分割辺の傾 き

定理

2.1.3有

_{理 凸多角形}

Pが

直角三角形 △ と相似 な三角形 に分害^1でき るな らば、△ の直角 でない内角 αについて^cot αが

Q上

^{代数的かつcot α}

の最小多項式 の実根がすべて正 となる。

cot 30°

=√

であ り、√ の共役 な数 は 一√ で あるこ とか ら、 この定

理 に依れ ば次の結果 が得 られ る。

系

2.1.4正

方形 は^{30°‑60° ‑90°} の互いに相似 な有限個の直角三角形 に分害¹ できない。

以下 、定理 2.1.3の 証 明 を行 うこ とが本論 文 の 目的 であ る。証明 はFlの もの を参考 に したが 、その内容 は とて も一般化 され た内容 となってお り、

初 学者 に向 けた書 き方 とはなって い ない。 ここで は頂 点 の座標 が有理数 の凸多角形 を相似 な直角三角形 に分割す る場 合 に限定 して整理す る。 尚、

問題 提 起 自体 は幾何 学 的 な もので あ るが 、結論 を見れ ばわ か るよ うに体 の拡 大 とい う代数 的 な内容 と密接 に関係 してい る。

第

2章  

凸多角形 の三角形へ分割 した ときの座標

図

2.4:△_1,…

・

,△

続のとり方

33

証明   ^図

^2,4の

ように、△

1,… .,△

Nの 中の三角形の列△

1,… .,△

れで次を 満たすものがとれることは直観的に明らかであろ う。

1.ノ

は△ _1の 辺を部分 として含む。

2.eは _{△親の辺である。}

3.△

_:と

△

_:+1は

辺の一部を共有する。

△

_:と

△

_:+1が

一部を共有する△

_:の

辺の向きを適当に定めてその偏角を αことする。また、∫の偏角をα=α

O、

Cの 偏角をβ=αれとする。

まず ^1つ の △

_:に

注 目して、

αづ一 αを̲1が △_:の内角 のい くつ かの和 とな る

●・

¹⁾

こ とを示す。△:の 偏角 αこの辺 と △:の偏角 α。

1の

辺 の共有頂点 を

Sと

し、偏角 αづの辺 を^Sび、偏角 αづ1の 辺 を

STと

す る。辺 の向きを変 える と、偏角は π変化す るが、△_:の内角の和 は

7な

ので、辺 の向きを適 当に 定めて_(2.1)を示せ ば十分である。そ こで、

Sを

αを,αを

1の

始点 と して示 す。 この とき、以下の

2通

りが考 え られ る。

1,S,T,び

が △_:のまわ りに時計回 りに並ぶ とき_{(図 2.5)}

図

2.5:S,T,Uが

時計回 りの とき 図を見てわか るよ うに、

αづ

α

_づ̲1=7「

+∠ T十

^∠υ である。

第

2章  

凸多角形 の三角形へ分割 した ときの座標

2.S,T,び

が △_:のまわ りに反時計回 りの とき (図 2.6) S

図

2.6:S,T,Uが

反 時計 回 りの とき 図 をみ てわか るよ うに、

αを一α■

1=∠ ^S

で あ る。

よって、αを一αづ

̲1は

△:の い くつ かの内角 の和 で あ る。 ゆえに、

β =い れ―αれ

^̲1)十

鰤れ̲1‑α π̲2)+… ・ ^+(α

^l―

αo)+α

=α 十

(△ 1,… ,,△

Nの いくつかの内角の和

₎

なので、示 された。

□ 定 理 ^2。

2.3有

理 凸 多 角 形

Pは

三 角 形 △_1.… △Ⅳ に分 割 され る と し、プ

=

1.…

Ⅳ に対して、△′の内角をα′

^{,島 ,η}

とする。このとき t有 理数体 Q

に cot αl,cot βl,COt範,… .,COt _{αⅣ,COt β}N,COt γNを 付 加 し た 体 を

F=Q(COt 91,COt  _{βl,COt γl,,,,,COt} αⅣ,cot SAr,cOt 7Ar)

とおくと、ν軸に平行でない三角形

^′

の辺の傾きは Fに _{含まれる。}

証明

 

△プの一つの辺 を cと す るも

cが

″軸 と平行 な ら示す ことはないの で、_(cの傾 き_)≠ 0と して よい。 この とき、″軸 と平行 でない

Pの

一つの 辺 に適 当な向きを定めてその偏角 を^7、

cに

適 当な向きを定 めてその偏角 を τ′とし、θ=7′ ―τとす ると、

35

cの 傾→ =菰 τ 十の =満

である。ネ 甫題

^2.2.2与

り、θは

_ol,βl,γl,.… ,α

Ⅳ

,β

Ⅳ

,γ

Ⅳのいくつかの和で 表せるので、とを

^7,αl,βl,γl,.… ,α

Ⅳ

,β

Ⅳ ,知 のいずれかとして、

τ

 ^tt 

θ =Σ EQ

づ=1

と表 す こ とが で き る。 こ こで

Pの

辺 の傾 き は有理 数 な の で 、を

=1,…

・,η

につ い て 、cot δ

̀∈

Fで

あ る こ とに 注意 す る。 この とき、 た

=1,̲.,η

^に

つ い て 、

COt(Σ の CF

じ=1

た

Σ &=π ×

^(整

林

⁾

J=1

のいずれ かが成 り立つ こ とを たに関す る数 学 的帰納 法 を用 いて示 す。

1,た

=1の

^{ときcot δ}l∈

Fよ

り成 り立つ。

2.た

=ん

。の とき式 (2.2)ま た は式 (2.3)が 成 り立 つ と仮 定 して 、た

=

た

0+1の

とき成 り立つ こ とを示す。

○ た

=た

_0のとき式 (2.2)が 成 り立つ場合 を考 える。 この とき も しも、

た0

COく

Σ O+COtOれ

^+1)≠

^0な ら

二=1

●

^.2)

また は

ヽ

︱ １

／

＆

榊 〒

ドキュメント内 凸多角形の互いに相似な直角三角形への分割について ： 体論の素朴な図形問題への応用として (ページ 33-37)