̲と F

に l        cot(Σ _a)

を=1

COtの

Ea)=oな

^{らτ tt θ}

=西 &=,十

^π支(整数

)で

^{ある。 この}

を=1       ^」= とき辺

eは

ν軸 に平行 で あ る。

η

2,Σ _と二π×

_(整

数

_)の

とき

を=1

ta■_(τ tt 

θ _{)=tan(Σ E&)=0∈} ^F

づ=1

よつて、いずれ の場合 も

Fに

含 まれ るこ とが証 明 され た。

□

2。

3  線形代数

高等 学校 で はベ ク トル とい えば平面ベ ク トル 、空 間ベ ク トル とい った 幾何 学的 な ものだ が、 ここでは抽象 的 なベ ク トル 空 間 を考 え る。

定義

2.3.1集

合

y,体

_{κ を考 え る。}

_(yの

_{元 と}

Kの

元 を区別 す るた め以 後 この節 で は

yの

_{元 を太字 で}

,νな どと書 く。

)ま

^た

y上

_{に次 の よ うな2}

つ の演算 が あ る とす る。

1,yの 2つ

_{の元 ,ν}に対 して、 とυの和 とよばれ る

"十υ∈

yが

_{定 まる。}

2.yの

元

",κ の元 たに対 して 、 の た倍 _(ス カ ラー倍 )と よばれ る た"∈

yが

_{定 ま る。}

第

2章  

凸多角形 の三角形へ分割 した ときの座標

         39

上記 の演算 が以 下 の

4つ

を満 たす とき、1/を

K上

のベ ク トル空 間 と い う。

1,1/は

十 に関 してアーベル群である。以下、

yの

乗法 に関す る単位元 を^0とす る。

       

′

2.任

_{意 の}

"∈ 1/に対 して、

1"="が

成 り立つ。

       ￨

3.任

_{意 の た,ι} ∈^K、

"∈

yに

_{対 して、た}

(ι")=(んι

)"が

^{成 り立つ。}

4.任

_{意 の た,J∈ ζ、} ,υ∈

yに

_{対 して、}

(た

+:)".=ん

"+J",た

⁽

^+υ )=た

十たυ が成 り立っ。

例

2.3.2κ

は

Lの

部分体 であるとき、

L内

の和 と積 をベ ク トルの和、ス カラー倍 とすれば、

Lは

κ 上のベ ク トル空間であ る。^̀特に、

Rは Q上

^の

ベ ク トル空間である

:ま

た、Q(〜α_)も

Q上

のベ ク トル空間である。

定義

2:3.3κ

上のベ ク トル空間

yの

_{元の組{o.,α2,∵・,αれ}

_}が 次

_独立

である とは、

Cl,C2・ …^Cれ ∈

Kに

対 して、

cl o.+c202+…

・十^Cぉαπ

=0な

^ら

ば^Cl=‐C2=・ …

=%=0

が成 り立つ こ とである。

定義

2.3.4κ

上のベ ク トル空間

yの

_元の組

{α .,α 2,…・,απ

}が 次

_従属

であるとは、

C10■+C202+・ …_+Cれαπ=0(cl,c2,.… ,Cれ ∈κ)かつ^{Cl,C2,… .,Cπ} の うち少 な くとも

1つ

が

0で

ない よ うな^cl,c2,,… ,Cれ が存在 す る

ことである。つまり、

{α.,02,… ^,,α

π }が 次 独立であることの否定であ

る。

定義

2.3.5K上

のベ ク トル空 間 を

yと

_{す る。α.,α 2,…・,απ∈}

yに

_{対 し}

て、次 の集 合

セ

￨"=Cl a7.+c202+・

^・・十Cπαπ,Cl,o,… ・,Cπ ∈Й

]⊂ y

は

yの

部分 ベ ク トル空間 とな る。 これ を、〈α_l,α2,… ,,απ)と 表 して、α^l, 02,,… _,απ の生成 す る部 分空間 とい う。

定義 2,3.6K上 のベクトル空間 yの _元の組

_{{α l,α2,,… ,α}

_{π }に 対して}

{α

■

,α2,…

・

,α

π }が yを 生成するとは、

1/=(α

・ ^,α2,… ・,απ)

となることである。言い換 えると、任意の ∈

yに

_{対 し}

"=cl ol+c2α 2+

・…+Cπαπとなるよ うな^cl,c2,・ …,Cれ ∈κ が存在す ることである。

定義

2.3,7κ

上 のベ ク トル空 間

yの

_{元 の組}

{α .,α2,,・・,απ

}が yの

_基底

であ る とは、αl,α 2,…・,απが κ 上一次独 立であ り、かつ 、α.,α2,― 。_,απ が

yを

生成 す る ときの こ とで ある。

以下の

3つ

の定理 は線形 代数 の中で も基本 的であ る。証 明 は例 えば、μ]

な どを参 照 の こ と。

定理

2.3.8K上

のベ ク トル空 間

yの

_{基底 が}

_1つ

存在す るな ら、基底 を構 成す るベ ク トル の個数 は常 に一 定 で ある。 その個数 を次 元 とい う。

定理

2.3.91/を

κ 上 のベ ク トル 空 間 とす る

:α

l,α 2,…・,απが

7を

生成 す る とき、α.,α 2,…・,αれか らい くつ か選 ん で

yの

_{基底 にで きる。}

定理

2.3.101/を K上

のベ ク トル 空 間 とし、ア の次 元 は有 限で あ る とす る。 α.,α2,.… ,απ∈

yが

κ 上独 立 であ る とき、a.,02,… ・,απにい くつ かの

yの

_{元 をカロえて}

yの

_{基底 にで きる。}

定理 2.3.11に つ いては、定理 2.4.2の 証 明 で用い るた め、証 明 を以 下に 述べ る。

定理

2.3.1l1/を

κ 上 のベ ク トル 空 間 とす る。また、α.,α 2,…・,αれを基 底 と し、

"., ^2,…・,"π ∈

yが yを

生成す る とす る。

この とき、

".,"2,… ^。,"773の うちあ る をが あつて 、 を

=たlo.+た

202+・ ^…+た_παπ

と表したときた

_1≠

0で ある。

第

2章  

凸多 角形 の三角形 へ分割 した ときの座標 証 明

 

背理 法 を用 い る。 そ こで仮 に 、任意 の

"をに対 して、

を

=たlo.+た 202+…

^・+た鳥απ と表 した とき、た

1=0と

な る と仮 定す る。 この とき、各

".,"2,…^{・, π} は α_2,α3,・ .:,αれの一次結合 で表 され る。

一方 、"1, ^{2,… ,,} れ は 1/を 生成 す るの で、特 に αlも

".,"ら^,..., π の一 次結合 で表 され る。

よって、α.は o2,α3,・ …,αれの下次結合 で表 されててこれ は αl,α 2,…・,απ が κ 上一次独 立 で あ る こ とと矛 盾 してい る。 ゆえに主 張が示 され た。

□

2.2節では有理凸多角形

Pが

三角形に分割 され る とき、分害1辺の傾 きが

Fに

含 まれ てい るこ とを示 した。 ここでは分割点 の座標 も

Fに

_{含 まれて}

い ることを示す。そのために、まず補題^2.4.1を用意す る:

補題 ^2。

4,1有

理凸多角形

Pは

三角形 △1.… △

Nに

^分害1され るもの とす る。

この とき、△1.… △

Nの

各頂点の ″座標全体 の成す集合 を

Xと

_{す る。△′}

の内角 を

%,島

^{,動 としてヽ}

F=Q(COt  αl,cot βl,COt範 :・・・,COt ^αAr,cot βⅣ,cot γハ「)

とお く。 この とき、

min X<″ 1<mⅨ

^{χ とな る ■}

^1∈ Xに

対 して ν^l・ …‰^{,Zl l・ .Zれ} ∈ χ と^{sl.… sれ},ιl… ^.ι

m∈ Fが

存在 して、次 が成 り 立つも

1.づ

=1,…

^,,η,た

=1,… .,mに

対 して、st>0,ι た

>0,銑 <″ 1<zた

21Σ 島 ol―

"=Σ

tん

レ ん ―

"1)

づ=1        た=1

証 明

 

″

=■ 1上

の頂 ′点の一 つ を

yと

し、 そ の座 標 を_(″1,″2)と す る。

y

の周 りの様 子 を考 え る と図 2,7,図 2.8,図 2.9,図 2110の_{よ うにな るので、}

いずれ の場 合 に も次 の"1."と"2.Pの うちいず れ か が成 り立 つ。

1.ν

l<″ 1<zlで ^{あるような}

^y(″1,χ2),β(νl,ク2),θ(Zl,Z2)を

頂点とす る三角形 △ _Jが 存在する。

41

2。

4  分割 点の座標

2.1/を

頂 ′点とす る三角形 △′があって、ν軸に平行な直線 ″

=″

1上 に

△′の辺が存在す る。

図

2,7:yが

ぁ る △ の辺 上 にある とき図

2,8:1/が

1/を含 む 三角形 す べ の頂 点 で あ る とき

B

図

2,9:yが Pの

頂 点 とな る とき 図

2.10:yが Pの

辺 上 にあ る とき

"1."が 成 り立つ とき

線 分

Bσ

上 に

D=(″

1,鶴)を とる。

3yの

傾 きを 亀 ,yθの傾 きを お ,βσ の傾 きを 助 とす る。(図 2.11を 参 照。₎

Dと yの

ν座 標 の差 を考 える。 それ ぞれ B,θ の ν座標 を基準 に して,、

D,1/の

ν座 標 との ちがい を考 え る と、

し ″

2=50(″ 1‑ν l)二 S3(″ 1‑ν l)=一 SIZl二 ″1)一 (― Sο (Zl=χ l))

とわか る。助 ―

SB=3,Sο

_{一跳 =ι} とお くと、定理^2.2,3よ り、^s,ι ∈

F

であ り、^s(″

1‑ν

l)=ι(Zl― ″_1)である。

て

第

2章  

凸多角形 の三角形へ分害^1した ときの座標 43

図 2,11:y3θ を頂点とする三角形

〜

この両辺 の値 は 包―

2で

^{あるか ら}

0で

_{な く、(″}

1‑ν

l),(Zl二 ″1)は 共 に正 となるため、き,tは同符号 となる。 よつて、^1.の とき主張が成 り立つ。

(こ の ときは η

=772=1で

ある。)

"2."が成 り立つ とき

7を

通 りν軸 に平行 な △′の辺 を延長 した部分 にも

Pの

分割線 は続 く

可能性がある。出来る限り長く分割線上に延長した線分をι ^=″

1×

レ

,d とす る。

Pが

凸 で あ り、″

1は Xの

最小値 ,最 大値 で ないか ら、ιの両^llllに

ι 上に辺を持つ三角形が

("1,b)か

ら

_(″1,c)ま

ですきまなく並ギ。

(図 2.12 を参 照。₎

ι の左側の三角形を下から△

1,… .,△

れとおき、ι の右側の三角形を下から

△れ

+1,,・

・

,△

π

ttmと

おく。△をの頂点を

(πl,zづ 1),(″1,Zを),(ν

を

,α)と

おく _(j=

1,,…

η

_)。

△れ 十たの頂点を

(■1,υ

た

^̲1),(″1,υ

ん

),(Zた,Z力)と

おく

_(た =1,.・

・

^m)。

(図 2.13を

参照のこと。 _)た だし、

b=鶴0<し 1<…

^・

^<%れ =C

b=υ O<υ l<…

^・

^<υ

れ

=C

とする。 このとき、

鶴づ― Z̲̀1 =(%を

一α

)十 (α

―

^Zを̲1) υづ― ν:

(″

1‑ν

^j)十

甕 ^し を

1(″

ドキュメント内 凸多角形の互いに相似な直角三角形への分割について ： 体論の素朴な図形問題への応用として (ページ 39-44)