線形代数学 1 No.4 2004.10.25
2.3 行列の階数（解答） 担当：市原
問題1 次の連立１次方程式の拡大係数行列を書き, その階数を求めることにより, 解の個数を調べな さい.
(1)
( 5x−3y=−4
−3x+ 2y= 3 拡大係数行列は
à 5 −3 −4
−3 2 3
!
掃き出し法により, Ã 5 −3 −4
−3 2 3
!
°1×15
−−−−→
à 1 −35 −45
−3 2 3
!
°1 ×3+°2
−−−−−−−−−→
Ã1 −35 −45
0 15 35
!
°2×5
−−−→
Ã1 −35 −45
0 1 3
!
よってrank
Ã5 −3 −4
−3 2 3
!
= 2より, 解は唯一組.
(2)
x+ 6y+ 4z=−4 6x+ 8y+ 10z=−3
11x+ 6y+ 14z= 1
拡大係数行列は
1 6 4 −4 6 8 10 −3 11 6 14 1
掃き出し法により,
1 6 4 −4 6 8 10 −3 11 6 14 1
°1 ×(−6)+°2
−−−−−−−−−−−→
1 6 4 −4
0 −28 14 21
11 6 14 1
°2×(−281)
−−−−−−−→
1 6 4 −4
0 1 −12 −34 11 6 14 1
°1 ×(−11)+°3
−−−−−−−−−−−−→
1 6 4 −4
0 1 −12 −34 0 −60 −30 45
°2×(−601)
−−−−−−−→
1 6 4 −4 0 1 −12 −34 0 1 −12 −34
°2 ×(−1)+°3
−−−−−−−−−−−→
1 6 4 −4 0 1 −12 −34
0 0 0 0
よってrank
1 6 4 −4 6 8 10 −3 11 6 14 1
= 2より,不定解.
(3)
x+y+ 4z+ 5u=−2 2x+y+ 5z+ 5u= 3 6x−y+ 3z−5u= 9
拡大係数行列は
1 1 4 5 −2
2 1 5 5 3
6 −1 3 −5 9
掃き出し法により,
1 1 4 5 −2
2 1 5 5 3
6 −1 3 −5 9
°1 ×(−2)+°2
−−−−−−−−−−−→
1 1 4 5 −2
0 −1 −3 −5 7
6 −1 3 −5 9
°2×(−1)
−−−−−−→
1 1 4 5 −2
0 1 3 5 −7
6 −1 3 −5 9
°1 ×(−6)+°3
−−−−−−−−−−−→
1 1 4 5 −2
0 1 3 5 −7
0 −7 −21 −35 21
°3×(−17)
−−−−−−→
1 1 4 5 −2 0 1 3 5 −7 0 1 3 5 −3
°2 ×(−1)+°3
−−−−−−−−−−−→
1 1 4 5 −2 0 1 3 5 −7 0 0 0 0 4
よってrank
1 6 4 −4 6 8 10 −3 11 6 14 1
= 3だが,解なし.
