同様であるか ら、π^O,.… ,"p∈

Fを

示せ ば十分 である。いま

Fは Rの

部分体であるので、

Rを F上

のベ ク トル空 間 とみ

なすことができる。そのように考えるとき、

_{″d,・1,・

… ,"p}で 生成され

る

F上

のベ ク トル 空 間 を

Lと

す る。 つ ま り、

L={Co″ o+… ・ _+%″

_PICo―

.%∈ F}

とおく。″。

,力

Pは Pの 頂点の座標なので有理数であり、特に″

0,″p∈

Fで

ある。また″

0≠

″

_pよ

りどちらかは0で ない。いま、″

0≠ 0と

すると、任 意の ν∈ Fに 対 して、

｀     ν

=(ν

×″

『

¹⁾

o+0× ^″ 1+… ^・ +0× ″

_P

と表せ る。し×″『

1∈

Fで

_{あ るので、ν∈}

Lと

_{な り、}

F⊂ Zが

わか る。特 に、

LDlで

あ る。 また、″J∈

Lな

ので、五

=Fで

あれ ば証 明は終 了す る。 んは有 限個 の元 ″0̲・″

Pで

生成 され て い るの で 、

F上

有 限次 元 であ る。 そ こで 五が

F上 1次

元 であ る こ とを示 す。

実際 、

0で

ない元

1か

ら始 めて

1つ

ずつ

F上

独 立 な元 を加 えて、

Lの F

上 の基底

Bが

で き るはず で あ る。 も しβ

=(1}だ

つた ら証 明が完 了す る ので、β ∋bO≠ 1と仮 定 して矛 盾 を示す。

3=(1,bo,bl,.…

_,bs}と

すれば任意の″∈ ^Lに 対して

″

=c× ^{1+cO× bO+…}

^・

+Cs×

^bs(c̀∈

F)

とい う一意 的 な表 示 が得 られ る。 この表示 を した ときのbOの係 数 を^c( )

と表 す。 い ま、″_0,,… ,″

Pは Lを

生 成 してい て、^1,bO,bl.… bsは んの

F上

の基底 で あ るので、定理 2.3.11よ り、^c(″

̀)≠ 0と な る りが存在 す る。

"0,∬P∈

Fな ので、     ^ヽ

″

0="0× 1+0× bO+…

^・

+0×

^bs

Zp=″

0×

1+0× bO+…

^・

+0×

^bs

より

c(″

0)=0,C(χ p)=0で ^{ある。 よつて}

^c(″

づ )≠ ^0と なる″をは ″

0,πP

ではない。何 となれば、

^b。

を 一

bOに

置き換えることで

^c(

を )>0と ^なる

"づ

があるとしてよい。このとき、π 〒

^mα

″

_{c(″

づ

)lj=0・

… ^p}と すると、

第

2章  

凸多角形 の三角形 へ分害^Jした ときの座標

         47

鶴 >0で ある。

^c(″

づ )=mと なるりのうち最大のりを ^rと おく。つまり、

C(″

r)=鶴 >0で ある。

^c(″

じ

)≠ 0と

なる″ づは″ 。

,″

pで はないことから、

r≠ 0,pな ので、″ rに 対して、補題

^2.4.1を

用いることができる。つまり、

χ ={"0,…

^.,″

p}と すると、助

,zた

∈χ、

^st,tた

∈ Fが _{存在して、}

助

<″r<Zた

,Sを >0,ιλ

>0

か つ

Σ島 。

^r―

銑 )=Σ

_Eι

ん (4‑″ →

を=1       ^た=1 が成 り立つ。

こ こで 、Σ〕^Sを(πr一 νを)も _Σ〕^ιん(作 ―″r)も ん の元 な の で 、 どち らも

1,b。,bl,.̲,bsと い う基底 の一次結合 で表 した ときの各係 数 は等 しい。特 に、bOの係 数 を考 え る と

Σ亀 ^{中

^r)一

∝

"}=Σ

ι た {も )=く ″ _r)}  0.つ

を=1       ^た=1

である。

       

^′

式

_(2.7)に

おいて協∈

{″0,,…

″ _P}で あり、

^c(″

_r)=max{C(銑

)￨を =0。

・

^.分

より、

^c(″r)≧ ^C(銑)な

ので、

^c(″r)一 ^C(銑)≧

0で ある。よつて式

(2,7)の

左辺は 0以 上である。

一 方 、^zλ ∈_{χo,,…″

p}だ

か ら、同様 に、^c(zた)一 C("r)≦

0で

あ るが、

zた

>"rよ

り、^zた

=″

^r′ と した とき、

r<r′

_{で あ り、ら は}c(″

r)=っ

^とな

る ″この うち添 え字 が最大 の ものなので、

c(4)=C(″

_{r)と な る}^zん は ない。

よって、^c(zん_)一 ^C(・

r)<0で

あ る。 よつて式 (2.7)の 右辺 は負 であ る。

つまり、式

_(2.7)の

左辺は 0以 上だが式

_(2・7)の

右辺は負となり矛盾す る。よって、 3={1)で あり、 L=Fで _{ある。ゆえに、″づ∈} Fで ある。

□ この章 で述 べ た こ とを、有理 凸多角形 を互 いに相似 な直 角三角 形 に分 割す る場 合 に適 用 す る と次 の よ うにな る。

定理 ^2,4。

3有

理 凸多角形

Pが

互 いに相似 な直角三角形 に分割 され る とし、

直 角三角形 の

1つ

の鋭 角 を α とす る。

F=Q(COt 

α)と お く と、各 直角三 角形 の頂 点 の座標 は

Fに

_{含 まれ る。}

証明

 

直角三角形の 1つ の鋭角をαとするため、直角三角形の内角は α

,3‑

α

,3Fあ

^る。

 

^また、

 ^cot(,一

^α

)=cot 

_α^{‐である。}

 

いま、

F=Q(COt  α,Cot(,一 ^α),COt(3))

とお くと、定理^2.4.2よ り各三角形 の頂点 の座標 は

Fに

含 まれ る。 この とき、

F=Q∽

^ttt 

Щ _:一 ¨ ウ

=Qい 偽鳥 D

=Q(COt 

^α)

であ る。以上 よ り、

F=Q(COt 

α_)とお くと、各直角三角形 の頂点 の座標 は

Fに

_{含 まれ る。}

□

49

第 3章 有 向三角形 に沿 つた積 分

ドキュメント内 凸多角形の互いに相似な直角三角形への分割について ： 体論の素朴な図形問題への応用として (ページ 44-50)