線形代数学 1 No.6 2005. 6. 1
2.3 行列の階数 担当：市原
定理 4 ( 連立方程式の解の個数 )
n 元 1 次連立方程式に対し ,
解が唯一組存在する 解が無数に存在する 解が存在しない
のいずれかが成り立つ．
例題 9 次の３つの１次連立方程式の解の個数を調べなさい .
(a) (
2x − y = 3
4x + 2y = 7 (b) (
2x − y = 3
4x − 2y = 7 (c) (
2x − y = 3 4x − 2y = 6
行列の階数 ( ランク (rank))
¶ ³
行列 A から行基本変形で得られた階段行列を S とする． このとき S の階段の数 (=0 でない成分を含む行の数 ) を行列 A の階数 ( ランク (rank)) という .
µ ´
例題 10
行列
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 3 4 5 6 3
の階数を求めなさい .
定理 5 ( 連立方程式の解の個数と行列の階数 )
n 元 1 次連立１次方程式の係数行列を A ， 拡大係数行列を B とする．
解がただ１組存在する ⇐⇒ rankA = rankB = n 解が無数に存在する ⇐⇒ rankA = rankB < n
解が存在しない ⇐⇒ rankA < rankB
9
線形代数学 1 No.6 2005. 6. 1
2.3 行列の階数 担当：市原
問題10 次の行列の階数を求めよ.
(1)
1 −1 3 1 1
−3 4 −10 −2 −4 2 5 −3 11 −7
(2)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 3 4 5 6 3
問題11 連立方程式
5x+ 2y+ 6z= 1 6x+ 8y+ 10z=−3 11x+ 6y+ 14z= 1 8x+ 4y+ 10z= 1
の係数行列をAとし,拡大係数行列をBとする.
(1)AとBの階数を求めなさい.
(2)定理5を使って,「解なし」「解は唯１組」「解は無限個」のどれか答えなさい.
