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第 3章 有 向三角形 に沿 つた積 分
となる:
群、 離≧ 激 、 11,科 寧 丁楓宅 ず TFlビ リ
I」ξ 言 え る 。
COS
α l=TFΠ
″・ντ 可
である。
また、
0<al<π
ょ り、sin αl>0な
ので、sin α
l=ν
//1‑cos2 αl￨″
‖ グ
￨であることがわか る。 この とき、
￨″ 121グ12̲(グ.の
2=(″
:+″
;)(νI+ν
3)一 (″ lνl+"2ν
2)2=″
:ν;―十″
;ν【―
‑2″1″ 2ν lν2=(″1鯵 一 ″2νl)2
よ り、
cot αl ̲ 翠 sln α l
￨″lν2 ″ 2ν ll
(α
2 α
l)(α3 α l)+(b2 bl)(b3 bl)
￨(α
2 α l)(b3 bl) (b2 bl)(α3 α
l)￨(編 )2
￨グ121グ12̲(″.グ
ァ
￨グ121グ12̲(″.の2
"・ ν
(″ lν
2 ■
2νl)2″lνl十
"2ν2
である。
□
第
3章
有 向三角形 に沿 った積分 と主定理 の証 明51
補題 3。
1.4有
向三角 形 △1/1y24に
お いて、Z=(α
ぉbじ)と す る。 この と き、次 が成 り立つ。1.△ 1/1by3が
正 の 向 きで あ るた めの必 要十分条件 は、(α
2 α l)(b3 bl) (b2 bl)(α 3 α l)>0
で あ る。
2.△ ylby3が
負 の 向きで あ るた めの必 要 十分条件 は、(α
2 α l)(b3 bl) (b2 bl)(α 3 α l)<9 ら
である。
証明 И t=(″
1,″2),42=(ν
l,ν2)とする。
△1/11/21/3が正 の向きであることをいいか えると、次 の
3つ
のいずれかが成 り立つ こ とである。
1,″
1>0の
とき図3.1を参照す るとわかるよ うに、△yl1/2y3が正の向きであるので、
1/3は
yly2を
延長 した直線 よ り上にある。2,″
1<0の
とき図3.2を参照す るとわかるよ うに、△
1/1y24が
正の向きであるので、1/3は直線
yly2よ
り下にある。3.″
1=0の
とき図3,3を参照す るとわかるよ うに、△
yly24が
正の向きであるので、Qν
l<0が
成 り=かつ。
1.が 成り立つことは、 "1>0か つν 2>岩 π 2が 成り立つということで
ある。つ ま り、
″
1>0か
つ あlν2>″
2νl (3.1)
が成 り立つ ことに同値 である。
図 3,1:″
1>0の
とき 図3.2:"1<0の
とき2.が 成 り立つことは、″ 1<0か つν 2<L″ 2が 成 り立つということで
″1
あ る。 つ ま り、
″
1<0か
つ ″lν2>π
2νl (3.2)
が成 り立つ こ とに同値 であ る。
3.が
成 り立つ こ とは、■1=0か
つ ″2νl<0が
成 り立つ とい うこ と。つ ま り、″
1=0か
つ ″lν2>″
2νl (3.3)
が成 り立つ こ とに同値 であ る。
図
3.3:zl=0の
とき(3.1),(3.2),(3.3)のいずれ かが成 り立つ とい うこ とは、πlν
2 ″
'71>0
に同値 で あ る。座標 で表す と、(α
2 α l)(b3 bl) (b2 bl)(α 3 α l)>0
で あ る。有 向三角形 の向 きが負 の ときも同様 で あ る。
□
補題
3。1.5有 向三角形 △ yly273が あつて、 Z(j=1,2,3)の 座標は体 Fに 含まれるものとする。また、φ :F→ Rを 中への同型 とし、Φ:F× F→
R× Rを Φ
(",ν)=(φ
(″),φ(ν))と定め、町 =Φ
(ス)とお く。
このとき、イろて は一直線上になく、△ィちで を形作る。
第
3章
有 向三角 形 に沿 つた積分 と主定理 の証 明証 鴇 t准 透 ゥ 舞 メ ニ 浮 纂 ポЪ ?糠 附長 瞥 :li翼 。 3 あ
:僣319→である。ゆえに t(p2 Pl)(93 91) (P3 Pl)(92 91)≠ 0で ある。
このとき、体の同型 φは単射であることから、
(φ
(p2) φ
(pl))(φ(93)二φ
(91))― (φ(P3) φ(pl))(φ(g2) φ(91))=φ ((P2 pl)(93 91) (P3 pl)(92 91))
≠
0である。 よつて、Φ(yl)Φ (y2 形作 る とい える。
は平行ではなく、 、 △Ⅵ Zイ を
□ 補 題
3.1.6有
向三 角 形 △1/Jy24が
あつて 、Z(を=1,2,3)の
座 標 は体Fに
含 まれ る もの とす る。 ま た 、φ
:F→ Rを
中へ の 同 型 と し、Φ:F× F→
R× Rを
Φ(″ ,ν)〒 (φ (″),φ(ν))と 定 め 、昭=Φ
(И)と お く。このとき、 Lで の△ ylty3の 内角をαよ 町 での△昭てで の内角をα
:とする。
すると、
1.△
1/1y24と△イちて の向きが同じとき
COt(α
:)=φ
(COtα j)(j=1,2,3)
2.△ ylby3と △イちで の向きが異なるとき
COtい
1)=― φ
(COtα
̀)(づ
=1,2,3)
が成 り立つ。
証明 z=(α づ
,bを)、イ
=(α:,bl)とする。補題
3.1.3より、
(α
2 α
l)(α3 α l)+(b2 bl)(b3 bl)
cot α
l=
で あ る。 同様 に、
cot α
l̲
￨(α
2 α l)(b3 bl) (b2 bl)(α3 α
i)￨(α
ち―α
l)(α:一α
l)+(bち―
bl)(b:一 bl)とΦ(yl)Φ (y3
である。
￨(α
ち―α
l)(b:一 bl)一 (bち―
bl)(α:一α
l)￨いま、
6,どとい う値を
と定める。
す る と、補題3.1.4よ り、
￨(α
2 α l)(b3 bl) (b2 bl)(α3 91)￨=C{(α 2 α l)(b3 bl) (b2 bl)(α 3 α
l)}￨(α
ち―α
l)(b:一 bl)― (bち一
bl)(α:一α
l)￨=6′{(αち―α
l)(b告―
bl)― (鴫―
bl)(α:一α
l)}なので、補題3.1,3か ら
cot α
l=
(α2 α
l)(α3 α
l)十(b2 bl)(b3 bl)
cot α
4=
6{(α
2 α l)(b3 bl) (b2 bl)(α3 α
l)}(α
ち一α
l)(9:一α
l)十 (bち―
bl)(b:一 bl) き き と との の 正 負 が が き き 向 向 の の ス ス ち ち И И
△
△
１
■ １
一 ｒ り ヽ ｔ
き き と と
の の 正 負 が が き き 向 向 の の イ て る 可 イ イ
△
△
■
■ １
一 ｒ り ヽ ｔ
υ
Vυ ul 6,{(αち―α
l)(b:一 bl)一 (bち―
bl)(α:一α
l)}とわか る。
r
α
C∝α → =詰 φ 鮨電器冒事存瑠群瑞 )
1(φ
(α2) φ
(αl))(φ(α3) φ
(αl))+(φ (b2) φ(bl))(φ(b3) φ(bl))φ
(6)(φ(α2) φ
(αl))(φ(b3) φ(bl))― (φ(b2) φ(bl))(φ(α3) φ
(αl)) 1(αち―α
l)(α:一α
l)十 (bち―
bl)(b:一 bl)6(α
ち―α
l)(b:一ら
1)― (bち一
bl)(α:一α
l)、
6′ (αち―α
l)(α:一α
l)十 (bち―
bl)(bt― bl) 66′{(αち―α
l)(b:一 bl)一 (bち―
bl)(α:一α
l)6′ (α
ち一α
l)(α:―α
l)十 (bち―
bl)(b:一 bl)61(α ち―α
l)(b:一 bl)― (b,一 bl)(αも一α
l)￨==::COt(αl) よって、
1.△ И %%と △イちて の向きが共に正または共に負のとき
COt(α