喜 I(喘 D"=IP幽

である。また、定理

^3.2,4よ

り

IP山 ^{=― (Pの 面積 )<0で ある。よって、}

I(Φ_(△1))ν

α ″

_,I(Φ

(△2))ν

α ″

,… ^.,り

:(Φ_(△N))ν

α ″

駕 ^L辱 亀 毎 ^2L籠 ず 鶴 詰 粋 ∝ 場悧嗣 な λ 寒 ^F嘉 ≦ 警 含 ^ffFrを に

^,鳥,■

と す る 。 △ _"Φ 円の 向

iは 共 に 正

ψ(COt ^αs)=COt(α :),φ (COt ^βs)、=COt(a),φ (cot%)=COt(く ⁾

である。また、α

_[,βl,ス

の うち2つ は鋭角だから、

COt(αl),COt(βl),COt(ス)

の うち2つ は正である。つまり、φ

(cot 

α

_{s),φ(COtβs),φ (COt} 

Ъ

)の

うち ^2う が正である。

□ 系

3.3.4有

理 凸 多 角 形

Pが

_{内角 ば}

0<α <3)を

もつ

Iい

に本目I以なィ宇限 個 の 直 角 三 角 形 に分 害Jされ る と し、 φ:Q(COt  α

)→ Rを

中 へ の 同 型 とす

る と、φ(cOt α

)>0で

^{あ る。}

第

3章  

有 向三角形 に沿 つた積分 と主定理 の証明

証 明

 

定理 3.3.3を

Pの

分害1に適用す る と、

Pを

_分害1した直角三角形 の内

角 は ど れ も α ,:一 α ,3で あ

_?ヽ

定

鷲』 藻 ^E曾 墨 ^i::ヒ 「理 熱 ^l:f

は

_Q(COt 

α

_)と

なる。φ

^:Q(COt 

α)→

^￨

矢α ∞ ^taα ∞ く _,一 の ^=α _ttM∞ ^{t,‐ 09う} ち ^2ち が 正 と

なるはずであ るか ら、φ(cot α

)>0で

^ある。

□ 定理 ^3。

3.5Pを

有理凸多角形 とす る。

0<α <,に

対 して、

Pが

互いに 相似 な内角 αをもつ直角三角形 に分割 され るとす る。 この とき、^cot αは

Q上

^{代数的である。}

証明 cot αを

Q上

超越 的 と仮定す る。そ して、しを負 の超越数 とす る。

例えば―πである。このとき、補題

^1.5.4よ

り、体の同型φ

^:Q(COt 

α _)→ R

で

φ(COt α

)=Z  .

を満 たす ものが存在 す る。 これ は、系 3.3.4に 矛 盾 す る。

ゆえに、

^cot 

αは Q上 ^{代数的である。}

□ 定理 ^3.3。

6有

理 凸多角形

Pが

直角三角形 △ と相似 な三角形 に分害^1でき るな らば、△ の直角 でない内角 αについて^cot αが

Q上

^{代数 的かつcot α}

の最小多項式 の実根がすべて正 となる。

証明

 Pが

^α

,(,一

α),3(Dブ^]角 を も^C)]里い に本目イ以カミロ三角三^]̀角形 △′^(プ

=

1.2.… .,Ⅳ)に 分割 され るとす る。

定理^3.3.5よ り、^cot αは

Q上

^{代数的であるので、cot αの最小多項式が}

存在する。この多項式を∫

(″)と

おく。

F=Q(COt  α

_)と

おく。バ″

)の

実根をτとする。このとき、系

^1.4,9よ

り、φ

(cot 

α )=7と ^{なる体の同型}

によ り、

がつ くれ る。

φ

^:Q(こOt 

α)→ Q(7)⊂ R

φン

Q(COt 

α)→ R

この とき、系 3.3.4よ り、

7=φ

_(COt ^α

)>0と

な る。 よつて、最 小 多項 式 の実根 がす べ て正 とな る。

□ 定理 3,3.6は 正 方形 が互 い に相似 な直角三角形 に分害^Jでき る とき、直角 三 角形 が満 たす必 要条件 を与 えてい る。

系 ^3.3。

7正

方形 は30° ‑60° ‑90° の互 いに相似 な有 限個 の直角 三角形 に分割 で きない。

証明   正方形が

30° ‑60° ‑90°

の直角三角形 △′

^(夕

=1,2,…

,Ⅳ)に

分割 され ると仮定する。

この正方形を Pと し、正方形の頂点が

(0,o),(1,0),(0,1),(1,1)と

なるよ うに涯 二本 票をとる。   このとき、

 cot 30° ==νa  cot60°

==洗 i  COt9oO=1 なので、F=Q(COt 30°

,cot 60° ,cot 90°)と

すると、 F=Q← 6)と なる。

さらに、φ :F→ Rを 、α

,b∈

Qに 対 して φ

(α

+¨ ^C)=α ―颯だ と定 めると、例

^1.4.5よ

り、φは体の同型である。

P,△

′

^,F,φ

は定理

^3.3.3の

仮定を満たすので、φ

(cOt 30° ),φ (COt 60°),

φ

(COt 90°)の

うち2つ が正でなければならないが、

φ

(cot 30°

)=φ

^(〜/τ

)=一 ^ντ <o      ^‐

φ ∝

^ot 60°

^)=ば 会 ^)=― 島 ^<0

よ り矛 盾す る。 ゆえに、正方形 は有 限個 の^{30°‑60° ‑90°} の直 角三角 形 に分 割 で きない。

□ 2.1節

で述べたように、正方形は

^{15°‑75° ‑90°}

の直角三角形 と相似な三 角形に分割することができた。実際、

^cot i5°

=2+ν ^{gで ぁり、 2+ν 毎}

の最小多項式は ″2̲4″ +1=0で ^{その根は 2+ャ C,2‑ν 5と なるが、}

2+ャ 層 ,2‑ν Tは 正である。だから、

^{15°‑75° ‑90°}

の直角三角形は必要条 件を満たしている。このように

^cot 30°

=√ ^と

^cot 15°

=2+73は 同じ 無理数ではあるが、 Q上 ^{共役な数である一√} ,2‑√ ^{の正負に差異があ}

るこ とか ら正方形 の分害Jの可能性 が^{30°‑60° ‑90°} と15°‑75° ‑90° の直角三角 形 で異 な るので あ る。

実 は直角三角形 の鋭 角 αにつ いて、^cot αが代数 的 で、かつ 、^cot αの最 小多 項式 の実根 はす べ て正 とい う

2つ

の条件 が、正方形 を この直 角 三角

第

3章  

有 向三 角形 に沿 つた積 分 と主定理 の証 明

形 と相似な有限個の三角形に分割できるための十分条件であることも知

られているようである

(卜_1)。

謝 辞

本研 究 を進 め るにあた り、大学院入学 当初か らの

2年

_{間 にわた る手厚} い御指導 を していただいた指導教員 の濱 中裕 明先生 に、心 よ り御礼 申し 上げます。毎週 のゼ ミや修士論文執筆過程 においてなかなか理解 の進ま ない私 に忍耐強 く、懇切丁寧 に ご指導 くだ さいま した。 また研 究 の内容 以外 で も、私 が中学校・高等学校 の教師 になるこ とか ら、数学に関す る こ とに とどま らず、教師の在 り方や考 え方 についてな ど、いろい ろなア ドバイスを頂 き、私 自身 とて も成長 できま した

6本

当にあ りが と うござ いま した。

      

′

また、大学院 の授業・講義 な ど様 々な面 で御世話 になった数学教室の 先生方 に、深 く感訪寸致 します。 中学校・高等学校 の数学の内容 に関連 し、

その背景 にある とて も大切 な概念や 、中学生 。高校 生の範 囲で理解す る こ とのできる数学 を授業 で扱 って くだ さり、私 自身、楽 しんで授 業 を受 けることがで きま した

:今

後 の教師生活 では先生方か ら学 んだ こ とを活 か し、 よ り生徒 が興味 を持 ち、 自ら発見 してい く授業 を実践 していきた い と思います。 あ りが とうございま した。

大学院での学生生活 においては、一般的 な学生 だ けでな く、教育現場 で問題意識 を多 く持つ教員 との出会 いにも恵 まれ 、大いな る刺激 を受 け ま した。 とて も全員 の名前 を挙 げ ることはできませ んが

t特

に同 じ数学 教室 の同期 である森敏 之氏 には寄宿舎の同 じ階だ った こ ともあ り、大変 御世話 にな りま した。いつかまたお会いできる 日を楽 しみ に してい ます。

最後 にな りま したが、私 を温か く励 ま し続 けて くれた家族 に深 く感謝 します。

平成

25年

12月 20日 石井聡

ドキュメント内 凸多角形の互いに相似な直角三角形への分割について ： 体論の素朴な図形問題への応用として (ページ 63-68)